1、几何代数综合专题一、中考课标要求1、知道中考综合性问题的常见题型；2、能灵活运用数学知识及相关学科的知识求解常见的综合性问题；3、通过本专题的复习，进一步提高综合运用知识发现、提出、分析和解决问题的能力.二、知识网络图（如下图所示）综合性问题单科综合题函数与方程的综合题代数综合题圆或三角函数的综合题几何综合题代数几何综合题函数与几何综合题函数图象中的几何图形几何图形中的函数关系跨学科综合题数学与理化的综合题三、知识结构分析本部分知识是中考的重点内容，一道试题同时考查多个重要知识点（含常用数学思想方法）或多学科的知识已成为近几年中考命题的一大特色，压轴题更是以综合性面孔出现.考查的重点是代数（通
2、常为函数、方程）与几何相综合的知识. 难点是不同知识之间的联系与转化. 解题时，几乎用到初中涉及到的所有数学思想方法：方程与函数、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想，待定系数法、构造法、极端法等都经常用到. 四、考点运用1、代数综合题代数各知识点之间，以函数与方程的综合题为主，有时还可以与不等式的知识相结合，用来确定自变量的取值范围. 函数与方程的综合题中，二者的联系表现在：（1）求函数值，或由函数值求自变量的问题，转化为相应的方程问题；（2）求函数的解析式，往往要根据题意列出方程或者方程组求解；（3）以x为自变量的函数y，其图象与x轴(y轴)的交点问题，即为求当y=0(x=0)时的方程
3、的解的问题；（4）两个函数图像的交点问题，就是由两个函数解析式组成的方程组的解的问题. 例1（2015衡阳, 第5题3分）函数y=中自变量x的取值范围为（） A x0 B x1 C x1 D x1考点： 函数自变量的取值范围分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围解答： 解：根据题意得：x+10，解得：x1故选：B点评： 考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负2、几何综合题几何知识大致可以分成直线
4、形（包括线与角、三角形、四边形）、相似形、三角函数、圆四个知识块，各知识块之间的联系较为密切，都能形成综合题. 其中，与圆或三角函数的几何综合题为主. 对于几何各知识之间相结合形成的综合题，既要能从复杂的图形背景中分离出基本图形，又要善于发现各基本图形以及相关定理之间的联系.例2（2015海南，第14题3分）如图，将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则APB的度数为（） A 45 B 30 C 75 D 60考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）专题： 计算题分析： 作半径OCAB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA
5、，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OAD=30，接着根据三角形内角和定理可计算出AOB=120，然后根据圆周角定理计算APB的度数解答： 解：作半径OCAB于D，连结OA、OB，如图，将O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，OD=CD，OD=OC=OA，OAD=30，而OA=OB，CBA=30，AOB=120，APB=AOB=60故选D点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质3、代数与几何的综合题代数与几何的综合题主要呈现两种主要类型：（1）在平面直角坐标系中，由图象构成的几何
6、图形作为研究对象命题. 解此类问题，数形结合思想是关键. 通常要求出特定点的坐标、特定线的解析式，利用函数的方法解决几何问题. 另外，还需熟悉一些常用的解题思路，比如，求坐标系中几何图形的面积，常以一条坐标轴作为底边，或通过坐标轴对图形进行割（补）构造，使之转化为便于求解的面积问题. （2）以几何为主要载体，借助函数与方程的数学思想方法，研究几何元素间的数量关系. 求几何图形中的函数解析，通常根据相似形或圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论）的知识，列出含有变量的等式，然后转化为函数解析式的形式. 自变量的取值范围一般由图形存在的极端情况来确定最大值或最小值. 对于“动点型”的综合题，要学
7、会化动为静，静中求解，动中检验.例3 （2015江苏宿迁，第8题3分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，0），点P在反比例函数y=的图象上，若PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A.2个B4个C5个D6个考点：反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理.分析：分类讨论：当PAB=90时，则P点的横坐标为3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个；当APB=90，设P（x，），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x3）2+（）2=36，此时P点有4个，当PBA=90时，P点的横坐标为3，此时P点有1个解答：解：当PAB=90时，P点
8、的横坐标为3，把x=3代入y=得y=，所以此时P点有1个；当APB=90，设P（x，），PA2=（x+3）2+（）2，PB2=（x3）2+（）2，AB2=（3+3）2=36，因为PA2+PB2=AB2，所以（x+3）2+（）2+（x3）2+（）2=36，整理得x49x2+4=0，所以x2=，或x2=，所以此时P点有4个，当PBA=90时，P点的横坐标为3，把x=3代入y=得y=，所以此时P点有1个；综上所述，满足条件的P点有6个故选D点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k例4（2015
