1、21.4二次函数的应用学习目标【学习目标】经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型从而解决实际问题经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验【学习重点】会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题情景导入1利用配方法求函数y4x280 x的最大值y4(x220 x102102)4(x10)2400当x10时，y最大值4002实例引入：如图，用长20m的篱笆，一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？解：
2、设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，由题意得Sx(202x)2x220 x2(x5)250(0 x10)20，当x5(在0 x10的范围内)时，园子面积S的最大值为50平方米例1 在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少米？它的最大面积是多少？自学互研解：将这个函数关系配方，得100)10(2Xs它的顶点坐标是（10，100).所以，当X=10M时函数有最大值，最大值为100平方米知识模块一用二次函数解决图形面积最优值知识模块一用二次函数解决图形面积最优值1“例1”中，场地面积S与边长x之间是什么关系？解：二次函数关系2当x取何值时，S最大？解：当x 时，S最大3当场地面
3、积S最大时，该场地是什么图形？解：正方形变例 如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃设花圃的一边AB为xm，面积为ym2.(1)求y与x的函数关系式；(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值解：(1)由题意得：yx(303x)，即y3x230 x.(2)由题意：0303x10，即 x10.对称轴为x 5，又当x5时，y随x的增大而减小当x m时面积最大，最大面积为 m2.知识模块二用二次函数解决拱桥类问题知识模块二用二次函数解决拱桥类问题例2 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬
4、钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得81.5=a4502+0.5.解得故所求表达式为yxO-45045028114502500a 210.5(450450)2500yxx(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长
5、.yxO-450450解：当x=450100=350（m）时，得213500.549.5(m)2500y 当x=45050=400（m）时，得214000.564.5(m)2500y 仿例仿例 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥当水面宽为4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面宽度为多少米？解：设抛物线解析式为yax2(a0)，由题意知D坐标为(2，2)，代入yax2，得24a，a ，y x2，B点纵坐标为3，当y3时，x23，解得x ，A(，3)，B(，3)，AB2 ，当水面下降1米时，水面宽度为2 米仿例仿例如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相
6、同正常水位时，大孔水面宽度AB20米，顶点M距水面6米(即MO6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC4.5米)当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.图1图2解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为yax26.依题意，得B(10，0)，代入102a60.解得a0.06，得y0.06x26.当y4.5时，0.06x264.5，解得x5.DF5.EF10，即水面宽度为10米图1图2知识模块知识模块三三二次函数与高度问题二次函数与高度问题例3：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式221gttvho其中h是物体上升的高度，Vo是物体上抛时的初速度，g是重
7、力加速度，通常取g=10m/st是物体抛出后经过的时间自学互研 在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初速度为什10米每秒。(1)问排球上升的最大高度是多少？自学互研解：根据题意，得2110102htt25150htt 因为抛物线开口向下，顶点坐标为（1,5）.即上升的最大高度为5m.(2)已知某运动员在2.5m高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？解得21052.5tt 120.3 s,1.7 stt 排球在上升和下落中，各有一次经过2.5m高度，但第一次经过是离排球被垫起仅有0.3s，要打快攻，选择此时扣球，可令对方措手不及，易获成功.解
8、：当h=2.5 m时，得2021gttvh知识模块知识模块三三二次函数与高度问题二次函数与高度问题1当初始速度为10m/s，问题中得到哪两个量之间的二次函数关系式？如何求解？得到排球上升高度与排球被垫起的时间之间的二次函数关系式，求解方法是化为顶点式，求出最大值即可2第2个问题属于什么问题？怎样求解？答：第2个问题属于知道函数值求相应自变量值的问题范例范例如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米，已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30，O、A两点相距8米(1)求出点A的坐标及直
9、线OA的解析式；(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点归纳归纳1将线段长度转化为点的坐标问题2利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解3利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度解：(1)在RtOAC中，AOC30，OA8 ，AC OA4 ，OC 12，A点坐标为(12，4 )，OA解析式y x；(2)抛物线顶点B(9，12)，设抛物线解析式ya(x9)212，代入O(0，0)得a ，y (x9)212；(3)代入A(12，4 )，(129)2124 ，不能自学互研知识模块知识模块四四二次函数与刹车距离二次函数与刹车距离 例
10、4：行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：制动时车速/kmh-101020304050制动距离/m00.31.02.13.65.5 有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110km/m）行驶导致了交通事故？【分析】要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速.题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数表达式时解答本题的关键.
11、解：以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，如图.10O369xy50403020 观察图中描出的这些点的整体分步，它们基本上都是在一条抛物线附近，因此，y与x之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设 y=ax+bx+c10O369xy50403020 任选三组数据，代入函数表达式，得0,100100.3,400201.0.cabcabc0.002,0.01,0.abc解得即所求二次函数表达式为 y=0.002x+0.01x（x0）.把y=46.5m代入上式，得答：制动时车速为150km/h(110km/h)，即在事故发生
12、时，该汽车属超速行驶.解得 46.5=0.002x+0.01xx1=150（km/h）,x2=-155（km/h）(舍去）.归纳归纳 对于二次函数不明确的两个变量，通常采用取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式.1 1如何明确汽车刹车的制动距离与车速成二次函数关系式？自学互研知识模块知识模块四四二次函数与刹车距离二次函数与刹车距离通过描点观察，图象可近似地以二次函数来模拟2 2通过本例的解决，你认为利用二次函数解决实际问题的方法是什么？通过实际问题中数据建立坐标系，求出二次函数解析式，再利用二次函数来解答相应问题自学互研变例
13、1：某一型号的飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是：y60 x1.5x2.该型号飞机着陆后滑动_m才能停下来600变例2：某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y x2(x0)，若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为_10m/s检测反馈1如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB36m，D、E为拱桥底部的两点，且DEAB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_m.482某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6
14、米，则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的范围是_米3如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_米第2题第3题0.54军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y x210 x.经过_炮弹到达它的最高点，最高点的高度是_m，经过_s，炮弹落到地上爆炸了25s125505行驶中的汽车，在刹车后由于汽车惯性，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”为了测定某型号汽车的刹车性能，对其进行了测试，测得数据如下表：刹车时车速x/kmh101020刹车距离y/m0520若刹车距离y/m与刹车时车速x/kmh1可近似地看成二次函数关系，试求此函数关系式_y x2
