1、第2章 试验的方差分析 问题的提出问题的提出:先看一个例子：先看一个例子：考察温度对某一化工厂产品的得率的影响，选了五种不同的考察温度对某一化工厂产品的得率的影响，选了五种不同的温度。温度。总平均得率总平均得率=89.6%要分析温度的变化对得率的影响要分析温度的变化对得率的影响从平均得率来看，温度对得率的影响从平均得率来看，温度对得率的影响?1)同一温度下得率并不完全一样，产生这种差异的原因是由于同一温度下得率并不完全一样，产生这种差异的原因是由于试验过程中各种偶然性因素的干扰及测量误差等所致，这一试验过程中各种偶然性因素的干扰及测量误差等所致，这一类误差统称为试验误差；类误差统称为试验误差；
2、2)两种温度的得率在不同的试验中的倾向有所差别。如两种温度的得率在不同的试验中的倾向有所差别。如65oC与与70oC相比较，第一次相比较，第一次65oC比比70oC好，而后二次好，而后二次70oC比比65oC好。好。产生这种矛盾的现象也是由于试验误差的干扰。产生这种矛盾的现象也是由于试验误差的干扰。由于试验误差的存在，对于不同温度下得率的差异自然要提出由于试验误差的存在，对于不同温度下得率的差异自然要提出疑问，这差异是试验误差造成的，还是温度的影响呢疑问，这差异是试验误差造成的，还是温度的影响呢?1)由于温度的不同引起得率的差异叫做条件变差；由于温度的不同引起得率的差异叫做条件变差；例中的全部
3、例中的全部15个数据，参差不齐，它们的差异叫做个数据，参差不齐，它们的差异叫做总变差总变差(或总离差或总离差)。产生总变差的原因一是。产生总变差的原因一是试验误差试验误差，一是，一是条件变条件变差差。2)方差分析解决这类问题的思想是：方差分析解决这类问题的思想是：a.由数据的总变差中分出试验误差和条件变差，并赋予它们的由数据的总变差中分出试验误差和条件变差，并赋予它们的数量表示；数量表示；b.用条件变差和试验误差在一定意义下进行比较，如两者相差用条件变差和试验误差在一定意义下进行比较，如两者相差不大，说明条件的变化对指标影响不大；反之，则说明条件不大，说明条件的变化对指标影响不大；反之，则说明
4、条件的变化影响是很大的，不可忽视；的变化影响是很大的，不可忽视；c.选择较好的工艺条件或确定进一步试验的方向；选择较好的工艺条件或确定进一步试验的方向；变差的数量表示：变差的数量表示：有有n个参差不齐的数据个参差不齐的数据x1,x2,xn,它们之间的差异称为变差。它们之间的差异称为变差。如何给变差一个数量表示呢如何给变差一个数量表示呢?1)一个最直观的想法是用这一个最直观的想法是用这n个数中最大值与最小值之差，即极个数中最大值与最小值之差，即极差来表达，用差来表达，用R记之；记之；2)变差平方和，以变差平方和，以S记之。记之。2111 nniiiisxxxxn其中S是每个数据离平均值有多远的一
5、个测度，它越大表示数据是每个数据离平均值有多远的一个测度，它越大表示数据间的差异越大。间的差异越大。对变差平方和的进一步讨论（对变差平方和的进一步讨论（1）：）：例：测得某高炉的六炉铁水含碳量为例：测得某高炉的六炉铁水含碳量为:4.59，4.44，4.53，4.52，4.72，4.55，求其变差平方和。，求其变差平方和。127.354.594.444.534.524.724.55664.558x 2222224.594.558(4.444.558)(4.534.558)4.524.558(4.724.558)(4.554.558)0.043484s 对变差平方和的进一步讨论对变差平方和的进一步
6、讨论(2)：我们看到我们看到S的计算是比较麻烦的，原因是计算的计算是比较麻烦的，原因是计算x时有效位数增时有效位数增加了，因而计算平方时工作量就大大增加。另外，在计算加了，因而计算平方时工作量就大大增加。另外，在计算x时时由于除不尽而四舍五入，在计算由于除不尽而四舍五入，在计算S时，累计误差较大。为此常时，累计误差较大。为此常用以下公式用以下公式:22111nniiiisxxn对于前面的例子对于前面的例子22224.594.44.4.5514.594.44.4.550.0434836s 自由度的提出（自由度的提出（1）：）：例例2：在上例的基础上在同样的工艺条件下又测了四炉铁水，：在上例的基础
7、上在同样的工艺条件下又测了四炉铁水，它们是：它们是：4.60,4.42,4.68,4.54,加上原来的六炉共十炉，求其加上原来的六炉共十炉，求其变方和。变方和。145.594.59.4.544.55910100.07949xs自由度的提出自由度的提出(2)：平均数与过去的结果是相近的，但平方和是显著地变大了。我平均数与过去的结果是相近的，但平方和是显著地变大了。我们要设法消除数据个数的多少给平方和带来的影响。们要设法消除数据个数的多少给平方和带来的影响。一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，但从数学理论上一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，但从数学理论上推知这不是一个最好的办法，而应把项