9、铜仁市）（第10题）如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，连接B0若SOBC=1，tanBOC=，则k2的值是（）A3 B1 C2 D3考点：反比例函数与一次函数的交点问题分析：首先根据直线求得点C的坐标，然后根据BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论解答：直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，点C的坐标为（0，2），OC=2，SOBC=1，BD=1，tanBOC=，=，OD=3，点B的坐标为（1，3），反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，k
10、2=13=3故选D点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标，难度不大4、跨学科综合题跨学科的综合题中，与物理相结合得最多，另外与化学、地理、生物、医药、政治等学科的综合题也时常出现. 多数跨学科试题中，所用的其他学科专业知识很少或者是最基本的. 解题时，主要是运用相关学科中的基本公式或原理分析各种现象. 例5（2015娄底，第10题3分）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（）A B C D 考点： 函数的图象分析： 开始一段
11、的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变解答： 解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变逐渐增大保持不变故选：A点评： 本题考查了函数的概念及其图象关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图象5、创新题一隅（2015甘肃天水，第10题，4分）定义运算：ab=a（1b）下面给出了关于这种运算的几种结论：2（2）=6，ab=ba，若a+b=0，则（aa）+（bb）=2ab，若ab=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（） A B C D 考点： 整式的混合运算；有理数的混合运算专题： 新定义分析： 各项利用题中的新定义计
12、算得到结果，即可做出判断解答： 解：根据题意得：2（2）=2（1+2）=6，选项正确；ab=a（1b）=aab，ba=b（1a）=bab，不一定相等，选项错误；（aa）+（bb）=a（1a）+b（1b）=a+ba2b22ab，选项错误；若ab=a（1b）=0，则a=0或b=1，选项正确，故选A点评： 此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键。五、拓展检测1（2015营口，第3题3分）函数y=中自变量x的取值范围是（） A x3 B x5 C x3或x5 D x3且x52（2015通辽,第10题3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y27y+
13、10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（） A 8 B 20 C 8或20 D 103（2015山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿直线BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于点F若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A2B4CD24（2015温州第8题4分）如图，在RtAOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DEOC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH已知DFE=GFH=120，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）Ay=By=Cy=2Dy=35（2015永州，第10题3分）定义x为不超过
14、x的最大整数，如3.6=3，0.6=0，3.6=4对于任意实数x，下列式子中错误的是（）Ax=x（x为整数） B0xx1 Cx+yx+y Dn+x=n+x（n为整数）6（2015江苏镇江，第23题，6分）图是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形正八边形（1）如图，AE是O的直径，用直尺和圆规作O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（AOD180）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于7. （2015安徽, 第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4点E在边AB上，点F在边CD上，点
15、G、H在对角线AC上若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A2B3C5D6拓展检测参考答案：1（2015营口，第3题3分）函数y=中自变量x的取值范围是（） A x3 B x5 C x3或x5 D x3且x5考点： 函数自变量的取值范围分析： 利用二次根式的性质以及分数的性质分别得出关系式求出即可解答： 解：由题意可得：x+30，x50，解得：x3且x5故选：D点评： 此题主要考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的性质是解题关键2（2015通辽,第10题3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y27y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（） A 8 B 20 C
16、8或20 D 10考点： 菱形的性质；解一元二次方程-因式分解法分析： 边AB的长是方程y27y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长解答： 解：解方程y27y+10=0得：y=2或5对角线长为6，2+26，不能构成三角形；菱形的边长为5菱形ABCD的周长为45=20故选B点评： 本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可3（2015山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将AB
