1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 08 反比例函数及综合问题 【方法指导】【方法指导】 1.反比例函数知识梳理： 1反比例函数的 图象和性质 k0 图象经过 第 一、三象限 （x、y 同号） 每个象限内， 函数y的值随x的 增大而减小. k0 图象经过 第 二、四象限 （x、y 异号） 每个象限内，函数y的值随x 的增大而增大. 2.反比例函数的 图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2 条对称
2、轴 分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线 3.系数k的几何 意义 （1）意义：从反比例函数yk x(k0)图象上任意一点向 x轴和y轴作垂线， 垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的 三角形的面积为 1/2|k|. （2）常见的面积类型： 4.与一次函数的 综合 （1）确定交点坐标： 【方法一】已知一个交点坐标为（a,b） ，则根据中心对称性，可得另一个交 点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个 函数解析式中求解 （3） 在同一坐标系中判断函数
3、图象： 充分利用函数图象与各字母系数的关系， 可采用假设法， 分 k0 和 k0 两种情况讨论， 看哪个选项符合要求即可. 也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下 方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】反比例函数】反比例函数 k k 的几何意义的几何意义 【例 1】 （2019宿豫区模拟）如图，A 是反比例函数 y（x0）的图象上的任意一点，ABx 轴，交反比 例函数 y的图象于点 B，以 AB 为边画ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则ABCD 的面积等于（ ） A4 B5 C8
4、 D9 【变式 1-1】 （2019梁溪区一模）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 都在坐标轴上，点 B 在第二象限，矩形 OABC 的面积为 6把矩形 OABC 沿 DE 翻折，使点 B 与点 O 重合若反比例函数 y的图象恰好经 过点 E 和 DE 的中点 F则 OA 的长为（ ） A2 B C2 D 【变式 1-2】 （2019惠山区一模）如图，矩形 ABCD 的顶点 A 和对称中心在反比例函数 y（k0，x0） 上，若矩形 ABCD 的面积为 8，则 k 的值为（ ） A4 B2 C2 D8 【类型【类型 2 2】反比例函数点的坐标特征】反比例函数点的坐标特征 【例 2】 （2019
5、锡山区一模）如图，在反比例函数 y的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另一 支于点 B，在第二象限内有一点 C，满足 ACBC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y的图象上运动， 若 tanCAB2，则 k 的值为（ ） A6 B12 C18 D24 【变式 2-1】 （2019宜兴市一模）已知反比例函数 y的图象上有两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，且 x1x2， 那么下列结论中，正确的是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1与 y2之间的大小关系不能确定 【变式 2-2】 （2019昆山市一模）如图，将边长为 10 的等边三角形 OAB 位于平面直角
6、坐标系第一象限中， OA 落在 x 轴正半轴上，C 是 AB 边上的动点（不与端点 A、B 重合） ，作 CDOB 于点 D，若点 C、D 都 在双曲线 y（k0，x0）上，则 k 的值为（ ） A9 B18 C25 D9 【类型【类型 3 3】 ：反比例函数和一次函数相结合问题】 ：反比例函数和一次函数相结合问题 【例 3】 （2019海门市二模）如图，正比例函数 y2x 与反比例函数 y的图象相交于 A（m，4） ，B 两 点 （1）求反比例函数的表达式及点 B 的坐标； （2）当2x时，请直接写出 x 的取值范围 【变式 3-1】 （2019如皋市一模）定义：把函数 y（m0）的图象叫做
7、正值双曲线把函数 y（m 0）的图象叫做负值双曲线 （1）请写出正值双曲线的两条性质； （2）如图，直线 l 经过点 A（1，0） ，与负值双曲线 y（m0）交于点 B（2，1） P 是射线 AB 上的一点，过点 P 作 x 轴的平行线分别交该负值双曲线于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左边） 求直线 l 的解析式和 m 的值； 是否存在点 P，使得 SAMN4SAPM？若存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由 【变式 3-2】 （2019滨海县一模）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限， 斜靠在两坐标轴上，ACB90，点 C 的坐
