1、专题38 开放探究问题解读考点知识点名师点晴条件开放型全等与相似利用全等与相似的判定方法添加条件使两个三角形全等或相似特殊的四边形条件条件，使四边形是平行四边形、矩形、菱形结论开放型结论探究题结合具体情境，探究问题的结论条件结论开放型条件与结论双开放题目根据具体问题，探究问题的条件与结论思维方法探索题思维与方法开放式探索根据题意，探究问题的解题方法2年中考【2015年题组】1（2015张家界）如图，AC与BD相交于点O，且AB=CD，请添加一个条件 ，使得ABOCDO【答案】答案不唯一，如：A=C【解析】试题分析：AOB、COD是对顶角，AOB=COD，又AB=CD，要使得ABOCDO，则只需
2、添加条件：A=C故答案为：答案不唯一，如：A=C考点：1全等三角形的判定；2开放型2（2015南平）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（ ， ）【答案】答案不唯一，如：（1，1），横坐标和纵坐标都是负数即可考点：1点的坐标；2开放型3（2015益阳）已知y是x的反比例函数，当x0时，y随x的增大而减小请写出一个满足以上条件的函数表达式 【答案】（），答案不唯一【解析】试题分析：只要使反比例系数大于0即可如（），答案不唯一故答案为：（），答案不唯一考点：1反比例函数的性质；2开放型4（2015邵阳）如图，在ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BEDF，请从图中找出一对全等三角形：
3、【答案】ADFBEC【解析】试题分析：由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形试题解析：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，DAC=BCA，BEDF，DFC=BEA，AFD=BEC，在ADF与CEB中，DAC=BCA，AFD=BEC，AD=BC，ADFBEC（AAS），故答案为：ADFBEC考点：1全等三角形的判定；2平行四边形的性质；3开放型5（2015齐齐哈尔）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BCEF，要使ABCDEF，则只需添加一个适当的条件是 （只填一个即可）【答案】BC=EF或BAC=EDF考点：1全等三角形的判定；2开放型6（2015西宁）写出
4、一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体 【答案】球或正方体（答案不唯一）【解析】试题分析：球的俯视图与主视图都为圆；正方体的俯视图与主视图都为正方形故答案为：球或正方体（答案不唯一）考点：1简单几何体的三视图；2开放型7（2015衢州）写出一个解集为x1的一元一次不等式： 【答案】x10（答案不唯一）【解析】试题分析：移项，得x10（答案不唯一）故答案为：x10（答案不唯一）考点：1不等式的解集；2开放型8（2015连云港）已知一个函数，当x0时，函数值y随着x的增大而减小，请写出这个函数关系式 （写出一个即可）【答案】答案不唯一，如：【解析】试题分析：函数关系式为：，等；故答案为：答案
5、不唯一，如：考点：1一次函数的性质；2反比例函数的性质；3二次函数的性质；4开放型9（2015镇江）写一个你喜欢的实数m的值 ，使得事件“对于二次函数，当时，y随x的增大而减小”成为随机事件【答案】答案不唯一，的任意实数皆可，如：3考点：1随机事件；2二次函数的性质；3开放型10（2015盐城）如图，在ABC与ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使ABCADC，只需再添加的一个条件可以是 【答案】DC=BC或DAC=BAC【解析】试题分析：添加条件为DC=BC，在ABC和ADC中，AD=AB，AC=AC，DC=BC，ABCADC（SSS）；若添加条件为DAC=BAC，在AB
6、C和ADC中，AD=AB，DAC=BAC，AC=AC，ABCADC（SAS）故答案为：DC=BC或DAC=BAC考点：1全等三角形的判定；2开放型11（2015北京市）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= 【答案】答案不唯一，只要满足（）即可，如：4，2【解析】试题分析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，=，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件故答案为：答案不唯一，只要满足（）即可，如：4，2考点：1根的判别式；2开放型12（2015梅州）已知：ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E， F为顶点的三角形与ABC