17、E沿直线BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于点F若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A2B4CD2考点：翻折变换（折叠问题）.分析：根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明EDF和EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在RtBCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解解答：解：E是AD的中点，AE=DE，ABE沿BE折叠后得到GBE，AE=EG，AB=BG，ED=EG，在矩形ABCD中，A=D=90，EGF=90，在RtEDF和RtEGF中，RtEDFRtEGF（HL），DF=FG，设DF=x，则BF=
18、6+x，CF=6x，在RtBCF中，（4）2+（6x）2=（6+x）2，解得x=4故选：B点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键4（2015温州第8题4分）如图，在RtAOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DEOC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH已知DFE=GFH=120，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）Ay=By=Cy=2Dy=3考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形.分析：由在RtAOB的平分线ON上依
19、次取点C，F，M，过点C作DEOC，可得OCD与OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE=2x，再由DFE=GFH=120，可求得C与DF，EF的长，继而求得DF的面积，再由菱形FGMH中，FG=FE，得到FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案解答：解：ON是RtAOB的平分线，DOC=EOC=45，DEOC，ODC=OEC=45，CD=CE=OC=x，DF=EF，DE=CD+CE=2x，DFE=GFH=120，CEF=30，CF=CEtan30=x，EF=2CF=x，SDEF=DECF=x2，四边形FGMH是菱形，FG=MG=FE=x，G=180GFH=60，FMG
20、是等边三角形，SFGH=x2，S菱形FGMH=x2，S阴影=SDEF+S菱形FGMH=x2故选B点评：此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识注意证得OCD与OCE是等腰直角三角形，FGM是等边三角形是关键5（2015永州，第10题3分）定义x为不超过x的最大整数，如3.6=3，0.6=0，3.6=4对于任意实数x，下列式子中错误的是（）Ax=x（x为整数） B0xx1 Cx+yx+y Dn+x=n+x（n为整数）考点：一元一次不等式组的应用专题：新定义分析：根据“定义x为不超过x的最大整数”进行计算解答：A、x为不超过x的最大整数，当x是整数时，x
21、=x，成立；B、x为不超过x的最大整数，0xx1，成立；C、例如，5.43.2=8.6=9，5.4+3.2=6+（4）=10，910，5.43.25.4+3.2，x+yx+y不成立，D、n+x=n+x（n为整数），成立；故选：C点评：本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义新定义解题是近几年中考常考的题型6（2015江苏镇江，第23题，6分）图是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形正八边形（1）如图，AE是O的直径，用直尺和圆规作O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（AOD1
22、80）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于考点：正多边形和圆；圆锥的计算；作图复杂作图分析：（1）作AE的垂直平分线交O于C，G，作AOG，EOG的角平分线，分别交O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得AOD=3=135得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论解答：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）八边形ABCDEFGH是正八边形，AOD=3=135，OA=5，的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，2R=，R=
23、，即这个圆锥底面圆的半径为故答案为：点评：本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键7. （2015安徽, 第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A2B3C5D6考点：菱形的性质；矩形的性质分析：连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EFAC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到B=D=90，ABCD，通过CFOAOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根据AOEABC，即可得到结果解答：解；连接EF交AC于O，四边形EGFH是菱形，EFAC，OE=OF，四边形ABCD是矩形，B=D=90，ABCD，ACD=CAB，在CFO与AOE中，CFOAOE，AO=CO，AC=4，AO=AC=2，CAB=CAB，AOE=B=90，AOEABC，AE=5故选C点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键
