1、5.2 点点变换变换(Point transformation)在前面学习了空间直角坐标变换.在坐标变换中,几何图形(如空间直线和平面,曲线和曲面等)不变,坐标系在变.现在要用另一个观点来看,坐标系不变,图形在变,这就是点变换.在现实世界中,运动是永恒的,任何事物都在不断的发展变化中.坐地日行八万里,巡天遥看一千河,就是宇宙运动变化的生动写照.而点变换的观点,正是反映了这种思想.5.2.1 点变换的点变换的定义定义(Definition of Point transformation)先看一个最简单的例子.整个空间的一个变动称为一个平移,如果空间中各点都朝着同一个方向移动了相等的距离,也就是说
2、,各点的位移都是相同的向量.所以一个向量 a 确定一个平移,它把一点P变成一点P,使 这样,一个平移 对于空间的每一点P就唯一确定一点P.这种唯一确定的关系和函数关系式一样的,只是现在考虑的是点而不是数.因此,把点P对应点P记作(P).P P a 反过来,对于空间任意一点P,还存在唯一一点P使(P)=P.这就是说,一个平移对于空间中的点建立了一个1-1对应关系.下面要讨论的就是这样的一个1-1对应关系,因此引进下面的概念.定义1 在空间中，从点到点的一个1-1对应称为空间中的一个变换；点P的对应点称为P在下的像,记作(P)；点P称为(P)的原像.可以设想,一个变换就是把空间中的点重新排列一下,
3、把点P安排到(P).因为变换是1-1对应,所以不同的点总有不同的像,并且每一点都可作为某一点的像.对于一个变换,每一个点P都有唯一的原像P.这样,把一个点对应到它的原像,就得到一个变换,称为的逆变换,记作-1.于是,恒有 这种情况和反函数是一样的.1PP5.2.2 点的点的平移平移(Translation of Point)如前所述,空间中的点的平移，是把空间中的各点都朝着同一个方向移动了相等的距离,它可以由一个向量 a 所确定.下面来看平移的坐标表示.任取一个坐标系,设向量a=(a1,a2,a3).需求出点 P(x,y,z)的像P 的坐标.设P的坐标为(x,y,z).因为 ,故 或 :这就是
4、空间点的平移公式.PPa123,.xx ayy azz a 123,.x x ayy az za 这个公式在形式上与坐标系平移的变换是完全相同,但是意义却完全不同,在坐标变换中,点没有动,变动的是坐标系.现在是坐标系没有动,而是点动了.此外,坐标系的前移相当于点的后移,反之亦然.不难证明,空间中点的平移由一对对应点P,P唯一确定.5.2.3 点点的的旋转旋转(Rotation of Point)和空间中点的平移类似,点的旋转变换公式和坐标系旋转变换公式完全相同,只是意义不同而已.实际上,点的一个左旋转变换相当于坐标系一个右旋转变换,故空间点的旋转变换公式为且其一次项系数满足正交条件.11122
5、2333coscoscos,coscoscos,coscoscos.xxyzyxyzzxyz111222333coscoscoscoscoscos1.coscoscos例如 绕z轴右旋转一个角度,就得到一个旋转.如果点(x,y,z)变成(x,y,z),那么就有：这就是旋转 及其逆变换-1 的公式.cossin,:sincos,.xxyyxyzz1cossin,:sincos,xxyyxyzz 两个变换的合成(复合),也是一个变换.例如一个点P(x,y,z)经过平移 变成 ,即 如果点 ,接着又经过旋转变成点P(x,y,z),即那么其结果是点P(x,y,z)变成了P(x,y,z)：这个经过 后又
6、经过 的合成变换,称为与的乘积,记作 .cossin,sincos,.xxyyxyzz12123cossincossin,sincossincos,.xxyaayxyaazza,P x y z123,.xxayyazza,P x y z这种情况与复合函数是一样.同样,先作 后作 就有乘积 ,显见,的公式为一般地有 .说明变换的合成(乘积)不满足交换律.PP 123cossin,sincos,.x xyay xyaz z a 有时也将变换公式写成下面的形式 其中一次项系数aij满足正交条件.空间中点的旋转变换由不共线的三对对应点唯一确定.事实上,在旋转变换公式(5.2-2)中,有9个待定系数,其
7、中有8个是独立的,要确定待定系数,需要不共线的三对对应点.111213212223313233,xa x a y a zya x a y a zza x a y a z1112132122233132331.aaaaaaaaa例 1 求出把点(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)分别变成(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0)的旋转变换.解 根据题意设旋转变换为 将(0,1,0),(0,0,1)代入得：111213212223313233,xa xa ya zya xa ya zza xa ya z1112132122233132331.aaaaaaaaa122232132333