7、相似，则需要增加的一个条件是 （写出一个即可）【答案】AF=AC或AFE=ABC考点：1相似三角形的判定；2开放型；3分类讨论13（2015三明）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值：_【答案】k0即可【解析】试题分析：当在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大时，k0，则符合条件的k的值可以是1，2，3，4，5，故答案为：k0即可考点：1一次函数的性质；2开放型14（2015吉林省）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是 （写出一个即可）【答案】答案不唯一，只要即可，如：0【解析】试题分析：一元二次方程有两个不相等
8、的实数根，=，解得，故答案为：答案不唯一，只要即可，如：0考点：1根的判别式；2开放型15（2015牡丹江）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形【答案】BO=DO考点：1平行四边形的判定；2开放型16（2015龙东）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）【答案】答案不唯一，如：BAD=90【解析】试题分析：四边形ABCD为菱形，当BAD=90时，四边形ABCD为正方形故答案为：答案不唯一，如：BAD=90考点：1正方形的判定；2菱形
9、的性质；3开放型17（2015黔东南州）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接BD请添加一个适当的条件 ，使ABDCDB（只需写一个）【答案】答案不唯一，如：AB=CD【解析】试题分析：ABCD，ABD=CDB，而BD=DB，当添加AB=CD时，可根据“SAS”判断ABDCDB故答案为：答案不唯一，如：AB=CD考点：1全等三角形的判定；2开放型18（2015黔西南州）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件： ，可使它成为菱形【答案】AB=BC或ACBD等考点：1菱形的判定；2开放型19（2015上海市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在B上，如果D
10、与B相交，且点B在D内，那么D的半径长可以等于 （只需写出一个符合要求的数）【答案】14（答案不唯一）【解析】试题分析：矩形ABCD中，AB=5，BC=12，AC=BD=13，点A在B上，B的半径为5，如果D与B相交，D的半径R满足8R18，点B在D内，R13，13R18，14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）考点：1圆与圆的位置关系；2点与圆的位置关系；3开放型20（2015曲靖）一元二次方程有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c= （只需填一个）【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数【解析】试题分析：一元二次方程有两个不相等的实数根，=，解得，c是整数，
11、c=1，2，3，4，5，6故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数考点：1根的判别式；2根与系数的关系；3开放型21（2015青海省）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，ABDE，请添加一个条件，使ABCDEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）【答案】答案不唯一，如：AC=DF考点：1全等三角形的判定；2开放型22（2015淄博）对于两个二次函数，满足当x=m时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3请写出两个符合题意的二次函数的解析式 （要求：写出的解析式的对称轴不能相同）【答案】答案不唯一，例如：，【解析】试题分析：已知当x=m时，二次函数的函数值为
12、5，且二次函数有最小值3，故抛物线的顶点坐标为（m，3），设出顶点式求解即可答案不唯一，例如：，故答案为：答案不唯一，例如：，考点：1二次函数的性质；2开放型23（2015丽水）解一元二次方程时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 【答案】x1=0或x+3=0考点：1解一元二次方程-因式分解法；2开放型24（2015南京）如图，ABCD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，AEF、CFE的平分线交于点G，BEF、DFE的平分线交于点H（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MNEF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQEF
