1、高一数学试题（解析版） 第 1 页（共 12 页） 连云港市连云港市 20182019 学年第二学期期末考试学年第二学期期末考试 高一数学试题高一数学试题（解析版）（解析版） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上 1若直线过(1,2)A，(3,6)B，则该直线的斜率为 A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 62 2 3
2、 1 k 【答案】A 2不等式 2 230xx的解集为 A.( 3,1) B.(, 3)(1,) C.( 1,3) D.(, 1)(3,) 【解析】 2 230(3)(1)031xxxxxx 或 【答案】D 3在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2 sinbaB，则A A.30 B.60 C.60或120 D.30或150 【解析】由2 sinbaB结合正弦定理得： 1 sin2sinsin2sin1sin30150 2 BABAAA 或 【答案】D 4已知1x ，则 4 1 x x 的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】1x 10x 444 112 (1)15 11
3、1 xxx xxx （当且仅当 4 1 1 x x 时， 即3x 时取等号） 【答案】C 5若直线222xaya与直线20axy平行，则实数a 高一数学试题（解析版） 第 2 页（共 12 页） A.0 B.1 C.1 D.1 【解析】当0a 时，显然两条直线不平行，所以0a ；由两条直线平行可得： 1 22 a a ，解得： 1a ，当1a 时，直线方程分别为：24xy，20xy，显然平行，符合题意；当1a 时，直线方程分别为：20xy，20xy ，很显然两条直线重合，不符合题意，舍去；所 以1a 【答案】B 6连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P的坐标，则点P落在圆 22 15xy内的概
4、率为 A. 1 9 B. 2 9 C. 5 9 D. 7 9 【解析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点 数作为点 P 的坐标，共有 6 6=36 种结果，而满足条件的事件是点 P 落在圆 22 15xy内，列举 出落在圆内的情况： （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） ，共有 8 种 结果，根据古典概型概率公式得到： 82 369 P 【答案】B 7点( 1,2)P 到直线0kxyk（k R）的距离的最大值为 A.2 2 B.2 C.2 D.3 2 【解析】0(1)0kxykk xy，令 10
5、1 00 xx yy ，所以直线恒过定点（1，0） ， 所以点 P 到直线的距离的最大值就是点 P 到定点 （1， 0） 的距离， 22 max ( 1 1)(20)2 2d 【答案】A 8在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，下列判断正确的是 A.若a，b，则ab B.若ba，ca，则bc C.若a，a，则 D.若a，b，则ab 【解析】若a，b，则 a 与 b 可能平行、相交或异面，故 A 错误；若ba，ca，则 b 与 c 可能平行， 也可能垂直， 比如墙角， 故 B 错误； 若a，a， 则,正确； 若a， b，则 a 与 b 可能平行或异面，故 D 错误；综上所述，
6、本题选 C 高一数学试题（解析版） 第 3 页（共 12 页） 【答案】C 9圆 22 (2)4xy与圆 22 (2)(1)9xy的位置关系为 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 【解析】圆心距： 22 ( 22)(01)17d ， 12 235rr， 12 drr，两圆相交， 故选 B 【答案】B 10已知圆 1 C： 22 xya关于直线l对称的圆为圆 2 C： 22 2230xyxay ，则直线l的 方程为 A.2450xy B.2450xy C.2450xy D.2450xy 【解析】 22222 2230(1)()2xyxayxyaa ，根据对称，可得： 2 2aa， 解得：2a
7、 或1a （舍去，此时半径的平方小于 0，不符合题意） ，此时 C1(0，0)，C2(1， 2)，直线 C1C2的斜率为： 12 20 2 10 C C k ，由圆 C1和圆 C2关于直线 l 对称可知：直线 l 为线 段 C1C2的垂直平分线，所以 12 1 1 2 C Cll kkk ，直线 l 又经过线段 C1C2的中点( 1 2 ，1)， 所以直线 l 的方程为：1 11 () 22 yx ，化简得：2450xy，故选 A 【答案】A 11已知0x ，0y ， 18 2xy xy ，则2xy的最小值为 A.2 B.2 2 C.3 2 D.4 【解析】 1818 22xyxy xyxy
8、，要求2xy的最小值可以先求 2 (2)xy的最小值， 2 18161616 (2)(2)(2)(2)()281021018 xyxyxy xyxyxyxy xyyxyxyx （当且仅当 16xy yx 时，即4yx时取等号） ，则2183 2xy 【答案】C 高一数学试题（解析版） 第 4 页（共 12 页） 12在平面直角坐标系xOy中，圆 1 C： 22 4xy，圆 2 C： 22 6xy，点(1,0)M，动点A， B分别在圆 1 C和圆 2 C上，且MAMB，N为线段AB的中点，则MN的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy
9、， 00 (,)N xy，由MAMB得0MA MB，即： 121212 1x xy yxx由题意可知，MN 为 RtAMB 斜边上的中线， 1 2 MNAB, 2222222 121211 221122 ()()22ABxxyyxx xxyy yy 2222 11221212120 ()()2()102(1)124xyxyx xy yxxx 又由 22 1 4 2 MNABABMN得 22 000 1244(1)xxy，化简得： 22 00 19 () 24 xy， 点 00 (,)N xy的轨迹是以 1 (,0) 2 为圆心、半径等于 3 2 的圆 C3， M 在圆 C3内， MN 的最小值
