2005年全国高中数学联赛二试及解答.doc

1、 2005 年全国高中数学联赛试题（二） 一、 （本题满分 50 分） 如图，在ABC 中，设 ABAC，过 A 作ABC 的外接圆的切线 l，又以 A 为圆心，AC 为半 径作圆分别交线段 AB 于 D；交直线 l 于 E、F。 证明：直线 DE、DF 分别通过ABC 的内心与一个旁心。 （注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为 旁心。 ） 二、 （本题满分 50 分） 设正数 a、b、c、x、y、z 满足.;,caybxbcxazabzcy 求函数 z z y y x x zyxf 111 ),( 222 的最小值. 三、 （本题满分 50 分）

2、对每个正整数 n，定义函数 . 1 ,0 )( 不为平方数当 为平方数当 n n n nf （其中x表示不超过 x 的最大整数，).xxx 试求： 240 1 )( k kf的值. 2005 年全国高中数学联赛试题（二）参考答案 一、 （本题满分 50 分） 如图，在ABC 中，设 ABAC，过 A 作ABC 的外接圆的切线 l，又以 A 为圆心，AC 为半 径作圆分别交线段 AB 于 D；交直线 l 于 E、F。 证明：直线 DE、DF 分别通过ABC 的内心与一个旁心。 （注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为 旁心。 ） 证明： （1）先证 DE

3、 过ABC 的内心。 如图，连 DE、DC，作BAC 的平分线分别交 DC 于 G、DE 于 I，连 IC，则由 AD=AC， 得，AGDC，ID=IC. 又 D、C、E 在A 上， IAC= 2 1 DAC=IEC，A、I、C、E 四点共圆， CIE=CAE=ABC，而CIE=2ICD， ICD= 2 1 ABC. AIC=IGC+ICG=90+ 2 1 ABC，ACI= 2 1 ACB，I 为ABC 的内心。 （2）再证 DF 过ABC 的一个旁心. 连 FD 并延长交ABC 的外角平分线于 I1，连 II1、B I1、B I，由（1）知，I 为内心， IBI1=90=EDI1，D、B、l

4、1、I 四点共圆， BI l1 =BDI1=90ADI1 =（ 2 1 BAC+ADG）ADI= 2 1 BAC+IDG，A、I、I1共线. I1是ABC 的 BC 边外的旁心 二、 （本题满分 50 分） 设正数 a、b、c、x、y、z 满足.;,caybxbcxazabzcy 求函数 z z y y x x zyxf 111 ),( 222 的最小值. 解：由条件得，0)()()(abzcyacaybxcbcxazb， 即02 222 cbabcx， bc acb x 2 222 ，同理，得. 2 , 2 222222 ab cba z ac bca y a、b、c、x、y、z 为正数，据

5、以上三式知， 222222222 ,cbabcaacb， 故以 a、b、c 为边长，可构成一个锐角三角形 ABC， CzByAxcos,cos,cos，问题转化为：在锐角ABC 中， 求函数Af (cos、Bcos、Ccos）= C C B B A A cos1 cos cos1 cos cos1 cos 222 的最小值. 令,cot,cot,cotCwBvAu则, 1, wuvwuvRwvu 且).)(1),)(1),)(1 222 wvwuwwvvuvwuvuu 1 )1( )1(1 1 1 1 cos1 cos 2 22 22 2 2 2 2 2 u uuu uuu u u u u u

6、 A A ), 11 ( 2)( 1 3 2 3 2 2 3 2 wuvu u u wuvu u u u u u 同理，). 11 ( 2cos1 cos ), 11 ( 2cos1 cos 3 2 23 2 2 wvwu w w C C wuvu v v B B )( 2 1 )( 2 1 22222 333333 222 vuvuwvu wu wu wv wv vu vu wvuf +. 2 1 )( 2 1 )()( 2222 uwvwuvwuwuwvwv（取等号当且仅当wvu，此时， . 2 1 ),(), 2 1 , min zyxfzyxcba 三、 （本题满分 50 分） 对每个

7、正整数 n，定义函数 . 1 ,0 )( 不为平方数当 为平方数当 n n n nf （其中x表示不超过 x 的最大整数，).xxx 试求： 240 1 )( k kf的值. 解：对任意 * ,Nka，若 22 ) 1( kak，则kka21 2 ，设, 10 ,ka 则. 2 1 , 1 2211 1 2222 ka k aka k ka k ka ka kaa 让 a 跑遍区间 22 ) 1( ,(kk）中的所有整数，则 22 )1( 2 1 , 2 1 kak k i i k a 于是 2 )1( 11 2 1 2 )( n a n i k i i k af 下面计算 k i i k 2

