1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题专题 0909 二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质 【方法指导】【方法指导】 1.二次函数的 图象和性质 图象 x y y=ax2+bx+c(a0) O x y y=ax2+bx+c(a0) O 开口 向上 向下 对 称 轴 x 2 b a 顶 点 坐标 2 4 , 24 bacb aa 增 减 性 当 x 2 b a 时，y 随 x 的增大而增 大；当 x 2 b a 时，y 随 x 的增大而 减小. 当 x 2 b a 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x 2 b a 时，y 随 x
2、的增大而增大. 最值 x= 2 b a ， y最小 2 4 4 acb a . x= 2 b a ， y最大 2 4 4 acb a . 2.系数 a、b、c a 决定抛物线的开口 方向及开口大小 当 a0时，抛物线开口向上； 当 a0 时，抛物线开口向下. a、 b 决定对称轴 （x=-b/2a）的位置 当 a，b 同号，-b/2a0，对称轴在 y 轴左边； 当 b0 时， -b/2a=0，对称轴为 y 轴； 当 a，b 异号，-b/2a0，对称轴在 y 轴右边 c 决定抛物线与 y 轴 的交点的位置 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在正半轴上； 当 c0 时，抛物线经过原点； 当c0
3、时，抛物线与 y 轴的交点在负半轴上. b2 4ac 决定抛物线与 x 轴 的交点个数 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点; b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点; b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 3.平移与解析式 的关系 平移|k|个单位 平移|h|个单位 向上(k0)或向下(k0) 向左(h0)或向右(h0) y=a(xh)2k 的图象 y=a(xh)2 的图象 y=ax2 的图象 注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶 点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 4.二次函数与一 元二次方程 二次函数 y=ax2bxc(a0)的图
4、象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根.学科#网 当 b24ac0，两个不相等的实数根； 当 b24ac0，两个相等的实数根； 当 b24ac0，无实根 5.二次函数与不 等式 抛物线 y= ax2bxc0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应 的 x 的所有值就是不等式 ax2bxc0 的解集； 在 x 轴下方的部分点的 纵坐标均为负，所对应的 x 的值就是不等式 ax2bxc0 的解集. 6.二次函数的应 用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题解此类 题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定
5、其最大值， 实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的 最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围 （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的 最佳方案以及动态几何中的最值的讨论 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】二次函数的性质】二次函数的性质 【例 1】 （2019苏州模拟）已知二次函数 yax2+bx+c，其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示： 则可求得 （4a2b+c）的值是（ ） x 1 2 3 y 0 0 4 A8 B8 C4 D4 【变式 1-1】 （2019雨花区校级模拟）抛物线
6、ya（x+2m）2+m（a0）的顶点，当 m 取不同实数时，其顶 点在下列（ ）上移动 Ay By2x Cy Dy 【变式 1-2】 （2019老河口市模拟）已知点 A（3，y1） ，B（2，y2）均在抛物线 yax2+bx+c 上，点 P（m， n）是该抛物线的顶点，若 y1y2n，则 m 的取值范围是（ ） A3m2 B Cm Dm2 【类型【类型 2 2】二次函数的图象二次函数的图象 【例 2】 （2019灌云县校级模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数 ykx2k 和二次函数 ykx2+2x 4（k 是常数且 k0）的图象可能是（ ） 【变式 1-1】 （2019无锡模拟）已知函数，则
7、使 yk 成立的 x 值恰好有 4 个，则 k 的值可能为（ ） A2 B1 C2 D3 【变式 1-2】 （2019如皋市模拟）如图，在同一坐标系下，一次函数 yax+b 与二次函数 y=ax2+bx+4 的图 像大致可能是（ ） 【类型【类型 3 3】二次函数图象与系数】二次函数图象与系数 a a、b b、c c 之间的关系之间的关系 【例 3】 （2019港南区四模）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，有下列 5 个结论：abc0； ba+c；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大；2c3b；a+bm（am+b） （其中 m1）其中正确 的个数是（ ） A1 B2 C3