8、0,0,1,1,0,0aaaaaa故旋转公式为,.xzyxzy 再由正交条件得：00110010101121213101001,10aaaa110a 310a 5.2.4 刚体运动刚体运动(Rigid Motion)定义定义2 保持物体的大小与形状不变,对物体进行位移,称为刚体运动.显然,这里刚体运动的含义只考虑刚体的初始位置和终点位置的关系,而不考虑运动过程中位置随时间的变化.先看刚体的位置是怎样确定的.一个刚体如果有两个点不动,那么它就只能绕着这两点的连线旋转.如果在连线以外又有一点不动,那么刚体就不能动了.三条腿凳子可以站住,就是这种情况.所以,一个刚体的位置是由刚体上任意不共线三点位置
9、完全确定,不共线的三点也就是一个三角形.因此,在讨论刚体运动时,我们完全可以用一个三角形ABC来代表一个刚体的位置.经过一个刚体运动,一个三角形ABC变成了一个和它全等的三角形ABC.这样,一个刚体运动就由顶点互相对应的两个全等的三角形完全确定.可以先作一个平移把A变成A,这时如果ABC变成了AB1C1,那么要完成从ABC到ABC的刚体运动,再作一个保持点A不动,从 AB1C1 到ABC的刚体运动就可以了.下面来证明这一定是一个旋转.由此可以看出,一个刚体运动可以分解为一个平移与一个旋转的乘积.假设刚体运动保持一点O不动,我们要证明一定是一个旋转.这只需证明它还保持另外一个点不动就行了.任取一
10、点P0.如果(P)=P，则问题就解决了.假设(P)P,设(P)=P.这样,就是把三角形OPP变成三角形OPP的刚体运动.如果P=P,那么显然PP的中点(不妨假设它不为O)不动,问题也就解决了.所以假设P P.因为 ,所以P,P,P不共线,因此,平分PP的平面与平分的平面PP交于一条直线l.显然l经过O.设是绕着l把P变成P的旋转.于是把P变成P,把OPP变成OPP.因此=.这就证明是一个旋转.OP OP OP 所以,一般的刚体运动是一个平移 与一个旋转 的乘积,这样我们就得到刚体运动的坐标表示:平移 ：旋转 ：123,.xxayyazza123123123coscoscos,coscoscos
11、,coscoscos.x xyzy xyzz xyz刚体运动 ：或者 显然,空间中的刚体运动公式(5.2-3)与它的直角坐标变换公式(5.1-8)是类似的,且其一次项系数满足正交条件.不难证明空间的一个刚体运动由不共面的四对对应点唯一确定.123112321233coscoscos,coscoscos,coscoscos.xxyzayxyzazxyza123123123coscoscoscoscoscos1.coscoscos111122223333coscoscos,coscoscos,coscoscos.x xyzay xyzaz xyza111222333coscoscoscoscosc
12、os1.coscoscos5.2.5 正交变换正交变换 (Orthogonal transformation)刚体运动的一个特点是保持距离不变,那么保持距离不变的变换是不是一定是刚体运动呢？看下面的例子：把空间各点变成对于某个平面 的对称点,这样的变换称为对于 的反射.例如对xy平面的反射就是下列公式表示的变换 显然,反射保持距离不变,并且把一个右手系变成左手系.,.xxyyzz 但是刚体运动总是把右手系变成右手系,这就是反射与刚体运动的主要区别.因此反射虽然保持距离不变,但不是刚体运动.定义3 空间中保持任意两点之间距离不变的点变换称为正交变换.显然刚体运动与反射都是正交变换,刚体运动与反射
13、的乘积也是正交变换,下面证明,任一正交变换一定是刚体运动或刚体运动与反射的乘积.设 是一个正交变换,但不是刚体运动.我们要证明,是一个刚体运动与一个反射的乘积.由于 保持距离不变,一定把一个三角形ABC变成与它全等的三角形ABC.设是把ABC变成ABC的刚体运动.令=-1.显然 是一个保持ABC不变的正交变换.对于任意一点P,恒有 这就是说,=.若能够证明 是个反射那就好了,因为这就说明 是刚体运动 与反射 的乘积.11PPPPP 现在来证明,保持三角形ABC不变的正交变换 是一个反射.因为 不是刚体运动,所以 也不能是刚体运动.因此,不会保持所有的点都不动.设点P经过 变成P，而P P.因