8、 1 , 2 画一张 2k 2k 的表，第 i 行中，凡是 i 行中的位数处填写“*”号，则这行的 “*”号共 2 i k 个，全表的“*”号共 k i i k 2 1 2 个；另一方面，按列收集“*”号数，第 j 列中，若 j 有 T（j）个正因数，则该列使有 T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共 k j jT 2 1 )(个，因此 k i i k 2 1 2 = k j jT 2 1 )(. 示例如下： j i 1 2 3 4 5 6 1 * * * * * * 2 * * * 3 * * 4 * 5 6 * 则)2() 12()4() 3()1()2() 1 ()()( 11 2

9、1 nTnTTTnTTnjTaf n i n i k j 由此， 15 1 256 1 )() 12()16()( kk kTkTkkf 记,15, 2 , 1),2() 12(kkTkTak易得 k a的取值情况如下： k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 k a 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10 因此， 15 1 16 1 783)16()( k k k akkf n 据定义0)16()256( 2 ff， 又当)3016(15,255,242,241 2 rrkk设， 30 1515 31 1515 151515 22

10、 2 r r rr r r rk ， 2 31 15 130 1 2 r r r ，则255,242,241, 1 1 k k 从则.76815783)(783)( 256 1 240 1 ii kfkf 20052005 年全国高中数学联赛加试第年全国高中数学联赛加试第 2 2 题的探讨题的探讨 本文对 2005 年的全国高中数学联赛加试第 2 题的解法及来历作以探讨， 供感兴趣的读者参考。 题目：设正数 a、b、c、x、y、z 满足 abzcy；caybx ;bcxaz，求函数 z z y y x x zyxf 111 ),( 222 的最小值。 一几种迷茫思路的分析 这道题目初看起来比较

11、平易，给人一种立刻想到直接使用 Cauchy 不等式的通畅思路的惊喜， 殊不知，这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。 思路一： 由 Cauchy 不等式知 z z y y x x zyxf 111 ),( 222 6 3 9 3)( 33 )( 22 u uzyxu u u zyx zyx 记 到此，在 u0 的情况下，力图使用函数 x xxf 1 )(的性质无法得到最小值。 思路二：考虑到题目的条件是 6 个变量的 3 个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出 x、y、z 用 a、b、c 表达的式子： 2ab c-ba z ; 2 b-ac y ; 2 222

12、222222 cabc acb x 因为 a、b、c；x、y、z 都是正数，所以， 0b-ac 0;a-cb ; 0 222222222 cba 即以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角ABC，令,cos,cos,cosCzByAx从而，结 合 Cauchy 不等式有 CBA CBA C C B B A A zyxf coscoscos3 )coscos(cos cos1 cos cos1 cos cos1 cos ),( 2222 令 CBAucoscoscos,则 6 3 9 3 3cos1 cos cos1 cos cos1 cos ),( 2222 u u u u C C B B A

13、 A zyxf 因为 1 2 sin 2 sin 2 sin41coscoscos CBA CBAu 2 3 coscoscosCBAu， 2 3 334 u 到此，似乎胜利的曙光就在眼前，立刻想到在区间 2 9 , 4内使用函数 x xxf 1 )(的性质，但 也 无 法 得 到 最 小 值 ， 而 此 时 的 最 大 值 正 好 与 题 目 的 最 小 值 2 1 （ 由 于 函 数 C C B B A A zyxf cos1 cos cos1 cos cos1 cos ),( 222 的对称性，可以猜测其最小值在 A=B=C=60 0时达到 2 1 ） 吻合，实际上，这是一条无用的信息（

14、表明使用 Cauchy 不等式过当！ ） ，它是答题人再次陷入不能自 拔的困境。 俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用 Cauchy 不等式， 需要再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。 二赛题的解答 为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。 引理：在ABC 中，求证： 2 sin 2 sin 2 sin82 2 tan 2 tan 2 tan 222 CBACBA 等号成立的条件是ABC 为等边三角形。 证明：用向量方法证明如下 设kji ,是平面上的单位向量， 且kj 与 成角为-A, ik 与 成角为-B, ji 与成角为-C, 那么， 0)

15、2 tan 2 tan 2 tan( 2 C k B j A i ,所以 222 22 2 tantantan 222 2tantancos2tantancos2tantancos 222222 2tantan(1 2sin)2tantan(1 2sin) 222222 2tantan(1 2sin) 222 ABC ABBCCA CAB ABCBCA CAB . 2 sin 2 sin 2 sin82 2 cos 2 cos 2 cos2 sinsinsin 2 sin 2 sin 2 sin42 ) 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 c