8、数加以修正，这个修正推知这不是一个最好的办法，而应把项数加以修正，这个修正的数就叫做的数就叫做自由度自由度。自由度的提出自由度的提出(3)：设有设有n个数个数y1,y2,yn,它们的平方和的自由度是多它们的平方和的自由度是多少呢少呢?这就看这就看yi 之间有没有线性约束关系，如果有之间有没有线性约束关系，如果有m个个(0m4.43=(4,20)AEFdfdfFFF从 分布表中查得这里说明棉花的百分比对人造纤维的抗拉强度有影响。说明棉花的百分比对人造纤维的抗拉强度有影响。最后将有关计算结果列于方差分析表中。最后将有关计算结果列于方差分析表中。2.2 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析1.分
9、析两个因素分析两个因素(行因素行因素Row和列因素和列因素Column)对试验结果对试验结果的影响的影响 2.如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分析称为差分析称为无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析或或无重复双因无重复双因素方差分析素方差分析(Two-factor without replication)3.如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对
10、结果产生一种新的影响，这时的双个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析或或可重可重复双因素方差分析复双因素方差分析(Two-factor with replication)双因素方差分析的基本假定：双因素方差分析的基本假定：1.每个总体都服从正态分布每个总体都服从正态分布u对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体的简单随机样本的简单随机样本2.各个总体的方差必须相同各个总体的方差必须相同u对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的对于各组观察
11、数据，是从具有相同方差的总体中抽取的3.观察值是独立的观察值是独立的2.2.1 双因素无重复试验的方差分析双因素无重复试验的方差分析（1）双因素无重复试验）双因素无重复试验2.2 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析B1B2BsA1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs（2）双因素无重复试验方差分析的基本步骤）双因素无重复试验方差分析的基本步骤 计算平均值计算平均值 n总平均总平均：111rsijijxxrs 11siijjxxs11rjijixxrn Ai水平时水平时：n Bj水平时：水平时：计算离差平方和计算离差平方和 n总离差平方和：总离差平方和：n因素因素A
12、引起离差的平方和：引起离差的平方和：n因素因素B引起离差的平方和：引起离差的平方和：n误差平方和：误差平方和：211rsTijABeijSSxxSSSSSS22111()()srriiAjiiSSxxsxx22111()()rssjjBijjSSxxrxx211()rsijeijijSSxxxx计算自由度计算自由度 nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSe的自由度：的自由度：dfe（r1）（）（s1）nSST的自由度：的自由度：dfTn1rs1 ndfT dfA dfB dfe计算均方计算均方 1AAAASSSSMSdfr1BBBBSSSSMSd
13、fs(1)(1)eeeeSSSSMSdfrsF检验检验 nFA服从自由度为（服从自由度为（dfA,dfe)的的F分布；分布；nFB服从自由度为（服从自由度为（dfB,dfe)的的F分布；分布；n对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平 ，查，查F分布表：分布表：F（dfA,dfe)，F（dfB,dfe)n若若FAF （dfA,dfe)，则因素，则因素A对试验结果有显著影响，否对试验结果有显著影响，否则无显著影响；则无显著影响；n若若FBF （dfB,dfe)，则因素，则因素B对试验结果有显著影响，否对试验结果有显著影响，否则无显著影响；则无显著影响；BBeMSFMSAAeMSFMS差异源差异源
14、SSdfMSF显著性显著性因素因素ASSAr1因素因素BSSBs1误差误差SSe总和总和SSTrs1无重复试验双因素方差分析表无重复试验双因素方差分析表 1AASSMSrAAeMSFMS1BBSSMSsBBeMSFMS(1)(1)rs(1)(1)eeSSMSrs无重复试验双因素方差分析表无重复试验双因素方差分析表为了方便计算，我们采用下面的简便计算公式：为了方便计算，我们采用下面的简便计算公式：22.1122.122.1,rsTijijriAisjBjeTABxSSxrsxxSSsrsxxSSrrsSSSSSSSS例例2-2：(双因素无交互作用的方差分析双因素无交互作用的方差分析)使用使用4种
