1、高中数学必修五第2章数列导学案(全章)第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法(一)课时目标1理解数列及其有关概念；2理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式1按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，排在第n位的数称为这个数列的第n项2数列的一般形式可以写成a1，a2，an，简记为an3项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列4如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用
2、一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式一、选择题1数列2,3,4,5，的一个通项公式为()Aann Bann1 Cann2 Dan2n答案B2已知数列an的通项公式为an，则该数列的前4项依次为()A1,0,1,0 B0,1,0,1 C.，0，0 D2,0,2,0答案A3若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是()Aan1(1)n1 Ban1cos(n180)Cansin2(n90) Dan(n1)(n2)1(1)n1答案D解析令n1,2,3,4代入验证即可4已知数列an的通项公式为ann2n50，则8是该数列的()A第5项 B第6项C第7项 D非任何一项答案C
3、解析n2n508，得n7或n6(舍去)5数列1,3,6,10，的一个通项公式是()Aann2n1 BanCan Dann21答案C解析令n1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可排除A、B、D，从而选C.6设an (nN*)，那么an1an等于()A. B.C. D.答案D解析anan1，an1an.二、填空题7已知数列an的通项公式为an.则它的前4项依次为_答案4,7,10,158已知数列an的通项公式为an(nN*)，那么是这个数列的第_项答案10解析，n(n2)1012，n10.9用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以
4、是_答案an2n1解析a13，a2325，a33227，a432229，an2n1.10传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是_答案55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，第10个三角形数为：12341055.三、解答题11根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，(2)0.8,0.88,0.888，(3)，(4)，1，(5)0,1,0,1，解(1)符号
5、问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(nN*)(2)数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an(nN*)(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，因此原数列可化为，an(1)n(nN*)(4)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，可得它的一个通项公式为an(nN*)
6、(5)an或an(nN*)或an(nN*)12已知数列；(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由(1)解设f(n).令n10，得第10项a10f(10).(2)解令，得9n300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项(3)证明an1，又nN*，01，0an1.数列中的各项都在区间(0,1)内(4)解令an，则，即.nan，那么这个数列叫做递增数列如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an1an，那么这个数列叫做递减数列如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫做
7、常数列一、选择题1已知an1an30，则数列an是()A递增数列 B递减数列 C常数项 D不能确定答案A2数列1,3,6,10,15，的递推公式是()Aan1ann，nN* Banan1n，nN*，n2Can1an(n1)，nN*，n2 Danan1(n1)，nN*，n2答案B3已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列第4项是()A1 B. C. D.答案B4数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2，则：a3a5等于()A. B. C. D.答案C解析a1a2a332，a1a222，a1a2a3a4a552，a1a2a3a442，则a3，a5.故a3a5.5已知
8、数列an满足an1若a1，则a2 010的值为()A. B. C. D.答案C解析计算得a2，a3，a4，故数列an是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a2 010a3.6已知an，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是()Aa1，a30 Ba1，a9 Ca10，a9 Da10，a30答案C解析an1点(n，an)在函数y1的图象上，在直角坐标系中作出函数y1的图象，由图象易知当x(0，)时，函数单调递减a9a8a7a1a11a301.所以，数列an的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.二、填空题7已知数列an的前n项和为Sn，且有a13,4Sn6anan14S
9、n1，则an_.答案321n8已知数列an满足：a1a21，an2an1an，(nN*)，则使an100的n的最小值是_答案129若数列an满足：a11，且(nN*)，则当n2时，an_.答案解析a11，且(nN*)，即an.10已知数列an满足：anan1，ann2n，nN*，则实数的最小值是_答案3解析anan1n2n(n1)2(n1)(2n1)，nN*3.三、解答题11在数列an中，a1，an1 (n2，nN*)(1)求证：an3an；(2)求a2 011.(1)证明an31111111(1an)an.an3an.(2)解由(1)知数列an的周期T3，a1，a21，a32.又a2 011
10、a36701a1，a2 011.12已知an (nN*)，试问数列an中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由解因为an1ann1(n2)n(n1)n1n1，则当n7时，n10，当n8时，n10，当n9时，n10，所以a1a2a3a7a10a11a12，故数列an存在最大项，最大项为a8a9.能力提升13已知数列an满足a11，an1an，nN*，则通项公式an_.答案解析an1an，a2a1；a3a2；a4a3； anan1；以上各式累加得，ana111.an11，an.14设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式是_答案解
11、析(n1)anaanan10，(n1)an1nan(an1an)0，an0，anan10，(n1)an1nan0.方法一.，.又a11，ana1.方法二(n1)an1nan0，nan(n1)an11a11，nan1，an.函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集1,2，n，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数
12、列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即anan1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即an递增an1an对任意的n (nN*)都成立类似地，有an递减an10，则数列an为递增数列；若公差d0，即d2，a12.6等差数列an的公差d0，且a2a412，a2a48，则数列an的通项公式是()Aan2n2 (nN*)Ban2n4 (nN*)Can2n12 (nN*)Dan2n10 (nN*)答案D解析由所以ana1(n1)d，即an8(n1)(2)，得an2n10.二、填空题7已知a，b，则a、b的等差中项是_答案8一个等差数列的前三项为：a,2a1,3a.则这个数列的通项公式为_答案
13、ann1解析a(3a)2(2a1)，a.这个等差数列的前三项依次为，.d，an(n1)1.9若mn，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为_答案解析nm3d1，d1(nm)又nm4d2，d2(nm).10首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_答案d3解析设an24(n1)d，由解得：1，nN*时，有，设bn，nN*.(1)求证：数列bn为等差数列(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由(1)证明当n1，nN*时，224bnbn14，且b15.bn是等差数列，且公差为4，首项为5.(
