1、人教版九年级数学下册知识点总结 1 人教版九年级人教版九年级数学下册数学下册知识点知识点总结总结 第二十六章 二次函数 1 261 二次函数及其图像 . 1 262 用函数观点看一元二次方程 . 6 263 实际问题与二次函数 . 6 第二十七章 相似 6 271 图形 de 相似 6 272 相似三角形 . 7 273 位似 . 8 第二十八章 锐角三角函数 9 281 锐角三角函数 . 9 282 解直角三角形 10 第二十九章 投影与视图. 12 291 投影 12 292 三视图 12 第二十六章 二次函数 261 二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指
2、未知数 de 最高次数为二次 de 多项式 函数。二次函数可以表示为 f(x)=ax2+bx+c(a 不为 0)。其图像是一条主轴平行 于 y 轴 de 抛物线。 一般 de，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： 一般式 人教版九年级数学下册知识点总结 2 y=ax2;+bx+c(a0,a、b、c 为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b 2)/4a) ； 顶点式 y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k 为常数)或 y=a(x-h)+k(a0,a、h、 k 为常数)，顶点坐标为（-m，k）对称轴为 x=-m，顶点 de 位置特征和图像 de 开口方向与函数axde 图像相同，
3、有时题目会指出让你用配方法 把一般式化成顶点式； 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与 x 轴有交点 A（x1，0）和 B（x2，0）de 抛物线 ； 重要概念：a，b，c 为常数，a0，且 a 决定函数 de 开口方向，a0 时，开口方向向上，a0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b/4a； 在x|x-b/2a上是增函数；抛物线 de 开口向上；函数 de 值域是 y|y4ac-b2/4a相反不变 当 b=0 时，抛物线 de 对称轴是 y 轴，这时，函数是偶函数，解析式变 形为 y=ax2+c(a0) 特殊值 de 形式 人教版九年级数学下
4、册知识点总结 5 7.特殊值 de 形式 当 x=时 y=a+b+c 当 x=-1 时 y=a-b+c 当 x=2 时 y=4a+2b+c 当 x=-2 时 y=4a-2b+c 二次函数 de 性质 8.定义域：R 值域： （对应解析式，且只讨论 a 大于 0de 情况，a 小于 0de 情况请读 者自行推断）(4ac-b2)/4a， 正无穷） ；t，正无穷） 奇偶性：当 b=0 时为偶函数，当 b0 时为非奇非偶函数 。 周期性：无 解析式： y=ax2+bx+c一般式 a0 a0，则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下； 极值点： （-b/2a，(4ac-b2)/4a） ； =b2-4a
5、c, 0，图象与 x 轴交于两点： （-b-/2a，0）和（-b+/2a，0） ； 0，图象与 x 轴交于一点： （-b/2a，0） ； 0，图象与 x 轴无交点； y=a(x-h)2+k顶点式 此时，对应极值点为（h，k） ，其中 h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a； y=a(x-x1)(x-x2)交点式（双根式）（a0） 对称轴 X=(X1+X2)/2 当 a0 且 X(X1+X2)/2 时， Y 随 Xde 增大而增大， 当 a0 且 X（X1+X2）/2 时 Y 随 X de 增大而减小 人教版九年级数学下册知识点总结 6 此时，x1、x2 即为函数与 X 轴 de 两个交点，
6、将 X、Y 代入即可求出解 析式（一般与一元二次方程连 用） 。 交点式是 Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个 x 轴交点和另一个点坐标设交 点式。两交点 X 值就是相应 X1 X2 值。 262 用函数观点看一元二次方程 1. 如果抛物线yaxbxc 2 与 x 轴有公共点，公共点 de 横坐标是x0，那么当 xx 0时，函数 de 值是 0，因此x x 0就是方程ax bxc 2 0de 一个根。 2. 二次函数 de 图象与 x 轴 de 位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点， 有两个公共点。这对应着一元二次方程根 de 三种情况：没有实数根，有两个相 等 de 实数根，有两个
7、不等 de 实数根。 263 实际问题与二次函数 在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些 可归结为求二次函数 de 最大值或最小值。 第二十七章 相似 271 图形 de 相似 概述 如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。 （相 似 de 符号：） 判定 如果两个多边形满足对应角相等，对应边 de 比相等，那么这两个多边 形相似。 人教版九年级数学下册知识点总结 7 相似比 相似多边形 de 对应边 de 比叫相似比。相似比为 1 时，相似 de 两个图 形全等。 性质 相似多边形 de 对应角相等，对应边 de 比相等。相似多边形 de
8、周长比 等于相似比。 相似多边形 de 面积比等于相似比 de 平方。 272 相似三角形 判定 1.两个三角形 de 两个角对应相等 2.两边对应成比例,且夹角相等 3.三边对应成比例 4.平行于三角形一边 de 直线和其他两边或两边延长线相交， 所构成 de 三角形与原三角形相似。 例题 A=A; B=B ABCABC 性质 1.相似三角形 de 一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、 外接圆半径、内切圆半径等）de 比等于相似比。 2.相似三角形周长 de 比等于相似比。 人教版九年级数学下册知识点总结 8 3.相似三角形面积 de 比等于相似比 de 平方 273 位似 如果两
9、个图形不仅是相似图形，而且每组对应点 de 连线交于一点， 对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心， 这时 de 相似比又称为位似比。 性质 位似图形 de 对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心 de 距 离之比等于相似比。 位似多边形 de 对应边平行或共线。 位似可以将一个图形放大或缩小。 位似图形 de 中心可以在任意 de 一点，不过位似图形也会随着位似中心 de 位变而位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比 de 位似图形, 这两个图形分布在位似中心 de 两侧,并且关于位似中心对称。 注意 1、位似是一种具有位置关系 de 相似，所
10、以两个图形是位似图形，必 定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形 de 位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心 de 两侧，也可能位于位似中心 de 一侧； 4、位似比就是相似比利用位似图形 de 定义可判断两个图形是否位 似； 5、平行于三角形一边 de 直线和其它两边相交，所构成 de 三角形与原 三角形位似。 人教版九年级数学下册知识点总结 9 第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐角角 Ade 正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正 割（sec） ， （余割 csc）都叫做角 Ade 锐角三角函数。 正弦（s
