1、分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程2. 会列出分式方程解简单的应用问题【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最
2、简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时
3、，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主
4、要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（ ）A BC D，（，为非零常数）【答案】B；【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并
5、且分母中是否含有未知数类型二、解分式方程2、 解分式方程（1）；（2）【答案与解析】解：（1），将方程两边同乘，得解方程，得检验：将代入，得 是原方程的解（2），方程两边同乘以，得解这个方程，得检验：把代入最简公分母，得251100 原方程的解是【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根举一反三：【变式】解方程：【答案】解：，方程两边都乘，得，解这个方程，得，检验：当时， 是增根， 原方程无解类型三、分式方程的增根【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3（1）】3、为何值时，关于的方程会产生增根？【思路点拨
6、】若分式方程产生增根，则，即或，然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值【答案与解析】解： 方程两边同乘约去分母，得整理得 原方程有增根， ，即或把代入，解得把代入，解得所以当或时，方程会产生增根【总结升华】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解举一反三：【变式】如果方程有增根，那么增根是_【答案】；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母或可得所以增根是类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】
7、本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等【答案与解析】解：设甲班每小时种棵树，则乙班每小时种棵树由题意可得，解这个方程，得经检验是原方程的根且符合题意所以(棵)答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含的分式表示甲、乙两班种树所用的时间举一反三：【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成哪个队的施工速度快?【答案】解：设乙队单独施工1个月能完成工程的，总工程量为1根据工程的实际进度，得方程两边同时乘以，得 解这个方程得 检验：当时，
8、60， 所以是原分式方程的解由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队施工速度快答：乙队施工速度快【巩固练习】一.选择题1下列关于的方程中，不是分式方程的是（ ）ABCD2解分式方程，可得结果( )A.B.C.D.无解3要使的值和的值互为倒数，则的值为( )A.0B.1C.D.14已知，若用含的代数式表示，则以下结果正确的是( )A.B.C.D.5若关于的方程有增根，则的值为( )A.3B.1C.0D.16完成某项工作，甲独做需小时，乙独做需小时，则两人合作完成这项工作的80，所需要的时间是( )A.小时B.小时C.小时D.小时二.填空题7. 当_时，分
9、式与的值互为相反数8仓库贮存水果吨，原计划每天供应市场吨，若每天多供应2吨，则要少供应_天9_时，两分式与的值相等10当_时，关于的方程的根是111若方程有增根，则增根是_12关于的方程的解是负数，则的取值范围为_三.解答题13. 解下列分式方程：（1）；（2）；（3）14. 甲、乙两地相距50，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C； 【解析】C选项
10、中分母不含有未知数，故不是分式方程.2. 【答案】D； 【解析】是原方程的增根.3. 【答案】B； 【解析】由题意，化简得：解得.4. 【答案】C； 【解析】由题意，化简得：，所以选C.5. 【答案】A； 【解析】将代入，得.6. 【答案】C； 【解析】由题意，所以选C.二.填空题7. 【答案】18； 【解析】，解得.8. 【答案】； 【解析】原计划能供应天，现在能供应天，则少供应天.9. 【答案】8； 【解析】，解得.10.【答案】； 【解析】将代入原方程，得，解得.11.【答案】； 【解析】原方程化为：，解得，经检验是增根.12.【答案】且a0；【解析】原方程化为，解得.x-1，解得a0.
11、三.解答题13.【解析】解：(1)方程的两边都乘，得 解这个整式方程，得2 检验：当2时，20，所以2是增根，所以原方程无解(2)方程两边同乘约去分母，得整理，得这个式子为恒等式.检验：当，时，所以和是增根因此，原方程的解是且的任何实数(3)方程两边同乘，得解此方程，得检验：把代入得，所以原方程的解是14.【解析】解：设自行车的速度为，汽车的速度为， 由题意， 解方程得： 经检验，是原方程的根， .所以自行车的速度为12，汽车的速度是30.答：自行车的速度为12，汽车的速度是30.15.【解析】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，则： 解方程得： 经检验：是原方程的根 所以个位上的数字为：314 所以这个两位数是：310434 答：这个两位数是34
