1、微分方程 第十二章yxfy求已知,)(积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含,微分方程问题微分方程问题 推广 一阶微分方程高阶微分方程微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第十二章 引例引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C=1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程.引例引例2.列车在平直路上以sm20的速度行驶,制动时获得加速度,sm4.02a求制动后
2、列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知4.0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202.02即求 s=s(t).常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),()1()(nnyyyxfy(n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或,00ts200ddtts引例24.022ddxy 使方程成为恒等式的函数.通解通
3、解 解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.(4)410125sinyyyyyx2()20 x yyyxsinxdyxyedxcos1dyxydx线性：未知函数及其各阶导数都是一次的。第二节 第十二章 一阶微分方程一、可分离变量微分方程二、齐次方程三、全微分方程（
4、数一）四、一阶线性微分方程一、可分离变量微分方程 转化 解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(22分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y(x)是方程的解,xxfxxxgd)(d)()(两边积分,得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式)(yG)(xF当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.则有称为方程的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐
5、函数 x(y)也是的解.例例1.求微分方程yxxy23dd的通解.解解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)例例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C=1,112xy(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y例例3.求下述微分方程的通解:)1(sin2yxy解解:令,1yxu则yu1故有u
6、u2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx)1tan(C 为任意常数)所求通解:练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe(C 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程,0222222zuyuxu)(rf其中二阶可导二阶可导,且且,1)1()1(ff试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程,并求并求 f(r).提示提示:rxrfxu)(2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用对称性利用对称性,0)(2)(rfrrf即即0)(2)(2 rfrrfr(欧拉方程欧拉方程)原方程可
7、化为原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1)1()1(ff.12)(rrf解初值问题:,ddtD 记则原方程化为则原方程化为 02)1(fDDD02fDD即通解通解:teCCrf21)(rCC121利用初始条件得特解利用初始条件得特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxCxCysincos21特征根特征根:,2,1ir例例1.求微分方程2,xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2时当x故通解为故通解为)(sin2xxxy2,04 xyy满足条件满足条件2x在解满足解满足xyy,00 xy00 xy处连续且可微的解处连续且可微的解
8、.设特解设特解:,BAxy代入方程定代入方程定 A,B,得得xy,0,000 xxyy利用得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2x由处的衔接条件可知处的衔接条件可知,2时当x04 yy,122xy12xy解满足解满足故所求解为故所求解为y,sinxx 2221,2cos)1(2sinxxx2xxCxCy2cos2sin21其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:2221,2cos)1(2sinxxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(.)(xf求提示提示:,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxx
9、f则xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得最后求得xxxxfcos2sin21)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:设,0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示:对积分换元对积分换元,uxt 令则有xxttex0d)()()()(xexx 解初值问题解初值问题:xexx)()(,0)0(1)0(答案答案:xxexex41)12(41)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解的解.例3.设函数设函数),()(在xyy,)()(,0
10、的函数是xyyyxxy内具有连续二阶导内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)试将试将 xx(y)所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x)所满足的微分方程所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx,0)0(y数,且23)0(y解解:,1ddyyx,1ddyxy即上式两端对上式两端对 x 求导求导,得得:(1)由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy
11、代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin (2)方程方程的对应齐次方程的通解为的对应齐次方程的通解为 xxeCeCY21设设的特解为的特解为,sincosxBxAy代入代入得得 A0,21B,sin21xy故从而得从而得的通解的通解:题 目录 上页 下页 返回 结束 xeCeCyxxsin2121由初始条件由初始条件,23)0(,0)0(yy得1,121CC故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 xeeyxxsin21例例4.解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引力,初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此
12、速度试计算此速度.设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m,地球质量为地球质量为 M,卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得:222ddhmMGthm00dd,vthRht,0v为(G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题:222ddhMGth又设卫星的初速度又设卫星的初速度，已知地球半径51063R机动 目录 上页 下页 返回 结束),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程代入原方程,得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得两边积分得ChMGv221利用初始条件利用初始条件,得得RMGvC2021因此因此R
13、hMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使为使,0v应满足0vRMGv20因为当因为当h=R(在地面上在地面上)时时,引力引力=重力重力,)sm81.9(22ggmhmMG即,2gRMG故代入代入即得即得81.910632250gRv)s(m102.113这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 skm2.11机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规求质点的运动规例例5.上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比(比例系数比例系数,00vs初始速度为初始位移为).(tss 律提
14、示提示:,d0tksFss由题设两边对两边对 s 求导得求导得:stkFdd牛顿第二定律stktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk为为 k),开方如何定开方如何定+?已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动,作用在质点作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,另一端离钉子另一端离钉子 12 m,如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力,求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.设在时刻设在时刻 t,链
15、条较长一段链条较长一段xox下垂下垂 x m,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数,此时链条受力此时链条受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛顿第二定律由牛顿第二定律,得得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 101.021.01tgtgeCeCx由初始条件得由初始条件得,121 CC故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得24)10(1021.0 xxetg),1(舍去另一根左端当 x=20 m 时,(s)625ln(10gt微分方程通解微分方程通解:101.01.0tgtgeex思考思考:若摩擦力为链条若摩擦
16、力为链条 1 m 长的重量长的重量,定解问题的定解问题的数学模型是什么数学模型是什么?机动 目录 上页 下页 返回 结束 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为xox不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 yoy练习题从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测按探测要求要求,需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉
17、速度与下沉速度 v 之间的函之间的函数关系数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B,海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比,比例系数为比例系数为 k(k 0),试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程,并求出函数关系式并求出函数关系式 y=y(v).(95考研考研)提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律B22ddtymvk重力重
18、力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始条件为初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得yoy质量 m体积 B得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(xfyxy 有特有特,1xy 解而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解,2xy 及求)(,)(xfx微分方程的通解微分方程的通解.解解:,0)(2 yxyxy代入将xx1)(得代入再将xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程
19、为331xyxy),(xpy 令方程化为方程化为331xpxp1.设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 331xpxp故py xxed1xCx121再积分得通解再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习复习:一阶线性微分方程通解公式一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.!)3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1)验证函数验证函数)(x满足微分方程满足微分方程;xeyyy(2)利用利用(1)的结果
20、求幂级数的结果求幂级数!)3(30nxnn的和的和.解解:(1)!)3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn!)13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn!)23(!7!4)(2374nxxxxxyn机动 目录 上页 下页 返回 结束(02考研考研)!0nxnn所以所以 yyyxe(2)由由(1)的结果可知所给级数的和函数满足的结果可知所给级数的和函数满足xeyyy,1)0(y0)0(y其特征方程其特征方程:,012 rr特征根特征根:ir23212,1齐次方程通解为齐次方程通解为)23sin23cos(2121xCxCeYx设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为,xeAy 代入原方程得代入原方程得,31A故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 xe31)23sin23cos(2121xCxCeyx代入初始条件可得代入初始条件可得0,3221CC故所求级数的和故所求级数的和)(3123cos3221xexexx!)3(30nxnn机动 目录 上页 下页 返回 结束