8、D4 【变式 3-1】 （2019清江浦区一模）如图是二次函数 yax2+bx+c 的图象过点（1，0） ，其对称轴为 x1， 下列结论： abc0；2a+b0；4a+2b+c0；此二次函数的最大值是 a+b+c，其中结论正确的是（ ） A B C D 【变式 3-2】 （2019鼓楼区校级模拟）抛物线 yax2+bx+c 开口向下，与 x 轴两个交点的横坐标分别为1 和 3，现给出如下判断： abc0，a+b+c0，a，3b2c，ab+c0，5a+b+c0，c2b，c3 （3a+b） 其中正确判断的个数为（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【类型【类型 4 4】二次函数图象的平移
9、】二次函数图象的平移 【例 4】 （2019铜山区二模）二次函数 yx2+2x+2 图象先向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长 度，则平移后二次函数图象的顶点坐标是 【变式 41】 （2019海州区校级模拟）已知 y 是 x 的二次函数，函数 y 与自变量 x 的对应值如表： x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 该二次函数图象向左平移 个单位，图象经过原点 【变式 4-2】 （2019淮阴模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx（x3） （0x3）在 x 轴上方的部分，记作 C1，它与 x 轴交于点 O，A1，将 C1绕点 A1旋转 180得 C2，
10、C2与 x 轴交于另一 点 A2 请继续操作并探究： 将 C2绕点 A2旋转 180得 C3， 与 x 轴交于另一点 A3； 将 C3绕点 A3旋转 180 得 C4，与 x 轴交于另一点 A4，这样依次得到 x 轴上的点 A1，A2，A3，An，及抛物线 C1，C2， n，则n的顶点坐标为 （n 为正整数，用含 n 的代数式表示） 【类型【类型 5 5】求二次函数解析式】求二次函数解析式 【例 5】 （2019鼓楼区二模）已知二次函数的图象经过点 A（2，0） 、B（1，3）和点 C （1）点 C 的坐标可以是下列选项中的 （只填序号） （2，2） ；（1，1） ；（2，4） ；（3，4）
11、（2）若点 C 坐标为（2，0） ，求该二次函数的表达式； （3）若点 C 坐标为（2，m） ，二次函数的图象开口向下且对称轴在 y 轴右侧，结合函数图象，直接写出 m 的取值范围 【变式 5-1】 （2018六合区二模）定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二 次函数” （1）已知二次函数 y（x2）2+3，则它的“反簇二次函数”是 ； （2） 已知关于 x 的二次函数 y12x22mx+m+1 和 y2ax2+bx+c， 其中 y1的图象经过点 （1， 1） 若 y1+y2 与 y1互为“反簇二次函数” 求函数 y2的表达式，并直接写出当 0x3 时，y2的最小值
12、【变式 5-2】 （2018江都区一模）已知二次函数 yx2+bx3（b 是常数） （1）若抛物线经过点 A（1，0） ，求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）P（m，n）为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为 P，当点 P落在该抛物线上时，求 m 的值； （3）在1x2 范围内，二次函数有最小值是6，求 b 的值 【例 7】 （2019淮阴区一模）如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m） ，现在其中修建一 条观花道（阴影所示） ，供游人赏花，设改造后观花道的面积为 ym2 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若改造后观花道的面积为 13m2，求 x 的值； （3）若
13、要求 0.5x1，求改造后油菜花地所占面积的最大值 【变式 7-1】 （2019泗洪校级模拟）问题情境 有一堵长为 am 的墙，利用这堵墙和长为 60m 的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积 是多少？ 题意理解 根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图）和一边“包含”墙（如图） 特例分析 （1）当 a12 时，若按图的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 m2；若按图的方案设 计，则该方案中养鸡场的最大面积是 m2 （2）当 a20 时，解决“问题情境”中的问题 解决问题 （3）直接写出“问题情境”中的问题的答案 【变式 7-1】 （2019浦口区模拟）工人师傅用一块长为 2m