8、标为（2，0） ，点 A 的坐标为（0，4） ，一次函数 ykx+b 的图象经过点 B、C，反比例函数 y的图象经过点 B （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当 x0 时，kx+b0 的解集 【类型【类型 4 4】 ：反比例函数的应用问题】 ：反比例函数的应用问题 【例 4】 （2019河池三模）制作一种产品，需先将材料加热达到 60后，再进行操作设该材料温度为 y （） ， 从加热开始计算的时间为 x（分钟） 据了解， 设该材料加热时， 温度 y 与时间 x 成一次函数关系； 停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系（如图） 已知该材料在操作加工前的温度为 15， 加
9、热 5 分钟后温度达到 60 （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与 x 的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料的温度低于 15时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了 多少时间？ （3）该种材料温度维持在 40以上（包括 40）的时间有多长？ 【变式 4-1】 （2019大洼区一模）小明家饮水机中原有水的温度为 20，通电开机后，饮水机自动开始加热 此过程中水温 y（）与开机时间 x（分）满足一次函数关系，当加热到 100时自动停止加热，随后 水温开始下降此过程中水温 y（）与开机时间 x（分）成反比例关系，当水温降至 20时，饮水机又 自动开始加热，重复上述程序
10、（如图所示） ，根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当 0x8 时，求水温 y（）与开机时间 x（分）的函数关系式； （2）求图中 t 的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为多 少？ 【变式 4-2】 （2018东台市一模）某农户共摘收草莓 1920 千克，为寻求合适的销售价格，进行了 6 天试销， 试销中发现这批草莓每天的销售量 y（千克）与售价 x（元/千克）之间成反比例关系，已知第 1 天以 20 元/千克的价格销售了 45 千克现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量 y（千克）与销售价格 x（元 /千克）之间都满足这一
11、关系 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）在试销期间，第 6 天的销售价格比第 2 天低了 9 元/千克，但销售量却是第二天的 2 倍，求第二天 的销售价格； （3）试销 6 天共销售草莓 420 千克，该农户决定将草莓的售价定为 15 元/千克，并且每天都按这个价格 销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 【类型【类型 5 5】 ：反比例函数的几何综合问题】 ：反比例函数的几何综合问题 【例 5】 （2019靖江市校级一模）如图，已知 C，D 是反比例函数 y（m0）图象的两点，直线 CD 分 别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，连接 OC、OD，tanBOC，OC （1）
12、求点 C 的坐标； （2）若BOCAOD，求直线 CD 的解析式 【变式 5-1】 （2019广陵区校级二模）对于平面直角坐标系内的点 P（m，n）和点 Q（km+n，k2m+kn） ，其 中 k 为常数，我们把点 Q 叫做点 P 的 k 倍随点 例如：点 A（1，3）的 2 倍随点 B 的坐标为（21+3，221+23） ，即点 B 的坐标为（5，10） （1）C（2，0）的 3 倍随点 D 的坐标为 ； 若点 E（0，n）的 k 倍随点 F 的坐标为（2，8） ，则 k ，n ； （2）已知点 O 为平面直角坐标系的坐标原点，点 G 在 x 轴上，若点 H 是点 G 的 k 倍随点，GHO
13、 是 等腰直角三角形，求 k 的值； （3）若反比例函数 y图象上的点 M 的横坐标为1，且点 M 的 k 倍随点也在反比例函数 y的图象 上，求 k 的值 【变式 5-2】 （2019海陵区二模）如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点 A，连接 AO 并延长与另一分支交于点 B，以 AB 为边作一个等边ABC，使得点 C 落在第四象限内 （1）当 BC 平行 x 轴时，试求出点 C 的坐标； （2）在点 A 运动过程中，直接写出ABC 面积的最小值 ； （3）在点 C 的运动路径上是否存在点 D，使得以 A、B、C、D 四个点构成的四边形为菱形？如果存在， 请求出一个点 D 的坐标；
14、如果不存在，请说明理由 【达标检测】【达标检测】 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 （2019徐州）若 A（x1，y1） 、B（x2，y2）都在函数 y的图象上，且 x10x2，则（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 2 （2019扬州）若反比例函数 y的图象上有两个不同的点关于 y 轴的对称点都在一次函数 yx+m 的图象上，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2或 m2 D2m2 3 （2019无锡）如图， 已知 A 为反比例函数 y（x0）的图象上一点， 过点 A 作 ABy 轴， 垂足为 B 若 OAB 的面积为 2，则 k 的值为（ ） A