11、in）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边； 余切（cot）等于邻边比对边 正割（sec)等于斜边比邻边 余割 (csc)等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 互余角 de 三角函数间 de 关系。 sin(90-)=cos, cos(90-)=sin, tan(90-)=cot, cot(90-)=tan. 同角三角函数间 de 关系 平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积 de 关系： sin=tancos cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=
12、tancsc csc=seccot 倒数关系： tancot=1 人教版九年级数学下册知识点总结 10 sincsc=1 cossec=1 直角三角形 ABC 中, 角 Ade 正弦值就等于角 Ade 对边比斜边, 余弦等于角 Ade 邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）090de 任意角 de 三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值 de 变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在 090间变化时， 正弦值随着角度 de 增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度 de 增大（或减小）而减小（或增大） 正
13、切值随着角度 de 增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度 de 增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在 090间变化时， 0sin1, 1cos0, 当角度在 00. 特殊 de 三角函数值 0 30 45 60 90 0 1/2 2/2 3/2 1 sin 1 3/2 2/2 1/2 0 cos 0 3/3 1 3 None tan None 3 1 3/3 0 cot 282 解直角三角形 人教版九年级数学下册知识点总结 11 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a2+b2=c2, 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边，c 为斜边。 勾股弦
14、数是指一组能使勾股定理关系成立 de 三个正整数。比如：3，4， 5。他们分别是 3，4 和 5de 倍数。 常见 de 勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等. 直角三角形 de 特征 直角三角形两个锐角互余； 直角三角形斜边上 de 中线等于斜边 de 一半； 直角三角形中 30所对 de 直角边等于斜边 de 一半； 勾股定理：直角三角形中，两直角边 de 平方和等于斜边 de 平方， 即： 在RtABC中，若C90，则a 2+b2=c2； 勾股定理 de 逆定理： 如果三角形 de 一条边 de 平方等于另外两条边 de 平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在ABC中，若a 2+
15、b2=c2，则C 90； 射影定理：AC 2=AD AB,BC2=BD AB,CD2=DA DB 锐角三角函数 de 定义： 如图，在RtABC中，C90， A，B，C所对 de 边分别为a,b,c, 则sinA=a c ,cosA= b c ,tanA= a b ,cotA= b a 特殊角 de 三角函数值： （并会观察其三角函数值随de 变化情况） 1 sin cos tan cot 30 1 2 3 2 3 3 3 45 2 2 2 2 1 1 60 3 2 1 2 3 3 3 A B C D A B C a c b 人教版九年级数学下册知识点总结 12 解直角三角形（RtABC,C9
16、0） 三边之间 de 关系：a 2+b2=c2 两锐角之间 de 关系：AB90 边角之间 de 关系：sinA= Aa c 的对边 斜边 ,cosA= Ab c 的邻边 斜边 tanA= Aa Ab 的对边 的邻边 ,cotA= Ab Aa 的邻边 的对边 解直角三角形中常见类型： 已知一边一锐角 已知两边 解直角三角形 de 应用 第二十九章 投影与视图 291 投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到 de 影 子叫做物体 de 投影（projection） ，照射光线叫做投影线，投影所在 de 平 面叫做投影面。 有时光线是一组互相平行 de 射线，例如太阳光或探
17、照灯光 de 一束光 中 de 光线。由平行光线形成 de 投影是平行投影（parallel projection). 由同一点（点光源发出 de 光线）形成 de 投影叫做中心投影（center projection)。投影线垂直于投影面产生 de 投影叫做正投影。 投影线平行于投影面产生 de 投影叫做平行投影。 物体正投影 de 形状、大小与它相对于投影面 de 位置有关。 292 三视图 三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出 de 图形。 将人 de 视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体 de 轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图
18、：从物 人教版九年级数学下册知识点总结 13 体 de 前面向后面投射所得 de 视图称主视图能反映物体 de 前面形状， 从物体 de 上面向下面投射所得 de 视图称俯视图能反映物体 de 上面形 状，从物体 de 左面向右面投射所得 de 视图称左视图能反映物体 de 左 面形状， 还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图、俯视图、左视图 de 总称。 特点：一个视图只能反映物体 de 一个方位 de 形状，不能完整反映物体 de 结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射 de 结果，另 外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整 de 表达物体 de 结构。 主视、
19、俯视 长对正 物体 de 投影 主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等 在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达 和确定形体 de 形状和结构 de。如图所示，三个形体在同一个方向 de 投影 完全相同，但三个形体 de 空间结构却不相同。可见只用一个方向 de 投影 来表达形体形状是不行 de。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清 晰地表达出形体 de 形状和结构。 一个视图只能反映物体 de 一个方位 de 形状，不能完整反映物体 de 结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射 de 结果，另外 还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整 de 表达物体 de 结构。 画法：根据各形体 de 投影规律，逐个画出形体 de 三视图。画形体 de 顺序：一般先实（实形体）后空（挖去 de 形体） ；先大（大形体）后小（小 形体） ；先画轮廓，后画细节。画每个 形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征 de 视图画起，再按 投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆 de 圆弧要画出对 称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。 人教版九年级数学下册知识点总结 14