10、即是半径减去 M 到圆心 1 (,0) 2 的距离， 即： min 31 1 22 MNrd 【答案】A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案直接填写在答题卡相应置上请把答案直接填写在答题卡相应置上. 13若方程 222 24230xymxym 表示圆，则实数m的取值范围是 . 【解析】方程 222 24230xymxym 化为： 222 ()(2)1xmym ，方程表示圆， 2 10m，解得：11m 【答案】( 1,1) 14若正四棱锥的底面边长为2 3，侧棱长为7，则该正四棱锥的体积为 . 高一数学试题（解析版） 第
11、 5 页（共 12 页） 【解析】 解： 如图， 正四棱锥 P-ABCD 中， AB=2 3， PA=7 设正四棱锥的高为 PO，连结 AO， 则 AO= 1 2 AC= 1 2 2 AB=6 在直角三角形 POA 中， 22 176POPAAO 11 12 14 33 P ABCDABCD VSPO 【答案】4 15随机抽取 100 名年龄在10，20） ，20，30） ，50，60） 年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图 如图所示.从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机 抽取 12 人，则在50，60）年龄段抽取的人数为 . 【解析】 根据频率分布直方图， 得
12、： 样本中不小于 40 岁的人的频率是： 0.01510+0.00510=0.2， 不小于 40 岁的人的频数是：1000.2=20； 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 12 人， 在50，60）年龄段抽取的人数为： 0.005 10 100 123 20 【答案】3 16在平面直角坐标系xOy中，已知圆O： 22 1xy，圆 1 O： 22 (4)4xy，动点P在直线 l：2 20xyb上（0b ） ，过P分别作圆O， 1 O的切线，切点分别为A，B，若满足 2PBPA的点P有且只有一个，则实数b的值为 . 【解析】由题意得：O（0，0） ，O1（4，0） ，设 P（x
13、，y） ，如下图所示 PA、PB 分别是圆 O，O1的切线 0.005 0.0015 0.0020 0.0025 频率 组距 10 20 30 40 50 60 年龄 （第 15 题） 高一数学试题（解析版） 第 6 页（共 12 页） x y 3 2 1 1 2 3 65432112345 P O1 O B A PBO1=PAO=90 又PB=2PA，BO1=2AO PBO1PAO PO1=2PO PO12=4PO2 2222 (4)4()xyxy 化简得： 22 464 () 39 xy 点 P（x，y）的轨迹是以 4 (,0) 3 为圆心、半径等于 8 3 的圆 动点 P 在直线l：2
14、20xyb上（0b ） ，满足 PB=2PA 的点 P 有且只有一个 该直线 l 与圆 22 464 () 39 xy相切 圆心 4 (,0) 3 到直线 l 的距离 d 满足dr 即： 4 8 3 318 b 解得： 20 3 b 或 28 3 高一数学试题（解析版） 第 7 页（共 12 页） 0b 28 3 b 【答案】 28 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 70 分分.请在答案卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明请在答案卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤过程或演算步骤. 17 （本小题满分 10 分） 已知圆C过两点(1,1)
15、A，( 1, 3)B ，且圆心在直线30xy上 （1）求圆C的标准方程； （2）求过点B且与圆C相切的直线方程 【解析】 （1）设圆心坐标C为)3,(aa， 由CBCA，即 2222 )33() 1() 13() 1(aaaa， 所以4a，圆心) 1 , 4(，5r， 圆的标准方程为25) 1()4( 22 yx 6 分 (也可以求出AB垂直平分线1 2 1 xy，与直线30xy联立得圆心坐标) 1 , 4() （2）设切线方程为l，因为)3, 1(B在圆上，所以BCl 又 3 4 BC k，1 lBC kk所以 4 3 l k，3) 1( 4 3 xy， 所以过)3, 1(B的切线方程094
16、3yx10 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥EABCD中，平面EDC 平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EDEC， 点F，G分别是EC，AB的中点求证： （1）直线FG平面ADE； （2）平面ADE 平面EBC （第 18 题） A B C D E G F 高一数学试题（解析版） 第 8 页（共 12 页） 【解析】 （1）取DE中点H，连接FH，AH 在EDC中，H，F分别为DE，EC中点，则FH/DC且DCFH 2 1 ， 又四边形ABCD为矩形，G为AB中点，AG/DC且DCAG 2 1 ， 所以AGFHAGFH且/，故四边形AGFH为平行四边形 从而AHFG/，又A
17、DEFG面，ADEAH面， 所以直线ADEFG面/ 6 分 （2）因为矩形ABCD，所以DCBC ，又平面ABCDEDC面， 面EDCABCDDC面，ABCDBC面，所以DECBC面 又DECED面，则BCED又EDEC，BCECC， 所以EBCED面又ADEED面，所以平面ADE平面EBC12 分 19 （本小题满分 12 分） 在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知coscosabcBcA （1）判断ABC的形状； （2）若120C ，2a ，求c 【解析】 （1）由正弦定理 C c B b A a sinsinsin 可知，代入coscosabcBcA， ACBCBAcoss