13、，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路【答案】（1）证明见试题解析；（2）答案不唯一，例如：FG平分CFE；GE=FH；GME=FQH；GEF=EFH【解析】试题分析：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出FEH+EFH=90，进而得出GEH=90，进而求出四边形EGFH是矩形；（2）利用菱形的判定方法首先得出要证MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证MGE=QFH得出即可试题解析：（1）EH平分BEF，FEH=BEF，FH平分DFE，EFH=DFE，ABCD，BEF+DFE=180，FEH+EFH=（BEF+DF
14、E）=180=90，FEH+EFH+EHF=180，EHF=180（FEH+EFH）=18090=90，同理可得：EGF=90，EG平分AEF，EFG=AEF，EH平分BEF，FEH=BEF，点A、E、B在同一条直线上，AEB=180，即AEF+BEF=180，FEG+FEH=（AEF+BEF）=180=90，即GEH=90，四边形EGFH是矩形；（2）答案不唯一：由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分CFE，MNEF，故只要证GM=FQ，即证MGEQFH，易证 GE=FH、GME=FQH故只要证MGE=QFH
15、，易证MGE=GEF，QFH=EFH，GEF=EFH，即可得证考点：1菱形的判定；2全等三角形的判定与性质；3矩形的判定；4阅读型；5开放型；6综合题 25（2015南通）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程【答案】本题的答案不唯一，如：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？6.5吨考点：1二元一次方程组的应用；2开放型 26（2015南充）已知关于x的一元二次方程，p为实数（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解（直接写出三个，不需说明理
16、由）【答案】（1）证明见试题解析；（2）答案不唯一，如：p=0，2考点：1根的判别式；2开放型；3综合题27（2015北京市）有这样一个问题：探究函数的图象与性质小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x的取值范围是 ；（2）下表是y与x的几组对应值 求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 【答案】（1）；（2）；（3）作图见试题解析；（4
17、）答案不唯一，如：该函数没有最大值，该函数在x=0处断开，该函数没有最小值，该函数图象没有经过第四象限试题解析：（1）；（2）令x=3，=，m=；（3）如图：（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值；该函数在x=0处断开；该函数没有最小值；考点：1二次函数的图象；2反比例函数的图象；3反比例函数的性质；4二次函数的性质；5开放型；6综合题28（2015兰州）已知二次函数的图象经过点（2，1）（1）求二次函数的解析式；（2）一次函数的图象与二次函数的图象交于点A（，），B（，）两点当时（图），求证：AOB为直角三角形；试判断当时（图），AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到
18、的结论（不要求证明）【答案】（1）；（2）证明见试题解析；AOB为直角三角形；（3）一次函数的图象与二次函数的交点为A、B，则AOB恒为直角三角形或如果过定点（0，）的直线与抛物线交于A、B两点，O为抛物线的顶点，那么AOB必为直角三角形（答案不唯一）【解析】试题分析：（1）把点（2，1）代入求得a的值，即可求得抛物线的解析式；（2）先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，得到ACOODB，AOB=90，可判定AOB为直角三角形；过A作ACx轴于C，过B作BDx轴于D，当时，联立直线和抛物线解析式可得，得：，由于A（，），B（，），得到，故有OCOD = ACBD = 16， ，又因
19、为ACO =ODB = 90，得到ACO ODB，AOC =OBD，AOC BOD =90，故AOB =90，从而得到结论；（3）结合（2）的过程可得到AOB恒为直角三角形等结论AOB为直角三角形证明如下：过A作ACx轴于C，过B作BDx轴于D，当时，联立直线和抛物线解析式可得，得：，A（，），B（，），OCOD = ACBD = 16，又ACO =ODB = 90，ACO ODB，AOC =OBD，AOC BOD =90，AOB =90，AOB为直角三角形；考点：1二次函数综合题；2探究型；3开放型；4综合题；5压轴题29（2015云南省）如图，B=D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得