14、保持距离不变,故 的不动点都与P和P等距离,因而都在线段PP的平分面 上.因 的不动点都在 上,的动点P 都变成对于 的对称点 P.所以,是对于 的反射.这样就证明了,一个正交变换或者是刚体运动,或则是刚体运动与一个反射的乘积.由此可见,刚体运动就是把右手系变成右手系的正交变换.下面给出正交变换的坐标表示.设给定一个正交变换.任取一个坐标系O-xyz.设点经过 变成点P(x,y,z),坐标都是对于O-xyz.问题是求出(x,y,z)与(x,y,z)之间的关系.根据正交变换与刚体运动和反射的关系,由刚体运动公式和反射公式不难得到点的正交变换公式为 这就是正交变换 的公式,其中的一次项系数要满足正
15、交条件,一次项系数所成的行列式等于,并且当坐标系改变了左右旋时才等于-1.111122223333coscoscos,coscoscos,coscoscos,x xyzay xyzaz xyza111222333coscoscoscoscoscos1.coscoscos正交变换的公式,在形式上与坐标变换的公式完全一样的,但是它们的意义是完全不同的.空间中的一个正交变换由不共面的四对对应点唯一确定.下面不加证明的给出正交变换的性质：性质 1 恒等变换是正交变换；性质 2 正交变换的乘积是正交变换；性质3 正交变换是双射,正交变换的逆变换是正交变换.由以上三个性质知,空间的正交变换的全体组成的集合
16、是空间的一个变换群,成为空间的正交变换群,简称为正交群.性质 4 正交变换保持向量的内积不变,保持向量的线性关系不变.由性质4很容易得到 性质 5 正交变换把直线变成直线,并保持共线三点的简单比不变.性质6 正交变换将平面变成平面,将相交平面变成相交平面,将平行平面变成平行平面.5.2.6 仿射仿射变换变换(Affine transformation)定义4 在空间中,由一次方程 所确定的变换称为仿射变换.当k=1时,即为正交变换；当k1时称为压缩变换,k称为压缩系数.显然,正交变换和压缩变换都是仿射变换.由线性代数的知识可知,仿射变换是系数行列式不等于零的满秩线性变换.空间中的一个仿射变换由
17、不共面的四对对应点唯一确定.111213121222323132333,xa xa ya zaya xa ya zaza xa ya za1112132122233132330.aaaaaakaaa 由一次方程组的解法,例如消元法,可以知道x,y,z也都是x,y,z 的一次多项式.这就是说,仿射变换的逆变换也是仿射变换.容易看出,仿射变换的乘积也是仿射变换.现在来看仿射变换的基本性质,先看最简单的图形平面变成什么图形.因为一个仿射变换和它的逆变换的方程都是一次的,所以满足一个一次方程的点,经过一个仿射变换仍然满足一个一次方程,所以,仿射变换把平面变成平面.仿射变换自然把点变成点,现在又知道它把
18、平面变成平面,因此,相交的平面一定变成相交的平面,不相交的平面一定变成不相交的平面.这就是说,仿射变换把直线变成直线,把平行的平面变成平行的平面,因此也把平行的直线变成平行直线.上面讨论的性质分别称为仿射变换的同素性、结合性和平行性.正交变换保持距离(长度)不变,而仿射变换就没有这个性质了.那么仿射变换保持什么样的度量不变呢？这就是线段的分比.从压缩的例子我们知道,经过仿射变换,长度不但要改变,而且不同方向上的长度可以按不同的比例改变.那么,线段的分比怎样呢？我们来证明,仿射变换保持线段的分比不变.设 是一个仿射变换,P1,P2,P3是一条直线L上互不相同的三个点.这三个点经过 依次变成一条直
19、线L上互不相同的三个点 P1,P2,P3.令 .下面要证明=.取一个刚体运动 1 把L变成x轴,设 P1,P2,P3 依次变成 Q1(x1,0,0),Q2(x2,0,0),Q3(x3,0,0).再取一个刚体运动 2 把 L 变成x轴,设 P1,P2,P3 依次变成 Q1(x1,0,0),Q2(x2,0,0),Q3(x 3,0,0).于是 因此 显然,仿射变换 把 Q1,Q2,Q3 依次变成 Q1,Q2,Q3.1223223,;QQQQ QQQ Q 12122323,.x xx xx xx x 121 12231223,PPP PP PP P 设 的第一个方程为把 Q1,Q2,Q3 的坐标代进去就得到于是因此 所以这样就证明了仿射变换保持线段的分比(也称简比)不变.1111 1211123113,.xaa xxaa xxaa z 121112231123,.xxaxxxxaxx 12122323.xxxxxxxx 1111213.xaa xa ya z 121 根据克莱因的爱尔兰根纲领,一种变换群对应一种几何学.因此,正交变换群对应的就是欧氏几何学,仿射变换群对应的就是仿射几何学.这样,就把我们对几何学的认识,提升到一个新的高度.End