15、燃料，种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验，则得火箭射程列在表中，试分析各种燃料做一次试验，则得火箭射程列在表中，试分析各种燃料(Ai)与与各种推进器各种推进器(Bj)对火箭射程有无显著影响对火箭射程有无显著影响(=0.05)解解:这里这里r=4,s=3,rs=12方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比燃料燃料A15759352530.43推进器推进器B22385211192.50.92误差误差E73198612199.7总和总和T11134211给出的给出的=0.05,查出查出F0.05(3,6)=4.76,F0.0
16、5(2,6)=5.14因为因为F1=0.434.76,F2=0.925.14故不同的燃料、不同的推进器对火箭射程均无显著影响。故不同的燃料、不同的推进器对火箭射程均无显著影响。因素因素B1B2BsA1A2Ar2.2.2 双因素重复试验的方差分析双因素重复试验的方差分析（1）双因素重复试验方差分析试验表）双因素重复试验方差分析试验表 11111211,.,cxxx12112212,.,cxxx1 11 21,.,ssscxxx21121221,.,cxxx22122222,.,cxxx2 12 22,.,ssscxxx11121,.,rrr cxxx21222,.,rrr cxxx12,.,rs
17、rsrscxxx双因素重复试验方差分析试验表双因素重复试验方差分析试验表（2）双因素重复试验方差分析的基本步骤）双因素重复试验方差分析的基本步骤计算平均值计算平均值n总平均总平均：n任一组合水平（任一组合水平（Ai，Bj）上）上：nAi水平时水平时：nBj水平时水平时：1111rscijkijkxxrsc 11cijijkkxxc11siijkjxxsc11rjijkixxrc计算离差平方和计算离差平方和n总离差平方和：总离差平方和：n因素因素A引起离差的平方和：引起离差的平方和：n因素因素B引起离差的平方和：引起离差的平方和：n交互作用交互作用AB引起离差的平方和：引起离差的平方和：n误差平
18、方和：误差平方和：2111()rscTijkABABeijkSSxxSSSSSSSS 21()riAiSSscxx21()sjBjSSrcxx 211()rsijijA BijSScxxxx 2111()rscijeijkijkSSxx 计算自由度计算自由度nSSA的自由度：的自由度：dfA r1nSSB的自由度：的自由度：dfBs1 nSSAB的自由度：的自由度：dfAB(r1)(s1)nSSe的自由度：的自由度：dfers(c 1)nSST的自由度：的自由度：dfTn1rsc1 ndfT dfA dfB dfAB dfe计算均方计算均方1AASSMSr1BBSSMSs(1)(1)A BA
19、BSSMSrs(1)eeSSMSrs cF检验检验n若若FAF （dfA,dfe)，则认为因素，则认为因素A对试验结果有显著影响，对试验结果有显著影响，否则无显著影响；否则无显著影响；n若若FBF （dfB,dfe)，则认为因素，则认为因素B对试验结果有显著影响，对试验结果有显著影响，否则无显著影响；否则无显著影响；n若若FABF （dfAB,dfe)，则认为交互作用，则认为交互作用AB对试验结对试验结果有显著影响，否则无显著影响果有显著影响，否则无显著影响。AAeMSFMSBBeMSFMSA BA BeMSFMS重复试验双因素方差分析表重复试验双因素方差分析表有交互作用的方差分析简化公式有交
20、互作用的方差分析简化公式:【例例】城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时 间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验取段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验取得共获得得共获得20个行车时间个行车时间(分钟分钟)的数据，如下表。试分析的数据，如下表。试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响响 2.3 试验设计试验设计1.完全随机化设计完全随机化设计2.随机化区组设计随机化区
21、组设计3.因子设计因子设计试验设计与方差分析试验设计与方差分析完全随机化完全随机化设计设计因子因子设计设计试验设计试验设计随机化随机化区组设计区组设计可重复双因素可重复双因素方差分析方差分析单因素单因素方差分析方差分析无重复双因素无重复双因素方差分析方差分析完全随机化设计完全随机化设计(completely randomized design)1.“处理处理”被随机地指派给试验单元的一种设计被随机地指派给试验单元的一种设计u“处理处理”是指可控制的因素的各个水平是指可控制的因素的各个水平u“试验单元试验单元(experiment unit)”是接受是接受“处理处理”的的对象或实体对象或实体2.