16、os 2 sin ( 2 sin 2 sin 2 sin4 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan2 CBA CBA CBACBA BA C AC B CB A CBA ACCBBA 注意到，在ABC 中有熟知的等式：1 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan ACCBBA . 从而得证。 有了上面的引理，本题的解答就容易多了，下面看本题的解法。 解：同思路二得到，以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角ABC， 令,cos,cos,cosCzByAx从而 2 cos2 2 cos 2 sin4 2 cos 2 sin 2 cos

17、2 2 cos 2 sin4 2 cos 2 sin 2 cos2 2 cos 2 sin41 2 cos2 2 cos 2 sin41 2 cos2 2 cos 2 sin41 2 cos2 sin1 2 cos2 sin1 2 cos2 sin1 cos1 cos cos1 cos cos1 cos ),( 2 2222 2 2222 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2222 B BBBB A AAAA C CC B BB A AA C C B B A A C C B B A A zyxf 2 cos2 2 cos 2 sin4 2 cos 2 sin 2 2222 C

18、CCCC 2 1 ) 2 sin 2 sin 2 sin21 (2) 2 sin 2 sin 2 sin82( 2 1 2 3 ) 2 sin 2 sin 2 sin21 (2) 2 tan 2 tan 2 (tan 2 1 2 3 ) 2 sin 2 sin 2 (sin2) 2 tan 2 tan 2 (tan 2 1 2 3 222 222222 CBACBA CBACBA CBACBA 等号成立的条件显然是 A=B=C=600时达到，最后一个不等式是根据引理而得到的。 所以， z z y y x x zyxf 111 ),( 222 的最小值为 2 1 . 显然，在 0 60CBA时，

19、等号成立，所以),(zyxf的最小值为 2 1 . 三背景探索 早在 1994 年，华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题： 在ABC 中，是否有： 2 1 sinsin cos sinsin cos sinsin cos 22 2 22 2 22 2 BA C AC B CB A 后来，湖南师大附中黄军华（现为深圳中学教师）先生在文1曾证明了这一猜想。 请看证明：分两种情况 （1）当ABC 为钝角三角形时，此时不妨设 A90 0， 于是 222 cba， 所以 CBCBA 22222 c o sc o s2sinsinsin, ACB 222 cos1coscos 再据 CABAsinsin

20、, sinsin，所以， 即此种情况得证。 （2）当ABC 为非钝角三角形时， 2 cos2cos1)cos(cos1 )cos()cos(1sinsin 2 22 A ACBA CBCBCB 所以， 2 1 sin2 coscos sinsin cos sinsin cos sinsin cos sinsin cos sinsin cos sinsin cos sinsin cos 2 22 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 A CB BA C CA A BA C CB A BA C AC B CB A 2 sin2 2 tan 2 1 2 1 2 cos

21、2 2 cos 2 sin4 2 sin 2 cos 2 cos2 sin1 2 cos2 cos sinsin cos 22 2 2222 2 2 2 2 22 2 AA A AAAA A A A A CB A 从而 BA C AC B CB A 22 2 22 2 22 2 sinsin co s sinsin co s sinsin co s ) 2 sin 2 sin 2 (sin2) 2 tan 2 tan 2 (tan 2 1 2 3 2 cos2 cos 2 cos2 cos 2 cos2 cos 222222 2 2 2 2 2 2 CBACBA C C B B A A 2 1

22、 ) 2 sin 2 sin 2 sin21 (2) 2 sin 2 sin 2 sin82( 2 1 2 3 CBACBA 即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。 对比之后的叙述与今年的这道竞赛加试第 2 题的解法， 不难知道， 今年的这道赛题无非是在 的第 2 种情况的基础上增加了一个解方程组的程序（并由此判断ABC 为锐角三角形）罢了，即 今年的这道加试题可以看作是由解方程组（初中知识的要求） ，判断三角形种类、与求最值（高中知 识的要求）三个问题的简单合成（串联） 。 顺便指出，的证明曾经是上世纪 1990 年前后在文2等刊物上讨论过几年的一个结论。 四条件等式的几何解释 对比条件等式 abzcy； ; bcxazcaybx （注意 a、b、c、x、y、z 为正数） 与ABC 中的斜射影定理 aCbBc coscos bAcCa coscos cBaAb coscos 以及余弦定理，可知，应有 , 2ca b-ac cos , 2 cos 222222 By bc acb Ax , 2ab c-ba cosCz 222 从而，求解本题中的解方程组的环节就可以看作是余弦定理的默认结 果。另外，有了上边的余弦定理结构，解答中的构造三角形法已经水到渠成了。