1、 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 2 4260MxxNx xx ，则MN= A43xx B42xx C22xx D 23xx
2、2设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A 22 +11()xy B 22 1(1)xy C 22 (1)1yx D 22 ( +1)1yx 3已知 0.20.3 2 log 0.220.2abc，则 Aabc Bacb Ccab Dbca 4 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 （ 51 2 0.618， 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长 度为 26 cm，
3、则其身高可能是 A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm 5函数 f(x)= 2 sin cos xx xx 在, 的图像大致为 A B C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为 阳爻“”和阴爻“ ” ，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻 的概率是 A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 7已知非零向量 a，b 满足| 2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8如图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图，图中空白
4、框中应填入 AA= 1 2A BA= 1 2 A CA= 1 12A DA= 1 1 2A 9记 n S为等差数列 n a的前 n 项和已知 45 05Sa，则 A25 n an B 310 n an C 2 28 n Snn D 2 1 2 2 n Snn 10已知椭圆 C 的焦点为 12 1,01,0FF()， ()，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若 22 | 2|AFF B， 1 | |ABBF，则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x y B 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 11关于函数( )sin|sin |f xxx有下述四个结论
5、： f(x)是偶函数 f(x)在区间（ 2 ，）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 12已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A68 B64 C62 D6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 2 3()exyxx在点(0 )0，处的切线方程为_ 14记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 2 146 1 3 aaa，则 S5=_ 15甲、乙两队进行篮球决赛
6、，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 根据前 期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的 概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_ 16已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线 分别交于 A，B 两点若 1 FAAB， 12 0FB F B，则 C 的离心率为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考
7、题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17(12 分) ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 22 (sinsin)sinsinsinBCABC （1）求 A； （2）若22abc，求 sinC 18 （12 分） 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC， BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 AMA1N 的正弦值 19 （12 分） 已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为
8、P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若3APPB，求|AB| 20（12 分） 已知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx 为( )f x的导数证明： （1）( )fx 在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； （2）( )f x有且仅有 2 个零点 21（12 分） 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时，就停止试验，并认为治
9、愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、 乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8) i p i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认 为甲药比乙药更有效”的概率，则 0 0p ， 8 1p ， 11iiii papbpcp (1,2,7)i ，其中 (1)aP X ，(0)bP X，(1)c
10、P X假设0.5，0.8 (i)证明： 1 ii pp (0,1,2,7)i 为等比数列； (ii)求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 cos3 sin110 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到
11、 l 距离的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明： （1） 222 111 abc abc ； （2） 333 ()()()24abbcca 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题 1C 2C 3B 4B 5D 6A 7B 8A 9A 10B 11C 12D 二、填空题 13y=3x 14121 3 150.18 162 三、解答题 17解： （1）由已知得 222 sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因
