1、 2020 年大连市高三第二次模拟考试 数 学（理科） 本试卷满分 150 分，共 6 页，答卷时间 120 分钟.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹 清楚. 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液
2、、修正带、刮纸刀. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第 22 题第 23 题为选考题，其 它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回. 第卷 一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1. 已知集合 2 |430Ax xx，|24Bxx，则AB （ ） A. 1,3 B. 1,4 C. 2,3 D. 2,4 2. 已知, a bR，i为虚数单位，若ai与2 bi互为共轭复数，则 2 abi为（ ） A. 54i B. 54i C.
3、 3 4i D. 34i 3. 双曲线 2 2 1 4 x y的渐近线方程是（ ） A. 1 4 yx B. 1 2 yx C. 2yx D. 4yx 4. 瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式cossin ix exix（i为虚数单位） ” ，欧拉公式将指数函数的 定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的 天桥” ，根据欧拉公式可知， 3i e表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 设函数 2 1 log (2),1 ( ) ,1 x x x f x ex ，则( 2)(ln6)
4、ff（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 已知各项均为正数的数列 n a为等比数列， 15 16a a， 34 12aa，则 7 a （ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 256 7. 已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是（ ） A. sin xx yee B. sin xx yee C. cos xx yee D. cos xx yee 8. 已知关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由上表可得线性回归方程0.08ybx，
5、若规定当维修费用12y 时该设备必须报废，据此模型预报该设 备使用的年限不超过为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 已知点P在抛物线C： 2 4yx上，过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C于A、B两点，若 直线AB的斜率为-1，则点P坐标为（ ） A. 1,2 B. 1, 2 C. 2,2 2 D. 2, 2 2 10. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点， 能得出/ /AB 平面MNP的图形的序号是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数( )sin()0, 2 f xx ，其图象与直线1y 相邻两个交点的距离为，
6、若对 , 24 3 x ，不等式 1 ( ) 2 f x 恒成立，则的取值范围是（ ） A. , 12 6 B. , 12 3 C. , 6 3 D. , 6 2 12. 已知三棱锥PABC，面PAB 面ABC，4PAPB，4 3AB ，120ACB，则三棱锥 PABC外接球的表面积（ ） A. 20 B. 32 C. 64 D. 80 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 设向量2,4
7、a 与向量,6bx共线，则实数x_. 14. 已知 5 a x x 的展开式中含 3 x的项的系数为 30，则a的值为_. 15. 数列 n a满足 1 ( 1)n nn aan ，则 n a的前 8 项和为_. 16. 已知函数( )ln 2 ex f x x ，则( )(2)f xfx值为_；若 19 1 19() 10 k k fab ，则 22 ab的最 小值为_. 三、解答题： （本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 222 (2)2cosacabcabcC. （）求角B的大小； （）
8、若1a ，3b ，求ABC的面积. 18. 如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，/CDAB，且24PACDAB. 将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角PDCB，连接PA、PB、BD. （）证明：平面PBD 平面PBC； （）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 19. 在创建“全国卫生文明城”的过程中，环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查， 每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分（满分：100 分）数据， 统计结果如下表所示. 组别 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 9