15、2 B2 C4 D4 4 （2019姑苏区校级二模）设点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）是反比例函数 y图象上的两点，当 x1x2 0 时，y1y2，则一次函数 y2x+k 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5 （2019宿迁）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 A 与原点 O 重合，顶点 B 落在 x 轴 的正半轴上，对角线 AC、BD 交于点 M，点 D、M 恰好都在反比例函数 y（x0）的图象上，则的 值为（ ） A B C2 D 6 （2019淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长 y 和宽 x 之间函数
16、关系的是（ ） 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 7 （2019南通）如图，过点 C（3，4）的直线 y2x+b 交 x 轴于点 A，ABC90，ABCB，曲线 y （x0）过点 B，将点 A 沿 y 轴正方向平移 a 个单位长度恰好落在该曲线上，则 a 的值为 8 （2019镇江）已知点 A（2，y1） 、B（1，y2）都在反比例函数 y的图象上，则 y1 y2 （填“” 或“” ） 9 （2019无锡）某个函数具有性质：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 _（只要写出一个符合题意的答案即可） 10 （2018无锡）已知点 A、B 都在反比例函数 y（x
17、0）的图象上，其横坐标分别是 m、n（mn） 过 点 A 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是 C、D；过点 B 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别是 E、F， AC 与 BF 交于点 P当点 P 在线段 DE 上、且 m（n2）3 时，m 的值等于 11 （2018南通）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（2t，0） ，B（0，2t） ，C（2t，4t）三点，其中 t0， 函数 y的图象分别与线段 BC，AC 交于点 P，Q若 SPABSPQBt，则 t 的值为 12 （2018宿迁）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y（x0）的图象与正比例函数 ykx、yx （k1）的图象
18、分别交于点 A、B若AOB45，则AOB 的面积是 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 13 （2019常州）如图，在OABC 中，OA2，AOC45，点 C 在 y 轴上，点 D 是 BC 的中点，反 比例函数 y（x0）的图象经过点 A、D （1）求 k 的值； （2）求点 D 的坐标 14 （2019苏州）如图，A 为反比例函数 y（其中 x0）图象上的一点，在 x 轴正半轴上有一点 B，OB 4连接 OA，AB，且 OAAB2 （1）求 k 的值； （2）过点 B 作 BCOB，交反比例函数 y（其中 x0）的图象于点 C，连接 OC 交 AB 于点 D，求 的值 15 （20
19、19宿迁）如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A（1，m） 、B（n， 1）两点 （1）求一次函数表达式； （2）求AOB 的面积 16已知一次函数 y1kx+n（n0）和反比例函数 y2（m0，x0） （1）如图 1，若 n2，且函数 y1、y2的图象都经过点 A（3，4） 求 m，k 的值； 直接写出当 y1y2时 x 的范围； （2）如图 2，过点 P（1，0）作 y 轴的平行线 l 与函数 y2的图象相交于点 B，与反比例函数 y3（x0） 的图象相交于点 C 若 k2，直线 l 与函数 y1的图象相交点 D当点 B、C、D 中的一点到另外两点的距离相等时
20、，求 m n 的值； 过点 B 作 x 轴的平行线与函数 y1的图象相交于点 E当 mn 的值取不大于 1 的任意实数时，点 B、C 间的距离与点 B、E 间的距离之和 d 始终是一个定值求此时 k 的值及定值 d 17 （2019连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 yx+b 的图象与函数 y（x0）的图象相 交于点 A（1，6） ，并与 x 轴交于点 C点 D 是线段 AC 上一点，ODC 与OAC 的面积比为 2：3 （1）k ，b ； （2）求点 D 的坐标； （3）若将ODC 绕点 O 逆时针旋转，得到ODC，其中点 D落在 x 轴负半轴上，判断点 C是否落在 函数 y（x0）的图象上，并说明理由
