1、第一章 函数极限与连续第一章函数极限连续考点一、求函数的定义域第一章 函数极限与连续函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。这类题一般有两种类型：1、给定解析式的函数求定义域。1 0;0; log a 0;arcsin tan k +；2 -1 1; arccos cot k ；对于实际问题则需保证其具有符合题意的实际意义、 方法一：解不等式组法；方法二：取值验证法2、含有符号f 抽象函数的定义域。1）若已知f 的定义域为a , b , 求f 的定义域、解法：令u =, 由a u b a b , 求出x 的取值范围、2）若已知f 的定义域为a , b , 求f 的定义域。解法：由a x
2、b 的范围。总之，这类题要求理解自变量的具体含义。即弄清“函数中间变量-自变量”的关系。例1函数y =arcsin2x3,4 C、-3,4)D、 16-x20 3x 4 解法一：2x11 3, x =4验证均有意义, 应选B 、 例2函数f =1的定义域为 ln xA 、 B、0,1) D、 4-x200x 0且x 1解法二：因为负数不能取自然对数，所以 A 、C 是 错误的；=0, 在分母上无意义，即B 也是错误的、应选D、例3已知f 的定义域为0,1, 则f 的定义域为 A、,1 B、-1,1 C、0,1 D、 解：因为0x 102x 2-12x1,1, 则e12的定义域为-1,1-2,
3、0 A 、-2,2 B 、 和g 的表达式, 求f 的表达式、方法一：换元法。方法二：凑项法。x +1x +1)=2 , 则f = 、 x x x +11=u 、 得x = 解法一：设 x u1x +1x +11x +1x +1)= , 所以f =x 解法二：f =x +2, 则f =、解法一：设x +1=u , 则x =u2u +3所以f =6x +11 解法二：f =x +2=2 +3=x1= 、解：f1=2 +5=4x +13x, 则ff = 、1-xxf x1解：ff =1-f1-x1-2x21-x考点三、函数的奇偶性与有界性判定例4 已知f =1、函数的奇偶性判定方法定义法：f =f
4、 ，则f 为偶函数。f =-f ， 则f 为奇函数。利用奇偶函数的运算性质奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 若外层函数或内层函数只要有一个是偶函数，则复合函数一定是偶函数 奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称。常见的奇函数：y =sin x , y =tan x , y =arc sin x , y =arctan x , y =x2nf 是奇函数 例1函数y =x x )=-x x )=x2n=x x )=f 所以f 为偶函数。应选A、例 在区间-1,1上，设函数f 是偶函数，那么-f A 是奇函数 B 是偶函数C 既不是奇函数也不是偶函数 D
5、 不能被判定奇偶性解：记g =-f ，则在-1,1上，有g =-f =-f =g ， 即-f 为偶函数，故选B 、例、 下列函数中, 图形关于y 轴对称的是 A 、y =x cos x B、 y =x3+x +12xx2x +2-xC、 y = D、 y =222x +2-x解：图形关于y 轴对称, 就是考察函数是否为偶函数, 显然函数y =为偶函数,2应选D、例、 下列函数中为奇函数的是 e x +e1将y =f 看作关于x 的方程，解出x =f ；-1把x 与y 互换，得到反函数y =f ；写出反函数的定义域、反函求法有三步，反解互换定义域-1例 函数f =1-ln 的反函数f = 、解：
6、设y =1-ln ，则ln =1-y2x +1=e1-y, x =11-y2即f-1=11-x, 、2、y =x 与 、y =x 与y=x2-1、 y=2lnx 与y=ln x 、x1定义域不同、 y =x1、x +1例、在区间 内，与函数f =ln2x 相等的函数是、A 、y =ln x B 、y =1ln x22C 、y =ln x D 、y =ln x 解：我们知道x =x ，因此选D 、 例、下面函数与y =x 为同一函数的是A 、 y =2B 、 y =2x C 、 y =e ln x D 、 y =l n e解：y =ln e x =x ln e =x ，且定义域， 选D 考点六
7、极限的概念与函数的连续性、数列的极限lim a n =A lim a2n =lim a2n +1=An n n 、函数的极限lim f =A lim f =lim f =Ax x +x -f =lim f =A lim f =A lim+x x 0x x 0例1 求下列函数的极限：limx 2x4，1x sin +a , xf = 当a 为何值时，f 在x =0的极限存在、 x2, x 0, 1+x解 lim2x2-4=lim +x 2=limx1=-,4x 2lim +x4xx x x 0-2f =l i m =1， l i m +x 0f =lim f ， 为使lim f 存在，必须有li