9、0,100 频数 25 150 200 250 225 100 50 （）已知此次问卷调查的得分Z服从正态分布 2 ,14.5N，近似为这 1000 人得分的平均值（同一组 中的数据用该组区间的中点值为代表） ，请利用正态分布的知识求3679.5PZ； （）在（）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （i）得分不低于的可以获赠 2 次随机话费，得分低于的可以获赠 1 次随机话费； （ii）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X为该市民参加问卷调 查获赠的话费，求X的分布列及数学期望. 赠送的随机话费（单位：元） 20 40 概率 3 4
10、1 4 附：若 2 ,XN ，则0.6827PX，220.9545PX， 330.9973PX. 20. 已知函数( )ln(1)1f xxxaxa. （）讨论 f x的单调性； （）若1x ，不等式 1f x 恒成立，求整数a的最大值. 21. 已知离心率为 2 2 e 的椭圆Q： 22 22 10 xy ab ab 的上下顶点分别为0,1A，0, 1B，直线 l：0xtym m与椭圆Q相交于C，D两点，与y相交于点M . （）求椭圆Q的标准方程； （）若OCOD，求OCD面积的最大值； （）设直线AC，BD相交于点N，求OM ON的值. 请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，
11、则按所做的第一题记分.做答时，用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应的标号涂黑. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的 极坐标方程为sin3 2 4 ，曲线C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数）. （）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （）求曲线C上的动点到直线l距离的最大值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2f xxaxb，, a bR. （）若1a ， 1 2 b ，求 2f x 的解集； （）若0ab，且 f x的最小值为 2，求 21 ab 的最
12、小值. 2020 年大连市高三二模测试 数学（理科）参考答案 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题 1-5：BDBBC 6-10：CDDAC 11-12：AD 二、填空题
13、 13. 3 14. -6 15. 20 16. 2， 1 2 三、解答题 17.（）由余弦定理得： 222 2cosabcacB， 又因为 222 (2)2cosacabcabcC， 所以(2)coscosacBbC，所以(2sinsin)cossincosACBBC， 所以2sincossin()sinABBCA， 因为sin0A， 1 cos 2 B ，所以 3 B . （）由正弦定理得： sinsin ab AB ， 所以 sin1 sin 2 aB A b ， 因为ab，所以 6 A . 113 sin13sin90 222 SabC . 18. 解： （）因为PDDC，ADDC，直
14、二面角PDCB的平面角为90PDA， 则PD 平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PDBC. 又在平面四边形ABCP中， 连接BD， 由已知数据易得BDBC， 而PDBDD，BD 平面PBD， PD 平面PBD，故BC 平面PBD，因为BC 平面PBC， 所以平面PBD 平面PBC. （）法一： 由（）知，PDDA，PDDC，DCDA，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示.结合已 知数据可得2,0,0A，2,2,0B，0,4,0C，0,0,2P， 2,2,0BC ，2,2, 2PB ，设平面PBC的法向量为, ,mx y z，则 220 2220 xy xyz ， 所以平面PBC的一个法向
15、量1,1,2m ， 又0,2,0AB ， 则得 6 cos, 6 m AB m AB m AB ， 记直线AB与平面PBC所成角为，则知 6 sincos, 6 m AB， 故所求角的正弦值为 6 6 . 解法二： （略解）如图中，因为/ABCD，所以直线AB与平面PBC所成角等于直线CD与平面PBC所 成角， 由此，在RtPBD中作DHPB于H，易证DH 平面PBC，连接CH，则DCH为直线CD与平 面PBC所成角， 结合题目数据可求得 6 sin 6 DCH， 故所求角的正弦值为 6 6 . 19.【解析】 （）由题意可得 35 2545 15055 20065 25075 22585 1