18、incossinsinsin， ACBCCACBc o ssinc o ssin)sin()sin(， ACBCCACACBCBcossincossinsincoscossinsincoscossin， 0cossincossinCACB，则0)sin(sincosABC， 则0cosC或0sinsinAB，所以 0 90C或BA ， 所以ABC为直角三角形或等腰三角形 8 分 （2）因为120C ，则ABC为等腰三角形，从而2ba， 由余弦定理Cabbaccos2 222 ，得 02 120cos22244c， 所以32c 12 分 （第 18 题） A G B CD F E H 高一数学试
19、题（解析版） 第 9 页（共 12 页） 20 （本小题满分 12 分） 设 2 ( )(1)2f xaxa xa （1）若不等式( )2f x 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式( )1f xa（aR） 【解析】 （1）( )2f x对于一切实数x恒成立等价于 2 (1)0axa xa 对于一切实数x恒成 立 当0a时，不等式可化为0x，不满足题意； 当0a时， 0, 0, a 即 22 0, (1)40, a aa 解得 1 3 a 4 分 （2）不等式( )1f xa等价于01)1 ( 2 xaax 当0a时，不等式可化为1x，所以不等式的解集为 |1x x
20、； 当0a时，不等式可化为0) 1)(1(xax，此时1 1 a ， 所以不等式的解集为 1 |1xx a ； 当0a时，不等式可化为0) 1)(1(xax， 当1a时，1 1 a ，不等式的解集为 |1x x ； 当01a时，1 1 a ，不等式的解集为 1 1 x a xx或； 当1a时，1 1 a ，不等式的解集为 a xxx 1 1或.12 分 21 （本小题满分 12 分） 如图，三条直线型公路 1 l， 2 l， 3 l在点O处交汇，其中 1 l与 2 l、 1 l与 3 l的夹角都为 3 ，在公路 1 l上取一点A，且2OAkm，过A铺设一直线型的管道BC，其中点B在 2 l上，
21、点C在 3 l上 （ 2 l， 3 l足够长） ，设OBakm，OCbkm （1）求出a，b的关系式； （2）试确定B，C的位置，使得公路OB段与OC段的长度之和最小 高一数学试题（解析版） 第 10 页（共 12 页） 【解析】 （1） （法一）（法一）由图形可知 AOBAOCCOB SSS COBOCOBAOCOAOCAOBOAOBsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 ， 2 3 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 baba， 所以abba )(2，即1 22 ba 6 分 （法二）（法二）以O为坐标原点，OC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 则)0 , 0(O，
22、)0 ,(bC，) 2 3 , 2 1 (aaB ，)3, 1 (A，由A，B，C三点共线得1 22 ba (注：以注：以O为坐标原点，为坐标原点，OA所在的直线为所在的直线为y轴建立平面直角坐标系同样得分轴建立平面直角坐标系同样得分.) （2） 222222 () 1()()22428 baba ababab ababab （km） ， 当且仅当4ab（km）时取等号 答：当4kmOBOC时，公路OB段与OC段的总长度最小为 8km12 分 O C B A l1 l3 l2 （第 21 题） O A C B （第 21 题） l1 l2 l3 高一数学试题（解析版） 第 11 页（共 12
23、页） 22 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为 22 16xy，过点(0,1)M的直线l与圆O交 于两点A，B （1）若3 7AB，求直线l的方程； （2）若直线l与x轴交于点N，设NAmMA，NBmMB，m，nR，求mn的值 【解析】 （1）当直线l的斜率不存在时，8AB ，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为1ykx， 所以圆心O到直线l的距离 2 1 1 d k ， 因为3 7AB，所以 2 2 1 3 72 16() 1 AB k ，解得3k ， 所以直线l的方程为31yx 4 分 （2）当直线l的斜率不存在时，不妨设(0,
24、4)A，(0, 4)B，(0,0)N， 因为NAmMA，NBnMB，所以(0,4)(0,3)m，(0, 4)(0, 5)n， 所以 4 3 m ， 4 5 n ，所以 32 15 mn 6 分 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为：1ykx， 因为直线l与x轴交于点N，所以 1 (,0)N k 直线l与圆O交于点A，B，设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy， 由 22 16, 1 xy ykx 得， 22 (1)2150kxkx，所以 12 2 2 1 k xx k ， 12 2 15 1 x x k ； 因为NAmMA，NBnMB，所以 1111 1 (,)( ,1)xym x y k ， 2222 1 (,)(,1)xyn xy k ， 所以 1 11 1 1 1 x k m xkx ， 2 22 1 1 1 x k n xkx ， 所以 2 12 1212 2 2 1 1111232 1 2()222 15 1515 1 k xx k mn k xxkx xk k 高一数学试题（解析版） 第 12 页（共 12 页） 综上， 32 15 mn 12 分
