1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】抛物线 2 yx上的点到直线24xy的最短距离是（） A 3 5 5 B 4 5 5 C 13 5 20 D 9 5 20 【例 2】若曲线 2 2yx的一条切线l与直线480 xy垂直， 则切线l的方程为 （） A430 xyB490 xy C430 xyD420 xy 【例 3】 与直线240 xy平行的抛物线 2 yx的切线方程是； 【例 4】 过 点(0 1)P，且 与 抛 物 线 2 2yx只 有 一 个 公 共 点 的 直 线 方 程 为 _ 【例 5】 已知过定点A (2,0)的直线和抛物线 2 1 4 yx有且只有一个交点， 求满足条
2、件的直线 方程 【例 6】 已知圆O： 22 2xy交x轴于,AB两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为 2 2 的椭圆，其左焦点为F若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂 线交直线2x 于点Q 求椭圆C的标准方程； 若点P的坐标为(1, 1)，求证：直线PQ与圆O相切 试探究：当点P在圆O上运动时（不与,AB重合） ，直线PQ与圆O是否保 持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由 【例 7】如图，P是抛物线C： 2 1 2 yx上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点 Q 板块三.切线问题 【学而思高中数学讲义】 若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
3、 若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求 STST SPSQ 的取值 范围 【例 8】已知椭圆 22 1 22 :1(0) yx Cab ab 的右顶点为(10)A ，过 1 C的焦点且垂直长轴 的弦长为1 求椭圆 1 C的方程； 设点P在抛物线 2 2: ()Cyxh hR上， 2 C在点P处的切线与 1 C交于点M， N当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值 【例 9】已知双曲线 2 1 2 x y的左、右顶点分别为 1 A， 2 A，点 11 P xy， 11 Q xy， 是双曲线上不同的两个动点 求直线 1 AP与 2 A Q交点的轨迹E的方程 若过点
4、0 , h的两条直线 1 l和 2 l与轨迹E都只有一个交点， 且 12 ll， 求h的值 【例 10】已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点( ,4)A a到准线的距离是5， 过点F的直线与抛物线交于,M N两点，过,M N两点分别作抛物线的切线，这 两条切线的交点为T 求抛物线的标准方程； 求FT MN 的值； 求证：|FT 是|MF 和|NF 的等比中项 【例 11】已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 和圆O： 222 xyb， 过椭圆上一点P引圆O 的两条切线，切点分别为,A B （）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e； （）若椭圆上存在点P，使得90APB，求椭圆离
5、心率e的取值范围 设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证： 22 22 ab ONOM 为定值 【学而思高中数学讲义】 【例 12】给定椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，称圆心在原点O，半径为 22 ab的圆 是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为( 2, 0)F，其短轴上的一个端点到 F的距离为3 （I）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （II）点 P 是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线 12 ,ll，使得 12 ,ll与椭 圆C都只有一个交点，且 12 ,ll分别交其“准圆”于点,MN 当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求 12 ,ll的方程； 求证：M
6、N为定值 【例 13】已知中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 1 2 ， 且经过点 3 1, 2 ， 过点2, 1P的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M 求椭圆C的方程； 求直线l的方程以及点M的坐标； 是否存过点P的直线 1 l与椭圆C相交于不同的两点,A B，满足 2 PA PBPM ？ 若存在，求出直线 1 l的方程；若不存在，请说明理由 【例 14】已知圆O： 22 2xy交x轴于,AB两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为 2 2 的椭圆，其左焦点为F若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF 的垂线交直线2x 于点Q 求椭圆C的标准方程； 若点P的坐标为(1, 1)，求
7、证：直线PQ与圆O相切 试探究：当点P在圆O上运动时（不与,AB重合） ，直线PQ与圆O是否保持相 切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由 【例 15】如图， 设抛物线方程为 2 2(0)xpy p，M为 直线2yp 上任意一点， 过M 引抛物线的切线，切点分别为A，B 求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； 已知当M点的坐标为(22 )p，时，4 10AB ，求此时抛物线的方程； 【学而思高中数学讲义】 是否存在点M， 使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线 2 2(0)xpy p上， 其中，点C满足OCOAOB （O为坐标原点） 若存在，求出所有适合题意的点 M的坐标；若不存在，请说明理由