8、m +-x 0x 0x 0因此 ，当a =1 时， lim f 存在且 lim f =1、x 0x 0小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在、例、f =2在x =0处 、有定义； 极限存在； 左极限存在； 右极限存在、 解 因f =2，在x =0处无定义，1x1x1xx 0-lim f =lim2=0，即f =2在x =0处左极限存在，10=0，且f =0 e =0, lim 解：在x =0处， lim +-x 0x 01xf 在x =0处连续0=0, lim 在x =1处， lim1tf 在x =1不连续x
9、e , xx =0, 求lim f , lim f , 并问f 在x =0处是否连续； 例、 设f =1,x 0x 0sin x, x 0, x -+f =lim e =1，lim f =lim 解 lim+x 0x 0x 0x 0xsin x=1 ，所以lim f =1、x 0x且f =1，即lim f =f ，所以函数f 在x =0处连续、x 0例 讨论函数x1f =x sin x x 0, ,x 0x 0， 在点x =0处的连续性、f =lim x =0, lim f =lim x sin 解 因为lim+x 0x 0x 01=0， x而f =0, 即x 0-lim f =lim f =
10、f =0， +x 0所以由函数在一点连续的充要条件知f 在x =0处连续、 考点七、无穷小阶的比较无穷小阶的比较是通过两者之比的极限值而确定高低阶的、设 与 是在自变量的同一变化过程中的无穷小，其中 0、若lim=0，则称 是比 高阶的无穷小，记作 =)=，则称 是比 低阶的无穷小； =C 0，则称 与 是同阶的无穷小； =1，则称 与 是等价的无穷小；记作 若lim若lim特别的，若lim、常用的等价的无穷小当 0时， sin tanarcsin arctan e1 1-cos2例、当x 0时，xsin x sin x=lim =-1，所以应选、 解：因为limx 0x 0x x例、当x 0
11、时，下列无穷小量中与x 等价的是、2xcos x 是x 的、等价无穷小 、同阶无穷小 、高阶的无穷小 、低阶的无穷小2224x424解：因为1-cos x ，所以无穷小1-cos x 与x 同阶的无穷小、22考点八、两个重要极限公式sin x sin=1 推广lim =11、limx 0x 0x特点：属于未定型；正弦函数内的项与分母完全相同且趋于； 极限为、11、lim1+=e 或lim x =ex 0x x x11 推广lim1+=e 或lim =e0 特点：属于1未定型；底为两项和“无穷小”且第二项与指数部分完全相同；极限等于e 、解题方法：利用重要极限公式去极限就是将函数凑成公式的结构特
12、点，运用公式解出答案、 例、limx 0x2xsin52=、解：原式limx 01sin2x2=limx 025x sin 52=25、例、求极限limcos x1例、求极限lim x x +1解：原式lim1-、-2x 2x +1x +1x +1-22=ex x +1x2+2例、求极限lim2x x3545x5-35=lim =lim =lim 2=e2、 x x x x3x3225x2+2x x2+25e)22=lim =3=e2、 解法二：原式=lim x 222x2555x2+55x5-32解法三：原式=lim =lim =e2、x x x322方法步骤：凑底：无穷小；凑指数：与底的第
13、二项互为倒数； 用公式：求出答案、考点九、函数极限与连续的反问题函数的极限与连续的反问题是已知函数的极限存在或函数在某点连续，确定待定常数的值，大部分以分段函数形式给出。1、lim f =A lim f =lim f =Ax +x x 0f =lim f =f 、f 在点x 0连续lim f =f lim1, x 0例1 设函数f =x 在x =0处连续、则常数a =a +1, x =0、 、 、 、e2ax-x 0x 04x、=3、 lim f =lim2x +x 0x 0a a a=、 又f =、222a=3，所以a =62x +2a x)=8，则a = 例 若lim =lim =e3a
14、、 令e3a =8，解得a =ln2、 解：lim lim =lim =lim =3，故选D 、 x 1x 1x 1x1x2+ax +6例、已知lim 存在，则a =x 11-x解：lim =0lim x +ax +6=0，1+a +6=0, a =-72x 1x 1x2+1例 已知 limb =0，求a , b 的值、 x x +1x2+1-ax x +1-b=limx x +1=0，由有理函数的极限知，上式成立，必须有x 和x 的系数等于0, 即21-a =0，a +b =0于是a =1, b =-1、考点、间断点及其分类、图形认识、间断点指的是函数不连续的点、即x 0的两侧必须有定义、
