1、 - 1 - 2020 年高三第二次模拟考试 理科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合 Px|x24x0，Qx|log2(x1)0”是“ABC 是钝角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条
2、件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数 ysin(x 6 )(0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 ，则该函数图象是由 ycos2x 的图象经过怎样的变换得到? A.向左平移 3 个单位长度 B.向左平移 6 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 6 个单位长度 5.七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活冷 庐杂识卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。 ”在 18 世纪， 七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板” ，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部七 巧新谱 。完整图案为一正方形(如图)：
3、五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形， 如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是 - 2 - A. 3 8 B. 5 16 C. 7 16 D. 1 3 6.已知 sin( 3 )cos( 3 )，则 cos2 A.0 B.1 C. 2 2 D. 3 2 7.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.4 1 2 B. 5101 22 C. 51012 24 D. 12 4 4 8.在(2x 1 x )n的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 2 1 x 的系数为 A.56 B.448 C.408 D.1792 9.孙子定理是中
4、国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南 北朝时期的数学著作 孙子算经 ， 1852 年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲， 1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理， 因而西方称之为“中国剩余定理”这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除 问题：将 2 至 2021 这 2020 个整数中能被 3 除余 2 且被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成 一列构成一数列，则此数列的项数是 A.132 B.133 C.134 D.135 10.已知点(n，an)(nN*)在函数 ylnx 图象上，
5、若满足 12n aaa n Seeem 的 n 的最 小值为 5，则 m 的取值范围是 A.(10，15 B.(，15 C.(15，21 D.(，21 - 3 - 11.已知 F1，F2分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，过 F1(c，0)作 x 轴的 垂线交双曲线于 A、B 两点，若F1AF2的平分线过点 M( 1 3 c，0)，则双曲线的离心率为 A.2 B.2 C.3 D.3 12.已知方程 2 1 )1 1 (x x x e ex xae 有三个不同的根，则实数 a 的取值范围为 A.(1，e) B.(e， 1 2 ) C.(1，1) D.(1， 1
6、 2 ) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知向量a，b满足：|a|2，|b|3，a与b夹角为 120 ，则|a2b| 。 14.已知正三棱锥 PABC，AB23，PA25，则此三棱锥外接球的半径为 。 15.已知定义域为 R 的函数 2 2 22020sin 2 xx ee xx f x x 有最大值和最小值，且最 大值和最小值的和为 4，则 。 16.已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2b2c2absinC，acosBbsinA c，a10，则 b 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1
7、721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) 已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2Snann0，(nN*)。 (1)求证：数列an 1 2 为等比数列； (2)求数列ann的前 n 项和 Tn。 18.(12 分) 我国是全球最大的口罩生产国，在 2020 年 3 月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本 满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公 开呼吁扩大口罩产能。常见的口罩有 KN90 和 KN95(分别阻挡不少于 90.0%和 95.0%的 0
8、.055 到 0.095 微米的氯化钠颗粒)两种。 某口罩厂两条独立的生产线分别生产 KN90 和 KN95 两种口 - 4 - 罩，为保证质量对其进行多项检测并评分(满分 100 分)，规定总分大于或等于 85 分为合格， 小于 85 分为次品。现从流水线上随机抽取这两种口罩各 100 个进行检测并评分，结果如下： (1)试分别估计两种口罩的合格率； (2)假设生产一个 KN90 口罩， 若质量合格， 则盈利 3 元， 若为次品则亏损 1 元； 生产一个 KN95 口罩，若质量合格，则盈利 8 元，若为次品则亏损 2 元，在(1)的前提下， 设 X 为生产一个 KN90 口罩和生产一个 KN
9、95 口罩所得利润的和，求随机变量 X 的分布列 和数学期望； 求生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率。 19.(12 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，PAPD17，E 为 PA 中 点，点 F 在 PD 上且 EF平面 PCD，M 在 DC 延长线上，FH/DM，交 PM 于 H，且 FH1。 (1)证明：EF/平面 PBM； (2)设点 N 在线段 BC 上，若二面角 EDNA 为 60 ，求 BN 的长度。 20.(12 分) 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，且以椭圆上的点和长轴两端点为
10、顶 点的三角形的面积的最大值为 23。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)经过定点 Q(m，0)(m2)的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 M，N，点 M 关于 x 轴的对称点为 M。试证明：直线 MN 与 x 轴的交点 S 为一个定点，且|OQ|OS|4(O 为原点)。 - 5 - 21.(12 分) 已知函数 f(x)(a2)lnx 2a x x。 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若函数 h(x)f(x)2lnx 有两个不同的极值点 x1，x2(x18(5ln22)； (3)设 a1，函数 f(x) 2 x x 的反函数为 k(x)，令 ki(x)k( i n )x，i1，2，n1
11、，n N*且 n2，若 x1，1时，对任意的 nN*且 n2，k1(x)k2(x)kn1(x) 1 m e 恒成立， 求 m 的最小值。 (二)选考题：共 10 分。请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上 所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行 评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。 22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程是 2，以极点为原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐 标系，直线 l 的参数方程为 1 2 2 3 1 2 xt yt ，(t 为参数)。 (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)在(1)中，设曲线 C 经过伸缩变换 3 xx yy 得到曲线 C1，设曲线 C1上任意一点为 M(x0， y0)，当点 M 到直线 l 的距离取最大值时，求此时点 M 的直角坐标。 23.选修 45：不等式选讲(10 分) 已知函数 f(x)x22|x1|。 (1)求不等式 f(x) 2x x 的解集； (2)若 f(x)的最小值为 N，且 abcN，(a，b，cR)。 求证： 222222 abbcca2。 - 6 - - 7 - - 8 - - 9 - - 10 - - 11 - - 12 - - 13 - - 14 -