16、0095 50 65 1000 ， 易知21014.5，366529652 14.52 ， 79.565 14.5， (3679.5)(2)PZPZ(2)()PZPZ (22 )() 2 PXPX 0.95450.6827 0.8186 2 ； （）根据题意，可得出随机变量X的可能取值有 20、40、60、80 元， 133 (20) 248 P X ， 1113313 (40) 2424432 P X ， 1133 (60)2 24416 P X ， 1111 (80) 24432 P X . 所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 20 40 60 80 P 3 8 13 32 3 16
17、 1 32 所以，随机变量X的数学期望为 3133175 20406080 83216322 EX . 20. 解： （）因为 f x的定义域为0,，所以 ln2fxxa ， 所以 f x在 2 0, a e 上单调递减，在 2,a e 上单调递增. （）方法一：若 2 1 a e ，则2a， 由（）知 22 min ( )1 aa f xf eae ， 因为不等式 1f x 恒成立，所以 2 0 a ae . 令 2 ( )(2) x g xxex ， 2 ( )10 x g xe ， g x在2,为减函数， 330ge ， 2 440ge.因为整数a，所以 max 3a. 当2a时，因为求
18、整数a的最大值，所以舍.所以 max 3a. 方法二：若1x ，不等式 1f x 恒成立，即ln10xxaxa恒成立， 令xe，则10eaea，所以 2 1 e a e ，因为整数a，所以 max 3a. 下面证明：ln2301xxxx 恒成立. 令 ln230g xxxx ， ln1gxx. 所以 g x在1,e上单调递减，在, e 上单调递增. min 3 30g xg e ，所以 max 3a. 方法三： 不等式可化为 (1 ln ) 1 xx a x .设 (1 ln ) ( ) 1 xx h x x ， 2 ln2 ( ) (1) xx h x x . 设 ln2g xxx，当1x
19、时， 11 ( )10 x g x xx ， 则 g x在1,单调递增. 又 31 ln30g ， 42 ln40g，则 g x在3,4存在唯一零点 0 x满足 000 ln20g xxx， 则当 0 1,xx时， h x单调递减，当 0, xx时， h x单调递增，则 00 0 0 1 ln ( ) 1 xx h xh x x . 又因为 00 ln20xx，则 00 00 0 1 1 xx h xx x ，因为 0 3,4x ，则 0 (3,4)ah x，则整数a的最大值为 3. 21. 解： （）由题意可得： 2 2 c a ，1b， 222 abc，联立解得2a ，1bc. 所以椭圆C
20、的方程为： 2 2 1 2 x y. （）设 11 ,C x y， 22 ,D xy，联立方程组 2 2 1 2 xtym x y ， 化简得 222 2220tytmym； 222222 44224 2240t mtmmt ， 12 2 2 2 tm yy t ， 2 12 2 2 2 m y y t ； 因为 1 2121212 x xy ytym tymy y 22 1212 10ty ytm yym， 所以 22 3220mt， 因为 22 3220mt，所以 22 2432tm， 2 121212 11 4 22 OCD Sm yymyyy y 2 2 22 122 4 222 tm
21、m m tt 22 22 22 4 2324 224 11 32222 2 mmmt mm mt 22 2 22 32 mm m ， 因为 2 32(2)mu u， 所以 2 24 2 2(2)(4) 33 3 OCD uu uu S uu 2 2119292 8 388382u ， 所以当8u 即2m时， max 2 2 OCD S . （）设 2 22 () 2 x ymxny，, NN N xy，0, M My，直线AC： 1 1 1 1 y yx x 直线BD： 2 2 1 1 y yx x ； 得 12 12 11 11 N N yyx yxy ，因为 1 2 BDAD kk ， 2
22、2 22 111 002 yy xx ， 所以 22 22 1 2 1 xy yx . 所以 12 12 1212 1111 2 11 N N yyyyxtm yxyx xtm ， 所以 N t y m ，又因为 M m y t ， 1 MN mt OM ONy y tm . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 解： （）由sin3 2 4 ，得 22 sincos3 2 22 ， 将siny，cosx代入上式， 得直线l的直角坐标方程为60xy. 由曲线C的参数方程 2cos 3sin x y （为参数） ， 得曲线C的普通方程为 22 1 43 xy . （）设点M的坐标为 2cos
23、, 3sin，则点M到直线l：60xy的距离为 2cos3sin67sin6 22 d （其中 2 3 tan 3 ）. 当sin1时，d取最大值，且d的最大值为 146 2 2 . 23. 选修 4-5：不等式选讲 解： （）由题意 212f xx ，所以解集为：0,2. （）因为 222f xxaxbxaxbab， 当且仅当20xaxb时，取到最小值2ab，即22ab， 因为0ab，故22ab， 2121 abab ， 所以 21121121 22 22 ab ababab 1414 4424 222 baba abab . 当且仅当 4ba ab ，且22ab，即1a ， 1 2 b 或1a， 1 2 b 时，等号成立. 所以 21 ab 的最小值为 4.
