1、专题课件巧添辅助线证相似三角形一、添加平行线构造“A”、“8”型1. 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（1）定理的基本图形： （2）燕尾图形辅助线的添加方法注意：（1）选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系；（2）一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边；（3）通过线段比例之间的等量代换求解。2. 方法归纳：（1）遇燕尾，作平行，构造“A”字“8”字一般行。（2）引平行线应注意以下几点：选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，以同一直线的线段的端点作为引平行线的点。引平行线时，不破坏已知条件中的数量关系，
2、尽量使较多已知线段、求证线段成比例。二、作垂线构造相似直角三角形1. 基本图形 2. 所用知识点（1）等量代换等角的余角相等。（2）相似三角形对应高线的比等于相似比。注意：（1）相似三角形中对应边要找准。（2）利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。例题 平行四边形ABCD中，CEAE，CFAF，求证：。解析：作BMAC于点M，可证ABMACE，则ABAEAMAC，易得BCMCAF，则BCAFCMAC，故得出结论。答案：作BMAC于点M，则AMBAEC90，BAMCAE，ABMACE，ABAEAMAC，BCMCAF，易得BCMCAF，BCAFCMAC，。ADBC，。点拨：本题考查了
3、平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，注意辅助线的添加。【总结提高】本节所讲授内容中，主要考查添加辅助线构造相似三角形来解决线段、角度之间的关系。需注意以下四点：（1）添加辅助线的原则；（2）构造出的基本模型；（3）相似三角形中的对应关系。（4）复杂问题中等量代换的灵活应用。例题 用一根手指顶住一个平面图形内的某点，如果平面图形能保持平衡，那么这个点叫这个平面图形的重心，平行四边形的重心是对角线的交点，三角形的重心是三条中线的交点。请你用下图证明三角形的重心分一条中线所成的两条线段的比为1：2，即在ABC中，BE，CD是两条中线，它们交于G，求证：DG：CGEG：BG1：2。解析：连接AG
4、，交DE于点H，延长AG交BC于点F。根据三角形中位线定理得到，则F。通过HEGFBG的对应边成比例证得结论。答案：如图，连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点F。点G是ABC的重心，点F是BC的中点。BFFC。D、E是AB、AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，HEBF，F。HEGFBG，即EG：BG1：2 同理 DG：CG1：2。点拨：本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点。本定理要求学生能记住，并熟练应用。（答题时间：30分钟）一、选择题*1.（绥化）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC2：3，
5、连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则（）A. 2：5：23 B. 4：9：24 C. 2：3：5 D. 4：10：25*2. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且。若AB15，BC16，则图中阴影部分的面积是（）A. 40 B. 60 C. 80 D. 70*3. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。求BP：PQ：QR（ ）。A.3：1：2 B. 5：3：4 C. 6：5：4 D. 4：1：2*4. 如图，在ABC中，D为AC上一点，CD2DA，BAC45，BDC60，CEBD
6、于E，连接AE，过E作EFCD交BC于F。下列结论：BEEC；BC2ACDC；SBEC：SBEA2：1；。其中正确结论的个数有（）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题*5. （武清区一模）如图，RtABC中，BAC90，AB3，AC4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 。*6. 如图，RtABC中，ACBC，AD平分BAC交BC于点D，DEAD交AB于点E，M为AE的中点，BFBC交CM的延长线于点F，BD4，CD3。下列结论：AEDADC；ACBE12；3BF4AC，其中结论正确的是 。*7. （温州一模
7、）如图，在RtABC中，ABC90，以点C为圆心作弧，分别交AC、CB的延长线于点D、F，连结DF，交AB于点E，已知，tanDFC2，则BC ， 。*8.（嘉兴）如图，在RtABC中，ABC90，BABC。点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF。给出以下四个结论：；点F是GE的中点；，其中正确结论的序号是 。三、解答题9. 如图，AB为半圆的直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EADA，FBDB，过D作AB的垂线，交半圆于C。求证：CD平分EF。*10. 在ABC中，C90，AC4，BC3。（1）
8、如图1，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图2，三角形内并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长；（3）如图3，三角形内并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长；（4）如图4，三角形内并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长。*11. （丰台区二模）阅读下列材料：已知：如图1，在RtABC中，C90，AC4，BC3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少。在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上
