厦门大学线性代数B期中课程试卷 （考试日期：2021.12.9） 成绩：学号： 院系： 姓名： 一、 （10分）若是3阶矩阵，求。解：，所以，。二、 （10分）设方阵满足，证明矩阵可逆，并求其逆矩阵。证明：由，可得，于是 即 ，所以， 。三、（10分）设矩阵，且秩，求常数。解：当时，于是，秩。所以，当时，于是，当时，秩。四、（10分）设矩阵满足关系：，其中，求矩阵。解：由 所以，。五、（10分）已知是三阶矩阵，满足。若，计算。解：由可得即 ，所以，而，故 。六、（15分）设A是 m阶可逆矩阵，B是n阶可逆矩阵，证明分块矩阵 D = 为可逆的，并求其逆矩阵。证明：设，由知，则 。七、（15分）齐次线性方程组 其中，。试讨论为何值时，方程组仅有零解，有无穷多个解？如果方程组有无穷解，求出解的表达式。解：该方程组的系数行列式为 所以，当且时方程组有唯一解。而当或时，方程组有无穷多解。 （1）时，于是，方程组的解为，其中为任意常数。（2）当时，所以方程组的解为，其中为任意常数。八、（15分）设线性方程组 试确定的值，使方程组有解，并求其全部解。解：当时，方程组有解。当时，于是，令，则。从而，所求解为 ，其中为任意常数。九、（5分）设 均为阶矩阵，其中可逆且，证明矩阵 可逆，并求其逆阵。证明一：由于，所以 。证明二： ，由于，所以，故 。
