1、第一章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为()A5 B6 C7 D82下列各组数中，是勾股数的是()A1，2，3 B0.3，0.4，0.5 C9，40，41 D6，8，103【2023南昌二中模拟】如图是单位长度为1的正方形网格，格点上A，B两点间的距离为()A4 B4.5 C5 D64若ABC的三边长a，b，c满足(ab)2|a2b2c2|0，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形5某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动如图，当张角为BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7
2、 cm，此时底部边缘A处与C之间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为()A15 cm B18 cm C21 cm D24 cm6【母题：教材P16复习题T3】一艘快艇欲驶向正东方向24 km远的A处，速度为50 km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇距离A处()A25 km B24 km C7 km D1 km7【2023长沙雅礼实验中学模拟】如图，在三角形纸片ABC中，ACB90，BC6，AB10，在AC上取一点E，以
3、BE为折痕将ABE折叠，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为()A5 B4 C3 D28如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5 m，高为3 m计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为()A5 m B7 m C8 m D12 m9【母题：教材P13图111】如图，一只蚂蚁从圆柱的下底面的点A沿着侧面爬到上底面与点A相对的点B，已知圆柱的底面半径为1 cm，高为4 cm，则蚂蚁爬行的最短路程(取3)约为()A4 cm B4.5 cm C5 cm D6 cm10【2023苏州立达中学模拟】如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA3，PB4，PC5，以BC为边在ABC
4、外作BQCBPA，连接PQ，则以下结论中不正确的是()APBQ60 BPQC90 CAPC120 DAPB150二、填空题(每题3分，共24分)11在RtABC中，斜边AB5，则AB2AC2BC2_12如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，AC17，BC16，AD15，则AB的长为_13若直角三角形两条边的长分别为8和15，且第三条边的长为整数，则第三条边的长为_14【2023东北师大附中月考】如图，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为_15【母题：教材P17复习题T5】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
5、航行，甲、乙轮船每小时分别航行 12 n mile和16 n mile，1 h后两轮船分别位于点A，B处，且相距20 n mile.如果知道甲轮船沿北偏西40方向航行，则乙轮船沿_方向航行16如图，在RtABC中，ABC90，AB5，BC12，AD是BAC的平分线，若M，N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是_17【母题：教材P18复习题T11】如图，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置，测得BD长为1.3米，则梯子顶端A下滑了_米18如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE3，EB1.在AC上有一动点P
6、，则EPBP的最小值为_三、解答题(1921题每题10分，其余每题12分，共66分)19如图，在锐角三角形ABC中，高AD12，边AC13，BC14.求AB的长20长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.(1)判断ABF和AGE是否全等，并说明理由(2)若AB8，BC16，求AE的长21【生活数学】规定：小汽车在城市公路上行驶速度不得超过70千米/时如图，一辆小汽车在一条城市公路上沿CB匀速行驶，某时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪相距130米(1)求小汽车6秒行驶的路
7、程；(2)求小汽车每小时行驶的路程，并判断小汽车是否超速22【母题：教材P15习题T4】如图，一只蜘蛛在一个实心长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在这个实心长方体木块的顶点G处若AB3 cm，BC5 cm，BF6 cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是多少？23【问题探究型】如图，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图，试验证勾股定理(2)如图，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状图案，已知它的周长为24，OC3，求该飞镖状图案的面积(3)如图，将八个全
8、等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1S2S340，求S2.24【2022北京】在ABC中，ACB90，D为ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CEDC.(1)如图，延长BC到点F，使得CFBC，连接AF，EF.若AFEF，试说明：BDAF.(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图，若AB2 AE2BD2，用等式表示线段CD与CH之间的数量关系，并说明理由(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)答案一、1A【点拨】由勾股定理可知，弦为5.2C【点拨】122232，故A错误；924