20、ABCADC，并说明理由【答案】添加BAC=DAC（答案不唯一）【解析】试题分析：已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可试题解析：添加BAC=DAC理由如下：在ABC与ADC中，=B=D，BAC=DAC，AC=AC，ABCADC（AAS）考点：1全等三角形的判定；2开放型30（2015金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将AOB绕点A逆时针旋转90得到AEF，点O、B的对应点分别是点E、F（1）若点B的坐标是（4，0），请在图中画出AEF，并写出点E、F的坐标（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标【答案】（1）E（3
21、，3），F（3，1）；（2）答案不唯一，如：（2，0）试题解析：（1）AOB绕点A逆时针旋转90后得到AEF，AOAE，ABAF，BOEF，AO=AE，AB=AF，BO=EF，AEF在图中表示为：AOAE，AO=AE，点E的坐标是（3，3），EF=OB=4，点F的坐标是（3，1）；（2）点F落在x轴的上方，EFAO，又EF=OB，OBAO，AO=3，OB3，一个符合条件的点B的坐标是：答案不唯一，如：（2，0）考点：1作图-旋转变换；2开放型【2014年题组】1（2014年福建三明）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，
22、那么所添加的条件可以是 （写出一个即可）【答案】AB=AD（答案不唯一）考点：1开放型；2菱形的判定2（2014年福建漳州4分）双曲线所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为 【答案】0（答案不唯一）【解析】双曲线y=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，k+10，解得：k1k可以等于0（答案不唯一）考点：1开放型；2反比例函数的性质3（2014年黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭地区、黑河）如图，已知ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使ABDACE，则只需添加一个适当的条件是_（只填一个即可）【答案】BD=CE（答案不唯一）【解析】试题分析：AB=AC，B=C添加BD=C
23、E，根据SAS可使ABDACE；添加BAD=CAE，根据ASA可使ABDACE；添加BDA=CEA，根据AAS可使ABDACE；考点：1开放型；2全等三角形的判定4（2014年湖南邵阳）如图，在ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BPDF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形： 【答案】ABPAED（答案不唯一）考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定5（2014年浙江温州）请举反例说明“对于任意实数的值总是正数”是假命题，你举的反例是x= （写出一个x的值即可）【答案】（答案不唯一）【解析】试题分析：举反例说明“对于任意实数的值总是正数”是假命题，只要
24、令为0或负数，方程有解即可因此，令得，解得可举的反例时，考点：1开放型；2命题与定理；3解一元二次方程6（2014年湖北江汉油田、潜江、天门、仙桃）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB给出以下结论：BEDF；BE=DF；AE=CF请你从中选取一个条件，使1=2成立，并给出证明【答案】答案见试题解析考点：1开放型；2平行四边形的判定和性质；3全等三角形的判定和性质7（2014年湖南张家界）如图，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连结BE交AC于点F，连结DF（1）证明：CBFCDF；（
25、2）若AC=，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得EFDBAD，并予以证明【答案】详细见解析【解析】试题分析：（1）由ABCACD得出BCA=DCA，再证明CBFCDF即可；（2）先证明四边形ABCD是菱形，由勾股定理得出AB=2，即可得到周长；（3）添加BECD，可使EFD=BAD（3）添加BECD，可使EFD=BAD，证明如下：由（1）CBFCDF，CBE=EDF又BECD，CEB=FED=90CBEFDEBCD=EFD又四边形ABCD是菱形，BCD=BADEFDBAD考点：1全等三角形的判定和性质；2等腰三角形的性质；3相似三角形的判定和性质；4勾股定理；5开放
26、型问题考点归纳归纳 1：条件开放探索题基础知识归纳：条件探索题经常与三角形全等、相似、平行四边形、矩形、菱形等特殊的图形结合在一起进行考查基本方法归纳：掌握特殊的三角形、四边形的性质以及全等和相似的判定方法，利用性质与方法合理添加条件注意问题归纳：所添加的条件，经过一定的推理说明，能够得到所给的结论【例1】如图，AC=DC，ACD=BCE，添加一个条件 ，使ABCDEC【答案】EC=BC（答案不唯一）考点：三角形全等的判定归纳 2：结论开放型问题基础知识归纳：结论开放型问题是指根据所给的条件，经过合理的推理探究，所得到的结论的正确性，这种问题的结论往往不止一个基本方法归纳：解决结论探究性问题，
