1、大学物理学电子教案大学物理学电子教案武警学院教学课件武警学院教学课件简谐运动的基本概念简谐运动的基本概念机械振动引言机械振动引言141 简谐运动简谐运动142 简谐运动的振幅、周期、频简谐运动的振幅、周期、频率和相位率和相位143 旋转矢量旋转矢量第十四章第十四章机械振动机械振动一、什么是振动一、什么是振动从狭义上说，从狭义上说，通常把具有时间通常把具有时间周期性的运动称为振动。周期性的运动称为振动。从广义上说，从广义上说，任何一个物理量任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动。都称为振动。二、什么是机械振动二、什么是机械振动机械振动机械振动是物体在
2、一定位置附近所作的周期性往是物体在一定位置附近所作的周期性往复的运动复的运动。三、研究机械振动的意义三、研究机械振动的意义不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量随时间不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从而不同的振动有的变化关系遵循相同的数学规律，从而不同的振动有相同的描述方法。相同的描述方法。研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振动以研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。及波动、无线电技术、波动光学的基础。141 简谐运动简谐运动研究简谐运动的意义研究简谐运动的意义在一切振动中，最简单和最基本的振动称为
3、简谐运动在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成一、简谐运动一、简谐运动1、弹簧振子、弹簧振子2、弹簧振子运、弹簧振子运动的动的定性分析定性分析BO：弹性力向右，加速度向右，加速；：弹性力向右，加速度向右，加速；OC：向左，向左，向左，减速；向左，减速；CO：向左，向左，向左，加速；向左，加速；OB：向右，向右，向右，减速。向右，减速。物体在物体在B、C之间来回往复运动之间来回往复运动3、物体作简谐运动的条件、物体作简谐运动的条件物体的惯性物体的惯性 阻止系统停留在平衡位置阻止系统停留在平衡位置作用在
4、物体上的弹性力作用在物体上的弹性力驱使系统回复到平衡位置驱使系统回复到平衡位置4、弹簧振子的动力学特征、弹簧振子的动力学特征取平衡位置取平衡位置O点为坐标原点，点为坐标原点，水平向右为水平向右为x轴的正方向。轴的正方向。xkxf 力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为回复力回复力。maf xmkmfa mk2 0222xdtxd xa2 简谐运动简谐运动微分方程微分方程5、简谐运动的运动学特征简谐运动的运动学特征)t cos()t sin()cos(2 22 AdtxdaAdtdxvtAx说明：说明：物体在简谐运动时，其位移、速度、
5、加速度都是物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性周期性变变化的化的简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦余弦函数函数。二、简谐运动的特点二、简谐运动的特点1、从受力角度来看、从受力角度来看动力学特征动力学特征kxf 2、从加速度角度来看、从加速度角度来看运动学特征运动学特征xa2 3、从位移角度来看、从位移角度来看运动学特征运动学特征)cos(tAx说明：说明：要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的要证明
6、一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。得到物体所受的合外力满足回复力的关系。例例1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。因此因此,此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。m0lk0 xxxo以平衡位置以
7、平衡位置O为原点为原点弹簧原长弹簧原长挂挂m后伸长后伸长某时刻某时刻m位置位置f伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置解：解：求平衡位置求平衡位置mgkx 0kmgx 0kxkxkxmgxxkmgF 00)(142 简谐运动的振幅、周期、频率和相位简谐运动的振幅、周期、频率和相位一、振幅一、振幅反映振动幅度的大小反映振动幅度的大小1、定义、定义A作简谐运动的物体作简谐运动的物体离开平衡位置的最离开平衡位置的最大位移的大位移的绝对值绝对值。2、说明、说明振幅恒为正值，单位为米振幅恒为正值，单位为米(m);振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确