22、对完全随机化设计的数据采用对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析单因素方差分析【例例】一家种业开发股份公司研究出一家种业开发股份公司研究出3个新的小麦品种：个新的小麦品种：品种品种1、品种、品种2、品种、品种3。为研究不同品种对产量的影响，。为研究不同品种对产量的影响，需要选择一些地块，在每个地块种上不同品种的小麦，需要选择一些地块，在每个地块种上不同品种的小麦，然后获得产量数据进行分析。这一过程就是试验设计然后获得产量数据进行分析。这一过程就是试验设计的过程的过程。u这里的这里的“小麦品种小麦品种”就是试验因子或因素，品种就是试验因子或因素，品种1、品种品种2、品种、品种3就是因子的就是因
23、子的3个不同水平，称为个不同水平，称为处理处理u假定选取假定选取3个面积相同的地块，这里的个面积相同的地块，这里的“地块地块”就就是接受处理的对象或实体，称为是接受处理的对象或实体，称为试验单元试验单元u将每个品种随机地指派给其中的一个地块，这一将每个品种随机地指派给其中的一个地块，这一过程就是随机化设计过程过程就是随机化设计过程.完全随机化设计完全随机化设计 (例题分析例题分析)完全随机化设计完全随机化设计 (例题分析例题分析)n试验数据试验数据：单因素方差分析单因素方差分析完全随机化设计完全随机化设计 (例题分析例题分析)n方差分析：方差分析：随机化区组设计随机化区组设计(randomiz
24、ed block design)1.先按一定规则将试验单元划分为若干同质组，称为先按一定规则将试验单元划分为若干同质组，称为“区组区组(block)”2.再将各种处理随机地指派给各个区组再将各种处理随机地指派给各个区组比如在上面的例子中，首先根据土壤的好坏分成几个区组，假比如在上面的例子中，首先根据土壤的好坏分成几个区组，假定分成定分成4个区组：区组个区组：区组1、区组、区组2、区组、区组3、区组、区组4，每个区组中有，每个区组中有三个地块三个地块在每个区组内的在每个区组内的3个地块以抽签的方式决定所种的小麦品种个地块以抽签的方式决定所种的小麦品种3.分组后再将每个品种（处理）随机地指派给每一
25、个区组的分组后再将每个品种（处理）随机地指派给每一个区组的设计就是随机化区组设计设计就是随机化区组设计4.试验数据采用试验数据采用无重复双因素方差分析无重复双因素方差分析随机化区组设计随机化区组设计 (例题分析例题分析)n试验数据：试验数据：无重复双因素方差分析无重复双因素方差分析随机化区组设计随机化区组设计 (例题分析例题分析)n方差分析：方差分析：因子设计因子设计(factorial design)1.感兴趣的因素有两个感兴趣的因素有两个如：小麦品种和施肥方式如：小麦品种和施肥方式n假定有甲、乙两种施肥方式，这样假定有甲、乙两种施肥方式，这样3个小麦品种和两种施肥个小麦品种和两种施肥方式的
26、搭配共有方式的搭配共有32=6种。如果我们选择种。如果我们选择30个地块进行实验个地块进行实验，每一种搭配可以做，每一种搭配可以做5次试验，也就是每个品种次试验，也就是每个品种(处理处理)的样本的样本容量为容量为5，即相当于每个品种，即相当于每个品种(处理处理)重复做了重复做了5次试验次试验2.考虑两个因素考虑两个因素(可推广到多个因素可推广到多个因素)的搭配试验设计称为的搭配试验设计称为因子设计因子设计3.该设计主要用于分析两个因素及其交互作用对试验结该设计主要用于分析两个因素及其交互作用对试验结果的影响果的影响4.试验数据采用试验数据采用可重复双因素方差分析可重复双因素方差分析因子设计因子设计(例题分析例题分析)n试验数据：试验数据：可重复双因素方差分析可重复双因素方差分析因子设计因子设计(例题分析例题分析)n方差分析：方差分析：