27、要具备一定的逻辑推理能力，观察、猜想和验证是解决此类的关键注意问题归纳：结论探究性问题要注意结论的合理性与正确性，对于给出的多个结论要准确找到正确的个数，不要漏掉也不能多选【例2】如图，已知AB为O的直径，CD、CB为O的切线，D、B为切点，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD给出以下结论：ADOC；FC=FE；点E为CDB的内心其中正确的是_（填序号）【答案】、【解析】试题分析：连接OD，DE，EBCD与BC是O的切线，易证CDOCBO，则DCO=BCO故OCBDAB是直径， ADBD， ADOC，故正确；CD是O的切线， CDE=DOE，而BDE=BOE，CDE=BDE
28、，即DE是CDB的角平分线，同理可证得BE是CBD的平分线，因此E为CBD的内心，故正确；若FC=FE，则应有OCB=CEF，应有CEF=AEO=EAB=DBA=DEA，弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故不正确；考点：1圆的切线的性质；2全等三角形；3圆周角；4三角形的内心归纳 3：思维方法探索题【例3】ABC中，BC=18，AC=12，AB=9，D，E是直线AB，AC上的点若由A，D，E构成的三角形与ABC相似，AE=AC，则DB的长为 ；【答案】6或或12或当ADEABC时，AD：AB=AE：AC=1：3，AD=AB=3，则BD=AB+AD=12；当ADEACB时，AD：AC=
29、AE：AB，AD=，BD=AB+AD=综上所述：DB的长为：6或或12或考点：1相似三角形的性质；2分类讨论思想1年模拟1（2015届北京市平谷区中考二模）如图，这个二次函数图象的表达式可能是 （只写出一个）【答案】答案不唯一，如y=x2x【解析】试题分析：根据二次函数图象与表达式的关系可直接写出，答案不唯一，只是由图像可知注意二次项系数a0，b0，c=0即可考点：1二次函数图象与表达式；2开放型2（2015届广东省广州高山文化培训学校）已知：如图，ACBC，BDBC，ACBCBD，请你添加一个条件使ABCCDB，你添加的条件是 【答案】A=DCB或D=ABC或AC：CB=CB：BD考点：三角
30、形相似的判定3（2015届山东省诸城市树一中学九年级下学期开学检测数学试卷）正方形、 ，按如图所示的方式放置点、和点、分别在直线和轴上，则第2015个正方形的边长为_【答案】考点：1一次函数图象上点的坐标特征；2正方形的性质；3规律型4（2015届山东省诸城市树一中学九年级下学期开学检测数学试卷）如图，抛物线（）与x轴相交于两点E、B（E在B的左侧），与y轴相交于点C（0，2），点D的坐标为（-4，0），且AB=AE=2，（1）求点A、B、E的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点M，作MNx轴，垂足为N，使得以M、N、O为顶点的三角形与AOC相似【答案】（1）
31、点B、E的坐标为（3，0）（-1，0）；（2）y=-+2；（3）点M（2，4）和【解析】试题分析：（1）证明ACOCDO，然后利用相似三角形的性质求出线段OA、OE、OB的长即可；（2）将点C、B、E的坐标分别代入y=ax2+bx+c，然后解方程组即可；（3）假设存在点M的坐标为（x，-+2），N的坐标为（x，0）适合题意，然后分ACOOMN或ACOMON两种情况讨论即可（3）假设存在点M的坐标为（x，-+2），N的坐标为（x，0）适合题意，若ACOOMN，因为MNO=AOC=90，则 ， 即MN=2ON，所以-+2=2x，解得x=2或x=-3（舍去）；若ACOMON，因为MNO=AOC=90
32、，则 ， 即2MN=ON，所以-+4=x，解得或（舍去）综上可知存在点M（2，4）和得以M、N、O为顶点的三角形与AOC相似考点：1相似三角形的判定与性质；2待定系数法求函数解析式；3函数与几何知识的综合5（2015届安徽省铜陵市四校九年级2月开学联考数学试卷）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，-2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论【答案】（1）y=；（2）为1x0或x1 ；（3）四边形OABC是菱形试题解析：试题解析：（1）设反比例函数的解析式为y=（k0），A（m，2）在y=2x上，2=2m,m=1，A（1，2），又点A在y=上，-2=，k=2，反比例函数的解析式为y=； （2）由图知：正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为1x0或x1；（3）四边形OABC是菱形证明如下：A（1，2）OA=，由题意知：CBOA且CB=，CB=OA，四边形OABC是平行四边形 ，C（2，n）在y=上，n=1，C（2，1），OC=，OC=OA平行四边形OABC是菱形考点：1反比例函数；2函数图像与不等式；3菱形的判定