8、定始条件确定。二、周期与频率二、周期与频率反映振动的快慢反映振动的快慢1、周期、周期定义：物体作一次完全振动所需的时间，用定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位表示，单位为秒为秒(s)(cos)cos(TtAtAx 2T 2 T2、频率、频率定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用表表示，单位为赫兹示，单位为赫兹(Hz)。21 T3、圆频率、圆频率定义：物体在定义：物体在2秒时间内所作的完全振动的次数，用秒时间内所作的完全振动的次数，用表表示，单位为弧度示，单位为弧度/秒秒(rad.s-1或或s-1)。T 22 说明说明简谐运动的基本
9、特性是它的周期性简谐运动的基本特性是它的周期性周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为称之为固有周期、固有频率或固有圆频率固有周期、固有频率或固有圆频率。对于弹簧振子。对于弹簧振子kmTmkmk 2,21,简谐运动的表达式可以表示为简谐运动的表达式可以表示为)2cos()2cos()cos(tAtTAtAx三、相位三、相位反映振动的状态反映振动的状态1、相位、相位 t 2、初相位、初相位 3、相位差、相位差定义：定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。同时刻的相
10、位之差。对于同频率简谐运动、同时刻的相位差对于同频率简谐运动、同时刻的相位差10201020)t ()t (说明说明 0 质点质点2的振动超前质点的振动超前质点1的振动的振动 0 质点质点2的振动落后质点的振动落后质点1的振动的振动=2k，k=0,1,2,，同相（步调相同）同相（步调相同）=(2k+1)，k=0,1,2,，反相（步调相反），反相（步调相反）对于一个简谐运动，若振幅、对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做把振幅、周
11、期和初相位叫做描描述简谐运动的三个特征量述简谐运动的三个特征量。四、常数四、常数A和和 的确定的确定 sincos00AvAx 002020 xvtgvxA )t sin()cos(AdtdxvtAx说明：说明：(1)一般来说一般来说 的取值在的取值在和和(或或0和和2)之间；之间；(2)在应用上面的式子求在应用上面的式子求 时，时，一般来说有两个值，还要由初一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值；始条件来判断应该取哪个值；(3)常用方法：由常用方法：由2020 vxA求求A，然后由，然后由x0=Acos v0=-Asin 两者的共同部分求两者的共同部分求 。例例1：一弹簧振子系统
12、，弹簧的劲度系数为：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物，物体的质量为体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放，求振动方程。处释放，求振动方程。解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、和即可。和即可。由题可知，由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v00，代入公式可得代入公式可得1602.072.0 sradmk mvxA04.06004.022222020 又因为又因为x0为正，初速度为正，初速度v00，可得，可得0 因而简
13、谐振动的方程为：因而简谐振动的方程为：(m)6cos(04.0tx xyo)cos(tAxxAoxytxA143 旋转矢量旋转矢量一、旋转矢量图示法一、旋转矢量图示法二、旋转矢量与简谐运动二、旋转矢量与简谐运动的关系的关系A 振幅振幅 圆频率圆频率 初相位初相位 t 相位相位三、旋转矢量的应用三、旋转矢量的应用1、作振动图作振动图2、求初相位、求初相位3、可以用来求速度和加速度、可以用来求速度和加速度4、振动的合成、振动的合成例题：一个质点沿例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期，周期T=2s，初，初始时刻质点位于始时刻质点位于x0=0.03m处且向处且向x
14、轴正方向运动。求：（轴正方向运动。求：（1）初相）初相位；（位；（2）在）在x=-0.03m处且向处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置轴负方向运动时物体回到平衡位置所需要的最短时间。所需要的最短时间。解：（解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限）用旋转矢量法，则初相位在第四象限 3 （2）从从x=-0.03m处且向向处且向向x轴负方向运动到平衡位置，意轴负方向运动到平衡位置，意味着旋转矢量从味着旋转矢量从M1点转到点转到M2点，因而所需要的最短时间满点，因而所需要的最短时间满足足 653223 tst83.06565 小小 结结141 简谐运动简谐运动简谐运动简谐运动 简谐运动的特点简谐运动的特点142 简谐运动的振幅、周期、频率和相位简谐运动的振幅、周期、频率和相位振幅振幅 周期与频率周期与频率相位相位 常数常数A和和 的确定的确定143 旋转矢量旋转矢量作业作业思考题：思考题：P35 1，2，7，8习习 题：题：P37 2，5，8，11预预 习：习：14-5，14-6，14-7