14、，宽为 1.2m 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容 器，需要将四角各裁掉一个正方形 （厚度不计） （1）若长方体底面面积为 1.28m2，求裁掉的正方形边长； （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 3 倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方米的费用 为 50 元，底面每平方米的费用为 200 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？ 【达标检测】【达标检测】 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 （2019润州区二模）二次函数 yax2+bx+c 图象上部分点的坐标满足下表： x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象上的点（6，y1） ， （
15、m2+2m+3，y2）则下列选项正确的是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 2 （2019常州二模）二次函数 y2x21 图象的顶点坐标为（ ） A （0，0） B （0，1） C （2，1） D （2，1） 3 （2019高邮市二模）在抛物线 ya（xm1）2+c（a0）和直线 yx 的图象上有三点（x1，m） 、 （x2，m） 、 （x3，m） ，则 x1+x2+x3的结果是（ ） A B0 C1 D2 4 （2019玄武区二模）二次函数 y1ax2+bx+c（a，b，c 为常数）的图象如图所示，若 y1+y22，则下列 关于函数 y2的图象与性质描述正确的是（ ） A
16、函数 y2的图象开口向上 B函数 y2的图象与 x 轴没有公共点 C当 x2 时，y2随 x 的增大而减小 D当 x1 时，函数 y2的值小于 0 5 （2019龙岩一模）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，顶点坐标是（1，n） ，与 y 轴 的交点在（0，3）和（0，6）之间（包含端点） ，则下列结论错误的是（ ） A3a+b0 B2al Cabc0 D9a+3b+2c0 6 （2019宜春二模）若二次函数 yax2+（a+2）x+4a 的图象与 x 轴有两个交点（x1，0） ， （x2，0） ，且 x1 1x2，则 a 的取值范围是（ ） Aa Ba0 C0
17、a Da 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 7 （2019广陵区校级二模）若点 A（3，n） 、B（m，n）在二次函数 ya（x+2）2+h 的图象上，则 m 的 值为 8 （2019宿豫区模拟）若二次函数 yx2+bx16 的图象的对称轴是经过点（3，0）且平行于 y 轴的直线， 则该抛物线与 x 轴的交点坐标是 9 （2019宿迁模拟）若 mina，b，c表示 a，b，c 三个数中的最小值，当 yminx2，x+2，8x（x0） 时，则 y 的最大值是 10 （2019江都区三模）已知二次函数 f（x）2x2+ax+b，若 f（a）f（b+1） ，其中 ab+1，则 f（1）+f
18、 （2）的值为 11 （2019海门市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+4ax+4a+1（a0）交 x 轴于 A，B 两点， 若此抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）有且只有 8 个整点（横、纵坐 标都是整数的点） ，则 a 的取值范围是 12 （2019阜宁县一模）已知二次函数 y（x2a）2+（a1） （a 为常数） ，当 a 取不同的值时，其图象构 成一个“抛物线系” ，如图分别是当 a1，a0，al，a2 时二次函数的图象它们的顶点在一条 直线上，这条直线的解析式是 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 13 （2019虹口区
19、一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于原点 O 和点 B（4，0） ，点 A（3，m）在抛物线上 （1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求 tanOAB 的值 （3）点 D 在抛物线的对称轴上，如果BAD45，求点 D 的坐标 14 （2019建邺区校级二模）已知点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）在二次函数 yx2+mx+n 的图象上，当 x11、 x23 时，y1y2 （1）若 P（a，b1） ，Q（3，b2）是函数图象上的两点，b1b2，则实数 a 的取值范围是 Aa1 Ba3 Ca1 或 a3 D.1a3 （2）若抛物线与
20、x 轴只有一个公共点，求二次函数的表达式 （3）若对于任意实数 x1、x2都有 y1+y22，则 n 的范围是 15 （2019南通）已知：二次函数 yx24x+3a+2（a 为常数） （1）请写出该二次函数的三条性质； （2） 在同一直角坐标系中， 若该二次函数的图象在 x4 的部分与一次函数 y2x1 的图象有两个交点， 求 a 的取值范围 16 （2019泰州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为（4，3） ，该图象与 x 轴 相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，其中点 A 的横坐标为 1 （1）求该二次函数的表达式； （2）求 tanABC 17 （2019宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润 不能超过 60 元） ， 每天可售出 50 件 根据市场调查发现， 销售单价每增加 2 元， 每天销售量会减少 1 件 设 销售单价增加 x 元，每天售出 y 件 （1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？