15、初等函数的分母为零的点一定是间断点； 分段函数的分界点可能是间断点、 、间断点的分类f , lim f 均存在第一类间断点 lim+x x 0x x 0f lim f 跳跃间断点 lim+x x 0x x 0例1、点x =0是函数f =arctan1的 xA、 连续点 B、 可去间断点 C、 跳跃间断点 D、第二类间断点arctan 解：因为lim, lim arctan = x2x 0+x2所以x =0是跳跃间断点，应选C 、例、点x =0是函数f =2-1的A、 连续点 B、 可去间断点 C、 跳跃间断点 D、第二类间断点1x1xf =lim2-1=+，所以应选、 解：因为lim +x 0
16、x 0例、点x =0是函数y =3-13+11x1x的A、 连续点 B、 可去间断点 C、 跳跃间断点 D、第二类间断点1x1x3=+、 lim3=0、 lim 解：因为lim +-+x 0x 0x 03-13+11x1x=1, lim13+11x1x=-1所以点x =0是跳跃间断点、应选C 、12x sin , x 05x 例4、设函数f =，则点x =0是函数f 的1xe , xA、 连续点 B、 可去间断点 C、 跳跃间断点 D、第二类间断点11f =lim x sin5=0, lim f =lim e x =0 解：因为lim +-x 0x 0x 0x 0x2所以所以点x =0是可去间
17、断点，应选、考点一、用零点定理判定方程根的存在性、唯一性1、零点定理 设函数f 在闭区间a , b 上连续，且f f ，使得f =0端点异号与闭连, 内部至少一零点2、方程根的存在性判定步骤：构造函数f 及闭区间a , b ； 验证f 在区间a , b 连续；计算f , f ；判断f f 62f “ 判定f 在区间 单调即可、例1 证明方程x3x2+2x10，又f 在0,2上连续、由零点存在定理知，至少有一点 使得x6-3x2+2x =1至少有一个正根、f =0、即方程例2 证明方程x =a sin x +b ，在 =xb ，f 显然在0, a +b 上连续，且 f =-b当f =0时，x =
18、a +b 就是满足题意的一个根；当f 0时，f f ，使得f =0、即原方程在 内至少有一个根、综上所述，x =a sin x +b 在 f 例3、设函数f , g 均在区间a , b 连续，f =g , f =g ，且f ，使f =g 、证明：令F =fg =fg =ff3x2-9lim ， lim2 ，x 3x 1x +1x)2x +1-x1-x x +2lim2x2-31解 lim =x 1=-、x 1x +12lim x 1当x 3时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先0分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则、x2-9 x +3原式=lim2=l
19、im =lim =6、x 3x2当x 1时，2121-, 的极限均不存在，式呈现-型，不能221-x1-x1-x1-x直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则、即原式=lim-)=limx 11-x21-x1-x2=lim11=lim =、x 1 x 11+x2形式、需分子分母同时除以x ，将无 当x +时，分子分母均无极限，呈现-穷大的x 约去，再用法则求 原式=limx +1x=、2+x小结 应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在才能适用、求函数极限时，经常出现0-等情况，都不能直接运用极限运算法则，0, ,必须对原式进行恒等变换、化简，然后再
20、求极限。常使用的有以下几种方法、对于-型，往往需要先通分，化简，再求极限，对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限， 对分子、分母进行因式分解，再求极限，对于当x 时的型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限、利用无穷小的性质求极限例2 求下列函数的极限limx解不能直接运用极限运算法则，因为当x +时分子，极限不存在，但sin x 是有界1函数，即sin x 1而 limx +x3x +=limx1+13xx +=0，因此当x +时，x +x3为无穷小量、 根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小，即得x lim=0、利用重要极限公式求函数的极限 、 利用等价无穷小代换求极限 常用等价无穷小有1+x )ex122-x2lim x 02x222 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！-本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请下载-
