1、12.包含与排除 较复杂的容斥原理学习目标:1. 理解并掌握容斥原理，掌握韦恩图的画法。2. 利用方法解决不同类型的容斥问题。3. 培养学习兴趣，提升能力。教学重点:理解并掌握容斥原理，掌握韦恩图的画法。 教学难点：有三类事物时，对韦恩图的理解。能够独立分析这类问题。教学过程：一、情境体验 公主迎来自己20岁的生日，国王想在生日晚会上为公主选一位驸马，但是来自各国求婚的王子很多，他们都各有本领，于是国王听宰相的建议向王子们提出了几点要求，可是满足要求的有多少人呢？这就是我们今天要学习的问题较复杂的容斥原理（板书课题）二、思维探索（建立知识模型）展示例1例1： 一次期末考试，某班有15人数学得满
2、分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？点生读题师：至少有一门得满分是什么意思？生：只有语文得满分，只有数学得满分，以及语文和数学都得满分的人全部加起来。师：说的很好，因为涉及的量有3个，我们可以画图来表示（展示ppt中例1方法一）。师：老师只画了两个圆，两门都得满分的人应该怎样表示呢？生：数学得满分的人包括只有数学得满分和两门都得满分的，语文也是一样。师：所以可以如图中所示，现在这样表示你会做了吗？生：只有数学得满分的有15411（人），同理只有语文得满分的有8人，最后把3个量的人数加起来为23人。师：除了这个方法，你还能想出别的方法吗？（
3、点生回答，介绍方法二、方法三）师：今天我们重点学习方法三，既然有两门都得满分的，我们让两个圆相交，这样画可不可以？（如下图，引导学生说出三个部分各表示什么意思）师：这个方法叫做韦恩图，题目让我们求的是图中哪部分？生：整个图形。师：怎么算你知道了吗？生：两个圆各自的人数加起来，因为4多加了一次，所以最后减4。师：大家掌握的都很快。小结： 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。展示例2例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组。已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的有32人，参加英语小组的有45人，同时参加语
4、文和数学小组的有10人，同时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少学生参加了学习小组？师：题目比较长，同学们先仔细读题，想一想能用刚才学习的方法吗？生：应该可以，不过刚才有两类事物，现在有三类，不知道该怎么画图。（展示ppt，引导学生理解图如何画，每个部分表示什么意思，并点生回答进行巩固）师；现在来看题目问的是什么问题？生：一共有多少学生参加了学习小组。师：注意是求参加学习小组的学生有多少人，是图中的哪部分呀？生：整个图形。师：我们一起来看应该如何计算。如果把三个圆的人数都加起来对吗？生：不对，有重复加的部分，还需要减去两
5、两相交的部分。师：这样做完了吗？想一下三个都相交的部分该如何处理？生：还要加上三个都相交的部分。小结：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。三、思维拓展（知识模型的运用）展示例3例3： 六（1）班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人。三项都参加的有多少
6、人？师：看完题目你会做吗？跟例2一样吗？生：题目条件类似，但问题不同。师：你能画图来表示吗？（点生演板，确定画图正确，点生回答各部分的意思）师：根据例2所学的方法，你能做出这道题吗？（做几分钟，出示公式）师：A或B或C是不是44人，为什么？生：是44人，因为每人暑假里都参加了体育训练队。师：非常好，这里审题时一定要注意，否则容易出错。（列式计算）展示例4短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短跑、游泳、投掷1718156652例4： 某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表
7、：这个班的学生共有多少人？师：试着画一下韦恩图。（检查学生画图情况）师：整个图形表示的人数是什么？是不是全班总人数？生：不是，表示的是至少有一项达到优秀的人数。师：所以一定要认真审题，图形可以变一下（如下图，点生回答）师：达到优秀的学生有多少？生：35人。师：全班人数怎么求？生：35+4=39（人）。小结：容斥原理一定要认真审题，画出正确的韦恩图。四、融会贯通（知识模型的拓展）展示例5例5： 边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？师：看完题目有什么样的感觉？生；很繁琐，跟前面的例题相同又好像有区别。师：既然今天学习容斥原理，那么肯定和刚才的
8、方法有关。师：我们来类比一下，这里有几个正方形？生：三个。师：它们是怎样放在桌面上的？生：有不重叠的部分，有两两重叠的部分，还有三个都重叠的部分。师：说的非常好，那么和前面有相同吗？生：噢，我知道了，是一样的，把三个正方形的面积加起来，减去两两重叠的面积，再加上三个都重叠的面积。师：非常聪明，我们一起来看一下，是不是每个部分的面积都求的出。为了方便，最大的正方形记作A，中等的记作B，最小的记作C。（点生回答）五、总结1. 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。2. 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
