1、 1993 年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 一、选择题(每小题 5 分，共 30 分) 1若 M=(x，y)| |tany|+sin2x=0，N=(x，y)|x2+y22，则 MN 的元素个数是（ ） (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2已知 f(x)=asinx+b3x+4(a，b 为实数)，且 f(lglog310)=5，则 f(lglg3)的值是（ ） (A)5 (B)3 (C)3 (D)随 a，b 取不同值而取不同值 3集合 A，B 的并集 AB=a1，a2，a3，当 AB 时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A， B)对的个数是（ ） （A）8 （B）9 （C
2、）26 （D）27 4若直线 x= 4被曲线 C:(xarcsina)(xarccosa)+(yarcsina)(y+arccosa)=0 所截的弦长为 d，当 a 变化时 d 的最小值是( ) (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 5 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边长分别为 a， b， c， 若 ca 等于 AC 边上的高 h， 则 sinCA 2 +cosC+A 2 的值是( ) (A)1 (B) 1 2 (C) 1 3 (D)1 6设 m，n 为非零实数，i 为虚数单位，zC，则方程|z+ni|+|zmi|=n 与|z+ni|zmi|=m 在同一复平面 内的图形(F1，
3、F2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 1 二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i 为虚数单位，R)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为 _ 2实数 x，y 满足 4x25xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则 1 Smax+ 1 Smin=_ 3若 zC，arg(z24)= 5 6 ，arg(z2+4)= 3，则 z 的值是_. 4整数 1093 1031+3 的末两位数是_. x y F1 F2 x y F1 F2 O o F1 F2 F1 F2 x x y o o y (A)(B)(C)(D) 5设任意实数 x0x1x2x30，要使 logx0
4、 x11993+log x1 x21993+log x2 x31993k log x0 x31993 恒成立，则 k 的最大值 是_. 6三位数(100，101，999)共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数， 有的卡片所印的， 倒过来看仍为三位数， 如 198 倒过来看是 861； 有的卡片则不然， 如 531 倒过来看是 ， 因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_张卡片 三、 （本题满分 20 分） 三棱锥 SABC 中，侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直，M 为三角形 ABC 的重心，D 为 AB 的中点，作 与 SC 平行的直线 DP证明：(1)D
5、P 与 SM 相交；(2)设 DP 与 SM 的交点为 D，则 D为三棱锥 SABC 的 外接球球心 四、 （本题满分 20 分） 设 00，故否定 A， 由于 n 为椭圆的长轴，而 C 中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定 C 由 B 与 D 知， 椭圆的两个个焦点都在 y 轴负半轴上， 由 n 为长轴， 知|OF1|=n， 于是 mx2x30，要使 logx0 x11993+log x1 x21993+log x2 x31993k log x0 x31993 恒成立，则 k 的最大值 是_. 解：显然x0 x31，从而 logx 0 x319930即 1 l
6、gx0lgx1+ 1 lgx1lgx2+ 1 lgx2lgx3 k lgx0lgx3 就是(lgx0lgx1)+(lgx1lgx2)+(lgx2lgx3)( 1 lgx0lgx1+ 1 lgx1lgx2+ 1 lgx2lgx3)k x y F1 F2 x y F1 F2 O o F1 F2 F1 F2 x x y o o y (A)(B)(C)(D) z 2 -44x O y 其中 lgx0lgx10，lgx1lgx20，lgx2lgx30，由 Cauchy 不等式，知 k9即 k 的最大值为 9 6三位数(100，101，999)共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位
7、数， 有的卡片所印的， 倒过来看仍为三位数， 如 198 倒过来看是 861； 有的卡片则不然， 如 531 倒过来看是 ， 因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_张卡片 解：首位与末位各可选择 1，6，8，9，有 4 种选择，十位还可选 0，有 5 种选择，共有 454=80 种选择 但两端为 1，8，中间为 0，1，8 时，或两端为 9、6，中间为 0，1，8 时，倒后不变；共有 23+2 3=12 个，故共有(8012)2=34 个 三、 （本题满分 20 分） 三棱锥 S-ABC 中，侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直，M 为三角形 ABC 的重心，D 为 AB 的中点，作
8、与 SC 平行的直线 DP证明：(1)DP 与 SM 相交；(2)设 DP 与 SM 的交点为 D ，则 D 为三棱锥 SABC 的外 接球球心 证明： DPSC，故 DP、CS 共面 DC面 DPC， MDC，M面 DPC，SM面 DPC 在面 DPC 内 SM 与 SC 相交，故直线 SM 与 DP 相交 SA、SB、SC 两两互相垂直， SC面 SAB，SCSD DPSC， DPSDDDMCSM， M 为ABC 的重心， DMMC=12 DDSC=12 取 SC 中点 Q，连 DQ则 SQ=DD，平面四边形 DDQS 是矩形 DQSC，由三线合一定理，知 DC=PS 同理，DA= DB= DB= DS即以 D为球心 DS 为半径作球 D则 A、B、C 均在此球上即 D为三 棱锥 SABC 的外接球球心 四、 （本题满分 20 分） 设 00，k=0 时，aBQbAP=0，k0，k=0 时，bCRcBQ =0，k0，k=0 时，aCRcAP =0，k0； 当 k=0 时，ABCR+BCAPACBQ=0， 当 k0 时，ABCR+BCAPACBQ0故证 、