12、为0180A ，所以60A （2）由（1）知120BC ，由题设及正弦定理得 2sinsin 1202sinACC ， 即 631 cossin2sin 222 CCC，可得 2 cos60 2 C 由于0120C ，所以 2 sin60 2 C ，故 sinsin6060CC sin60cos60cos60sin60CC 62 4 18解：（1）连结B1C，ME 因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以MEB1C，且ME= 1 2 B1C 又因为N为A1D的中点，所以ND= 1 2 A1D 由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MNED 又M
13、N平面EDC1，所以MN平面C1DE （2）由已知可得DEDA 以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则 (2,0,0)A， A1(2，0 ，4)， (1, 3,2)M， (1,0,2)N， 1 (0,0, 4)AA， 1 ( 1, 3, 2)AM ， 1 ( 1,0, 2)AN ，(0,3,0)MN 设( , , )x y zm为平面A1MA的法向量，则 1 1 0 0 AM A A m m ， 所以 320 40 xyz z ， 可取( 3,1,0)m 设( , , )p q rn为平面A1MN的法向量，则 1 0 0 MN AN ， n n 所以
14、30 20 q pr ， 可取(2,0, 1)n 于是 2 315 cos, |525 m n m n m n ， 所以二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 19解：设直线 1122 3 :, 2 l yxt A x yB xy （1）由题设得 3 ,0 4 F ，故 12 3 | 2 AFBFxx，由题设可得 12 5 2 xx 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 22 912(1)40xtxt，则 12 12(1) 9 t xx 从而 12(1)5 92 t ，得 7 8 t 所以l的方程为 37 28 yx （2）由3APPB可得 12 3yy 由 2 3 2 3 yxt yx
15、 ，可得 2 220yyt 所以 12 2yy从而 22 32yy，故 21 1,3yy 代入C的方程得 12 1 3, 3 xx 故 4 13 | 3 AB 20解： （1）设( )( )g xf x，则 1 ( )cos 1 g xx x ， 2 1 sin( ) ) (1 x x g x . 当1, 2 x 时，( )g x单调递减，而(0)0,( )0 2 gg ，可得( )g x在1, 2 有唯一零点， 设为. 则当( 1,)x 时，( )0g x ；当, 2 x 时，( )0g x . 所以( )g x在( 1,)单调递增，在, 2 单调递减，故( )g x在1, 2 存在唯一极大
16、值点， 即( )f x在1, 2 存在唯一极大值点. （2）( )f x的定义域为( 1,) . （i）当( 1 ,0x 时，由（1）知，( )f x在( 1,0)单调递增，而(0)0f ，所以当( 1,0)x 时，( )0f x ，故( )f x在( 1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0x是( )f x在( 1,0的唯一 零点. （ii） 当0, 2 x 时， 由 （1） 知，( )f x在(0,)单调递增， 在, 2 单调递减， 而(0)=0f ， 0 2 f ， 所以存在, 2 ， 使得( )0f ， 且当(0,)x时，( )0f x ； 当, 2 x 时，( )0f x .故( )
17、f x在(0,)单调递增，在, 2 单调递减. 又(0)=0f，1 ln 10 22 f ，所以当0, 2 x 时，( )0f x .从而，( )f x 在0, 2 没有零点. （iii）当, 2 x 时，( )0f x ，所以( )f x在, 2 单调递减.而0 2 f ，( )0f ， 所以( )f x在, 2 有唯一零点. （iv）当( ,)x 时，ln(1)1x，所以( )f x0，从而( )f x在( ,) 没有零点. 综上，( )f x有且仅有2个零点. 21解：X 的所有可能取值为1,0,1. (1)(1) (0)(1)(1) (1)(1) P X P X P X ， ， ， 所
18、以X的分布列为 （2） （i）由（1）得0.4,0.5,0.1abc. 因此 11 =0.4+0.5 +0.1 iiii pppp ，故 11 0.10.4 iiii pppp ，即 11 4 iiii pppp . 又因为 101 0ppp，所以 1 (0,1,2,7) ii ppi 为公比为 4，首项为 1 p的等比数列 （ii）由（i）可得 8 887761008776101 3 4 1 ppppppppppppppp . 由于 8=1 p，故 1 8 3 41 p ，所以 4 4433221101 411 . 325 7 pppppppppp 4 p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算
19、结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治 愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 4 1 0.0039 257 p ，此时得出错误结论的概率非 常小，说明这种试验方案合理. 22解： （1）因为 2 2 1 11 1 t t ，且 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t ，所以C的直角坐标方程为 2 2 1(1) 4 y xx . l的直角坐标方程为23110xy. （2）由（1）可设C的参数方程为 cos , 2sin x y （为参数， ）. C上的点到l的距离为 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 . 当 2 3 时， 4cos11 3 取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7. 23解： （1）因为 222222 2,2,2abab bcbc caac，又1abc，故有 222 111abbcca abcabbcca abcabc . 所以 222 111 abc abc . （2）因为, , a b c为正数且1abc，故有 333333 3 ()()()3 () () ()abbccaabbcac =3( + )( + )( + )a b b c a c 3 (2) (2) (2)abbcac =24. 所以 333 ()()()24abbcca.