9、02412，故C正确；勾股数都是正整数，故B，D错误故选C.3C【点拨】利用网格根据勾股定理即可求出A，B两点间的距离4C【点拨】因为(ab)2|a2b2c2|0，(ab)20，|a2b2c2|0，所以 (ab)20，|a2b2c2|0，所以ab，a2b2c2. 所以ABC为等腰直角三角形5A【点拨】依题意，得AC24cm，BC7cm，在RtABC中，AB2AC2BC2625，所以AB25 cm，因为ADAB25 cm，DE20 cm，所以在RtADE中，AE2AD2DE2252202225，所以AE15 cm.6C【点拨】由题意知，快艇半小时行驶500.525(km)，因为25224249，
10、所以快艇距离A处7 km.7C【点拨】因为在三角形纸片ABC中，ACB90，BC6，AB10，所以AC2AB2BC264，所以AC8. 设CEx，由折叠可得BDAB10， DEAE8x，所以DC1064.因为ACB90，所以DCE90，所以(8x)2x242，解得x3，所以CE3.8B【点拨】由勾股定理知，楼梯的水平长度为4 m，所以地毯的长度至少为 347(m)9C【点拨】圆柱侧面展开如图，连接AB，由题意知AB的长为蚂蚁爬行的最短路程，由圆柱底面的周长公式和勾股定理计算即可10C【点拨】根据ABC是等边三角形，得出ABC60，根据BQCBPA，得出CBQABP，PBQB4，PAQC3，BP
11、ABQC，求出 PBQ60，即可判断A正确；易得BPQ是等边三角形，则PQBP4，由PC2PQ2CQ2可知CPQ为直角三角形，且PQC90，即可判断B正确；根据BPQ是等边三角形，可得BQP60，所以APBBQC150，即可判断D正确；可求出APC150QPC，因为PC2QC，所以QPC30，所以APC120，即可判断C不正确二、1150【点拨】在RtABC中，斜边AB5，所以AB2AC2BC2AB2AB22AB250.1217【点拨】因为AD是BC边上的中线，所以BDDCBC8. 因为 DC264，AD2225，AC2289，所以DC2AD2AC2.所以ADC为直角三角形，且ADC90，所以
12、ADB90.在RtADB中，AB2BD2AD2 82152289，所以AB17.1317【点拨】设第三条边的长为x，则x282152289172或x2152 82161.因为第三条边的长为整数，所以第三条边的长为17.144.8【点拨】因为AB6，AC8，BC10，所以AB236，AC264， BC2100，所以AB2AC2BC2，所以ABC为直角三角形且BAC90.当APBC时，AP的长度最小，此时ABACAPBC，即68AP10，解得AP4.8.15北偏东50(或东偏北40)【点拨】因为AP11212(n mile)，PB1 1616(n mile)，AB20 n mile，所以AP2BP
13、2400AB2，所以APB90.因为APN40，所以BPN50.因为EPN90，所以BPE40.所以乙轮船沿北偏东50(或东偏北40)方向航行16【点拨】如图，作N关于AD的对称点E，连接ME，BE.在RtABC中，ABC90，AB5，BC12，所以AC2AB2BC252 122169，所以AC13.因为AD是BAC的平分线，所以AMN与AME关于AD所在直线成轴对称，所以MNME.所以BMMNBMMEBE.当BEAC时BE最小，此时SABCABBCACBE，即51213BE，解得BE.所以BMMN的最小值是.170.9【点拨】在RtABC中，AB2.5米，BC0.7米，所以AC2AB2BC2
14、2.520.722.42，所以AC2.4米在RtECD中， DEAB2.5米，CD1.30.72(米)，所以EC2DE2DC22.52221.52，所以EC1.5米，所以AEACCE2.41.50.9(米)185【点拨】连接DE，与AC交于点P，连接BP，易知此时EPBP的值最小，且最小值为DE的长，利用勾股定理即可得解三、19【解】在RtADC中，AD12，AC13，由勾股定理得CD2AC2 AD225，所以CD5.因为BC14，所以BD9.在RtABD中，由勾股定理得AB2AD2BD2225，所以AB15.20【解】(1)ABFAGE.理由如下：因为AGCD，ABCD，所以ABAG.因为B
15、AE90，GAFC90，所以BAEGAF，所以BAEEAFGAFEAF，所以BAFGAE.因为B90，GD90，所以BG.在ABF和AGE中，所以ABFAGE(ASA)(2)由(1)得ABFAGE，所以AFAE.设AEx，则CFAFx，BF16x，在RtABF中，AF2AB2BF2，即x282(16x)2，解得x10，即AE10.21【解】(1)过点A作ADBC，设小汽车经过6秒后到达点E，连接AE，如图 所示由题意可得AD50米，AE130米，在RtADE中，DE2AE2AD213025021202，所以DE120米答：小汽车6秒行驶的路程为120米(2)小汽车的速度为120620(米/秒)
16、72(千米/时)，所以小汽车每时行驶的路程为72千米因为7270，所以小汽车超速了22【解】分三种情况讨论：(1)如图，连接AG，此时蜘蛛从点A出发先到BF上，再到点G处因为AB3 cm，BC5 cm，所以ACABBC358(cm)因为CGBF6 cm，所以在RtACG中，AG2AC2CG28262100.(2)如图，连接AG，此时蜘蛛从点A出发先到EF上，再到点G处因为FGBC5 cm，所以BG5611(cm)在RtABG中，AG2AB2BG232112130.(3)如图，连接AG，此时蜘蛛从点A出发先到EH上，再到点G处因为AEBF6 cm，EFAB3 cm，所以AFAEEF639(cm)
17、因为GFBC5 cm，所以在RtAFG中，AG2AF2GF29252106.因为130106100，所以蜘蛛按情况(1)中的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是10 cm.23【解】(1)S小正方形(ab)2a22abb2，S小正方形c24abc22ab，即a22abb2c22ab，则a2b2c2.(2)2446，设ACm，依题意有32(m3)2(6m)2，解得m1.所以AC1.S飞镖状图案(31)3443424.故该飞镖状图案的面积是24.(3)设四边形MNKT的面积为x，每个三角形的面积为y，因为正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，所以S18yx，S24yx，S3x.所以S1S2S38yx4yxx3x12y.因为S1S2S340，所以3x12y40，所以x4y.所以S2x4y.24【解】(1)在BCD和FCE中，所以BCDFCE(SAS)所以DBCEFC.所以BDEF.因为AFEF，所以BDAF.(2)由题意补全图形如图CDCH.理由：延长BC到F，使CFBC，连接AF，EF，如图因为ACB90，所以ACBF.又因为BCCF，所以ABAF.由(1)可知BDEF，BCDFCE，则BDEF，因为AB2AE2BD2，所以AF2AE2EF2.所以AEF90.所以AEEF.所以BDAE.所以DHE90.又因为CDCE，所以CHCD.