14、2)解由(1)知bnb1(n1)d54(n1)4n1.an，nN*.a1，a2，a1a2.令an，n11.即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，是第11项1判断一个数列an是否是等差数列，关键是看an1an是否是一个与n无关的常数2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量3三个数成等差数列可设为：ad，a，ad或a，ad，a2d；四个数成等差数列可设为：a3d，ad，ad，a3d或a，ad，a2d，a3d.2.2等差数列(二)课时目标1进一步熟练掌握等差数
15、列的通项公式2熟练运用等差数列的常用性质1等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是关于n的常函数；当d0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点2已知在公差为d的等差数列an中的第m项am和第n项an(mn)，则d.3对于任意的正整数m、n、p、q，若mnpq.则在等差数列an中，aman与apaq之间的关系为amanapaq.一、选择题1在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为()A4 B6C8 D10答案C解析由a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68
16、.2已知数列an为等差数列且a1a7a134，则tan(a2a12)的值为()A. BC D答案D解析由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7.tan(a2a12)tan(2a7)tantan.3已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m为()A12 B8C6 D4答案B解析由等差数列性质a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.4如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7等于()A14 B21C28 D35答案C解析a3a4a53a412，a44.a1a2a3a7(a1a7)(a2a6)
17、(a3a5)a47a428.5设公差为2的等差数列an，如果a1a4a7a9750，那么a3a6a9a99等于()A182 B78C148 D82答案D解析a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)(a1a4a97)2d33502(2)3382.6若数列an为等差数列，apq，aqp(pq)，则apq为()Apq B0 C(pq) D.答案B解析d1，apqapqdqq(1)0.二、填空题7若an是等差数列，a158，a6020，则a75_.答案24解析a60a1545d，d，a75a6015d20424.8已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则
18、a20_.答案1解析a1a3a5105，3a3105，a335.a2a4a63a499.a433，da4a32.a20a416d3316(2)1.9已知是等差数列，且a46，a64，则a10_.答案解析2d，即d.所以4d，所以a10.10已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|_.答案解析由题意设这4个根为，d，2d，3d.则2，d，这4个根依次为，n，m或n，m，|mn|.三、解答题11等差数列an的公差d0，试比较a4a9与a6a7的大小解设ana1(n1)d，则a4a9a6a7(a13d)(a18d)(a15d)(a16d)(a11a1d24d
19、2)(a11a1d30d2)6d20，所以a4a9a6a7.12已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式解a1a72a4，a1a4a73a415，a45.又a2a4a645，a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.能力提升13在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为()A18 B9 C12 D15答案D解析设这7个数分别为a1，a2，a7，公差为d，则2738d，d3.故a434315.14已知两个等差数列an：5,8
20、,11，bn：3,7,11，都有100项，试问它们有多少个共同的项？解在数列an中，a15，公差d1853.ana1(n1)d13n2.在数列bn中，b13，公差d2734，bnb1(n1)d24n1.令anbm，则3n24m1，n1.m、nN*，m3k(kN*)，又，解得0m75.03k75，0k25，k1,2,3，25两个数列共有25个公共项1在等差数列an中，当mn时，d为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.2等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列3等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，q
21、N*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.2.3等差数列的前n项和(一)课时目标1掌握等差数列前n项和公式及其性质2掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系1把a1a2an叫数列an的前n项和，记做Sn.例如a1a2a16可以记作S16；a1a2a3an1Sn1 (n2)2若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Snna1n(n1)d.3等差数列前n项和的性质(1)若数列an是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.(2)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S
22、3mS2m也成等差数列(3)设两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，则.一、选择题1设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A13 B35C49 D63答案C解析S749.2等差数列an中，S104S5，则等于()A. B2C. D4答案A解析由题意得：10a1109d4(5a154d)，10a145d20a140d，10a15d，.3已知等差数列an中，aa2a3a89，且an0，则S10为()A9 B11 C13 D15答案D解析由aa2a3a89得(a3a8)29，an0，a3a83，S1015.4设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636
23、.则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27答案B解析数列an为等差数列，则S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，则S9S645.a7a8a9S9S645.5在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A765 B665 C763 D663答案B解析a12，d7,2(n1)7100，n200.n19时，剩余钢管根数最少，为10根14已知两个等差数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2 B3 C4 D5答案D解析7，n1,2,3,5,11.1等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，
24、an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn较好，若已知首项a1及公差d，用公式Snna1d较好2等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用2.3等差数列的前n项和(二)课时目标1熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用2掌握等差数列前n项和的最值问题3理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.1前n项和Sn与an之间的关系对任意数列an，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an2等差数列前n项和公式Snna1d.3等差数列前n项和的最值(1)在等差数
25、列an中当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值一个有用的结论：若Snan2bn，则数列an是等差数列反之亦然一、选择题1已知数列an的前n项和Snn2，则an等于()An Bn2C2n1 D2n1答案D2数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值是()A2 B1 C0 D1答案B解析等差数列前n项和Sn的形式为：Snan2bn，1.3已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k为()A9 B8 C7 D6答案B解析由an，an2n10.由52k108，得7.5k9，k8.4设Sn是等差数列
