1、第九章二重积分习题9-11、设,其中;又,其中,试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系.解：由于二重积分表示的立体关于坐标面及对称,且位于第一卦限部分与一致,因此.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域关于轴对称,为的奇函数,即时,有;(2)当积分区域关于轴对称,为的偶函数,即时,有,其中为在的部分.并由此计算下列积分的值,其中.(I); (II); (III).解：令,其中为在的部分,(1)由于关于轴对称,为的奇函数,那么表示的立体关于坐标面对称,且在的部分的体积为,在的部分的体积为,于是;(2)由于关于轴对称,为的偶函数,那么表示的立体关于坐标面对称,且在的部分的体积为,在的部
2、分的体积也为,于是.(I)由于关于轴对称,且为的奇函数,于是;(II)由于关于轴对称,且为的奇函数,于是;(III)由于关于轴对称,且为的奇函数,于是.3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:(1)与,其中是由轴、轴与直线所围成; 解：由于在内,有,所以.(2)与,其中. 解：由于在内,有,所以.4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：(1),其中；解：由于的面积为,且在内,那么.(2),其中；解：由于的面积为,且在内,那么.(3),其中；解：由于的面积为,且在内,那么.习题9-21、计算下列二重积分：(1),其中是矩形区域: ；解：.(2),其中；解：.(3),其中是由两坐标轴及直线
3、所围成的闭区域；解：.(4),其中是顶点分别为和的三角形闭区域.解：.2、画出积分区域,并计算下列二重积分：(1),其中是由两条抛物线所围成的闭区域；解：.(2),其中是由直线及所围成的闭区域；解：.(3),其中是由及所围成的闭区域；解：.(4),其中是由所确定的闭区域.解：. a:=0.1;b:=x-1.-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify();3、如果二重积分的被积函数是两个函数及的乘积,即,积分区域,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即.证明：.4、化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二
4、次积分),其中积分区域是：(1)由曲线、直线及轴所围成的闭区域；图形 plot(ln(x),0,2,0,2,ln(2),x=0.2,y=0.0.8,color=1);解：.(2)由轴及右半圆所围成的闭区域；图形 plot(1-x2)(1/2), -1*(1-x2)(1/2),x=0.1, color=1);解：.(3)由抛物线与直线所围成的闭区域.图形 plot(x2, 3-2*x,x=-3.1, color=1);解：.5、改换下列二次积分的积分顺序：(1)；解：.(2)；解：.(3)；解：.(4)；解：.(5)；图形 plot(sin(x),-sin(x/2),Pi,0,Pi,-1, x=
5、0.Pi,color=1);解：.(6).图形 plot(2*x-x2)(1/2),(2*x)(1/2),2,0,2,2, x=0.2,color=1);解：.6、设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成,它的面密度,求该改薄片的质量. 图形 plot(2-x,x, x=0.2,y=0.1,color=1);解：.7、求由平面及所围成的立体的体积. 图形 with(plots):A:=plot3d(x,y,1,x=0.1,y=0.1-x):B:=plot3d(x,1-x,z,x=0.1,z=1.2):F:=plot3d(x,0,z,x=0.1,z=1.1+x):G:=plot3d(0,y,z,y
6、=0.1,z=1.1+y):H:=plot3d(x,y,1+x+y,x=0.1,y=0.1-x):display(A,B,F,G,H,grid=25,20, axes= BOXED ,scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);解：.8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长,宽的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为轴(),往公路延伸方向为轴(),且山坡高度为,试计算所需挖掉的土方量. 图形 plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0.500,x=0.20);解：.9、画出积分区域,把积分表示为极坐标形式
7、的二次积分,其中积分区域是：(1)；图形 plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2), x=0.1,color=1);解：.(2)；图形 plot(1+(1-x2)(1/2), 1-(1-x2)(1/2), x=-1.1,color=1);解：,于是.(3),其中；图形 plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2),(4-x2)(1/2),-(4-x2)(1/2), x=-2.2,color=1);解：.(4). 图形 plot(x2,1,0,1,1, x=0.1,color=1);解：,于是.10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1)；图形 plot(0,0
8、,0,1,1,1,1,0,0,0,color=1);解：,于是.(2)；图形 plot(1-x2)(1/2),1-x,x=0.1,color=1);解：,于是.11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值：(1)；图形 plot(2*x-x2)(1/2), x=0.2,color=1);解：,于是 .(2)；图形 plot(3(1/2)*x,x, x=0.1,color=1);解：,于是 .(3).图形 plot(3(1/2)*x/3, (1-x2)(1/2),x=0.1,y=0.0.5,color=1);解：,于是 .12、利用极坐标计算下列各题：(1),其中为圆域()；图形 plot(x-x
9、2)(1/2),-(x-x2)(1/2),x=0.1,color=1);解：,于是.(2),其中为圆及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；图形 plot(1-x2)(1/2),x=0.1,color=1);解：.(3),其中为圆周,及直线所围成的在第一象限内的闭区域.图形 plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2), (4-x2)(1/2),-(4-x2)(1/2),x,x=-2.2,y=0.2(1/2),color=1);解：.13、选择适当的坐标计算下列各题：(1),其中是直线及曲线所围成的闭区域；图形 plot(x,1/x,2,1/2,2,2,x=0.2,y=0.2,col
10、or=1);解：.(2),其中是圆环形区域；图形 plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2),(4-x2)(1/2),-(4-x2)(1/2), x=-2.2,color=1);解：.(3),其中是由直线()所围成的闭区域；图形 plot(0,1,1,1,3,3,2,3,0,1,x=0.3,y=0.3,color=1);解：.(4),其中为圆域.图形 plot(1-x2)(1/2),-(1-x2)(1/2),(4-x2)(1/2),-(4-x2)(1/2), x=-2.2,color=1);解：.14、计算以面上的圆周围成的闭区域为底,而以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 图形 plot(x-x2)(1/2),-(x-x2)(1/2),x=0.1,color=1);解：,于是.15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为处的水深为米,试求该水池的蓄水量. 图形 plot(x-x2)(1/2),-(x-x2)(1/2),x=0.1,color=1);解：(米3).16、讨论并计算下列广义二重积分：(1),其中；解：.即当时,广义二重积分收敛,且.(2),其中；解：.即当时,广义二重积分收敛,且.