9、的所有线段中，垂直于平行线的线段最短。进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3。参考小明的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时， ；（2）如图3，延长PA到点E，使AEnPA（n为大于0的常数）。以PE，PB为边作平行四边形，那么对角线PQ的最小值为 ，此时 ；（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AEnPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作平行四边形，那么对角线PQ的最小值为 ，此时 。*12. 若已知：如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EFBD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生
10、证明）。若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则：（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出间的关系式，并给出证明。1. D 解析：根据平行四边形的性质求出DCAB，DCAB，求出DE：AB2：5，根据相似三角形的判定推出DEFBAF，求出DEF和ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出DEF和EBF的面积比，即可求出答案。2. D 解析：连接EF，过O作MNDC于N，交EF于M，求出四边形DEFC是矩形，推出EFCD，EFCD15，证EOFGOH，推出，求出ON2，OM6，根据阴影部分的面积S矩形DEFCS
11、EFOSHOG，分别求出，代入即可。3. A 解析：由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，可证得PBCRBE，继而可得，PBPR，又由点R为DE的中点，PCQRDQ，可得，继而可求得BP：PQ：QR的值。4. C 解析：作AHBD的延长线于H，作BGCD于G，根据条件利用直角三角形的性质求出EBAEAB，就可以得出BEAE。由ECDEAD，得出CEAE。可以得出是正确的，设参数利用勾股定理就可以求出BC的值，从而得出结论；根据等底的两三角形面积之比等于高之比，运用相似三角形的性质求出高的比就可以得出结论；根据平行线的性质得出三角形相似，根据性质求出EF与AD的数量关系，而得出结论；根
12、据三角函数值的定义建立直角三角形，用参数表示出相应边的值就可以求出结论。5. 解析：以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线PO，然后根据POC和ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值。解题的关键是作高线构造各种相似三角形。6. 解析：AED90EAD，ADC90DAC，EADDAC；易证ADEACD，得DE：DADC：AC3：AC，AC不一定等于4。由证BEDBDA，得，得12；连接DM，可证DMBF AC，得FM：MCBD：DC4：3；易证FMBCMA，得比例线段求解。7. 解析：由在RtAB
13、C中，ABC90，tanDFC2，可得BE2BF，又由SBEF9，即可求得BF与BE的长，然后过点C作CHDF于点H，设DHh，可求得h的值，继而由勾股定理求得BC的长；首先过点D作DMBC于点M，利用三角形的面积求得DM的长，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AB的长，继而求得答案。8. 解析：根据题意首先易证得AFGCFB，根据相似三角形的对应边成比例与BABC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC2BD，由等角的余角相等，可得DBEBCD，即可得，继而可得；即可得，又由等腰直角三角形的性质，可得，即可求得；则可得。9. 证明：如图，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连F
14、A、EB。易知：。两式相减得：，即。于是：。DHGD。显然，EGCDFH。故CD平分EF。10. 解：（1）在图1中作CNAB，交GF于点M，交AB于点N。在RtABC中，AC4，BC3，AB5，CN， GFAB，CGFCAB，设正方形边长为x，则 ，x；（2）在图2中作CNAB，交GF于点M，交AB于点N。GFAB，CGFCAB，设每个正方形边长为x，则，x；（3）在图3中作CNAB，交GF于点M，交AB于点N，GFAB，CGFCAB，设每个正方形的边长为x，则，x；（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：，则x。11. 解：（1）如图2，四边形APBQ是平行四边形，APBQ，APBQ。QP
15、AC，ACB90，APQC90。PQBC。PCBQ，PQBC，C90，四边形PCBQ是矩形。QBPC。APPC。 （2）如图5，由题意可知：当QPAC时，PQ最短。QPAC，ACB90，APQC90。PQBC。四边形PBQE是平行四边形，EPBQ，EPBQ。PCBQ，PQBC，C90，四边形PCBQ是矩形。QBPC，PQBC3。EPPC。AEnPA，。 （3）过点C作CHAB，垂足为H，如图6，由题意可知：当QPAB时，PQ最短。QPAB，CHAB，APQAHC90。PQHC。四边形PCQE是平行四边形，EPCQ，EPCQ。PHCQ，PQHC，PHC90，四边形PHCQ是矩形。QCPH，PQHC。EPPH。AEnPA，。ACB90，BC3，AC4，AB5。HACCAB，AHCACB90，AHCACB。BC3，AC4，AB5，。，。，。 。12. 解：（1）成立。证明：ABEF CDEF ；（2）关系式为：证明如下：分别过A作AMBD于M，过E作ENBD于N，过C作CKBD交BD的延长线于K。由题设可得：即 又BDAMSABD，BDCKSBCD ，BDENSBED 。
