1、15.4 角的平分线专题一 角平分线知识的应用1.如图，BD是ABC的角平分线，DEAB于点E，DFBC于点F，SABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长2.已知：如图，在ABC中，ABC3C，12，BEAE.求证：ACAB2BE. 专题二 作图与实际问题3.如图，点B、C在SAT的两边上，且AB=AC.（1）请按下列语句用尺规画出图形（不写画法，保留作图痕迹）ANBC，垂足为N；SBC的平分线交AN延长线于M；连接CM.（2）该图中有_对全等三角形.ABSCT4. 夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A、B、C、D四个景点位置的地图，指出：
2、今天我们游玩的景点E是新开发的，地图上还没来得及标注，但已知这个景点E满足：与景点A、C和景点B、D所在的两条直线等距离；到B、C两景点等距离.请你在平面直角坐标系中，画出景点E的位置，并标明坐标（用整数表示）. 专题三 角平分线中的探究题5.已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OBOC.（1）如图1，若点O在BC上，求证：ABAC；图2图1（2）如图2，若点O在ABC的内部，求证：ABAC；（3）若点O在ABC的外部，ABAC成立吗？请画图表示。6.如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点I，过I作DEBC交BA于D，交AC于E （1）你能发现哪些结论？把它们一一列出
3、来，并选择一个加以证明 （2）若AB=7，AC=5，你能求ADE的周长吗？（3）作ABC与ACB的外角平分线，他们相交于点O，过O点作BC的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G，你还能发现什么结论？【知识要点】1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.【温馨提示】1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点.2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离.【方法技巧】1
4、. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.2.遇到证明有关角平分线的问题时,可作角的两边的垂线,证明垂线段相等.参考答案1.解:BD是ABC的角平分线，DEAB，DFAB，DE=DF SABC=36cm2，SABD =BCDF又SABC =SABD+SBCD，AB=18cm，BC=12cm，18DE+12DF=36，9DE+6DF=36 又DE=DF，9DE+6DE=36，DE=cm2.证明：延长BE交AC于点M，BEAE，AEBAEM90.在ABE中，13AEB180，3901.NABSCTM同理，4902.12，34，A
5、BAM.BEAE，BM2BE，ACABACAMCM.4是BCM的外角，45C.ABC3C，ABC3545，3C4525C.5C，CMBM.ACABBM2BE.3.（1）如图;（2）3.4.如图,坐标为(2,2).5.（1）过点O分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFC,BC，从而ABAC.成立 不成立 （2）过点O分别作OFAB，OEAC，F、E分别是垂足，由题意知，OEOF.在RtOFB和RtOEC中，OFOE，OBOC，RtOFBRtOEC.OBFOCE，又由OBOC知OBCOCB，ABCACD，ABAC.（3）不一定成立。（注：当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有ABAC；否则，ABAC，如示例图）. 6.（1）BD=DI，CE=EI；DE=BD+CE；ADE的周长=AB+AC证明：因BI平分DBC， DBI=CBI，又 DEBC， CBI=DIB， DIB=DBI，故BD=DI，同理CE=EI，即得证由不难推出、 （2）由（1）知ADE周长=AB+AC=7+5=12 （3）OF=FB；OG=GC；BF+CG=FG
