1、 本节用波德（Bode）和香农（Shannon）提出的白化的方法求解维纳霍夫方程，得到系统函数 随机信号都可以看成是由一白色噪声w1(n)激励一个物理可实现的系统或模型的响应，如图8.2所示 图8.2 s(n)的信号模型)(ns)(zA)(1nw 由于x(n)=s(n)+w(n)，在图8.2的基础上给出x(n)的信号模型，图8.3所示。把这两个模型合并最后得到维纳滤波器的信号模型，图8.4所示，其中传递函数用B（z）表示。图8.3 x的信号模型 图8.4 维纳滤波器的输入信号模型)(ns)(zA)(1nw)(nw)(nx)(nx)(zB)(1nw (8-22)对式（822）进行Z变换得到系统函
2、数和相关函数的z变换之间的关系：(8-23)同样，对图8.4进行z变换得 (8-24)()()()(11mamamRmRwwss)()()(121zAzAzRwss)()()(121zBzBzRwxxn白噪声的自相关函数为Rw1w1(m)=w12(m),它的z变换就等于w12。图8.2中输出信号的自相关函数为Rss(m)，根据卷积性质有)()()()()()()(11rkssrmnwraknwkaEmnsnsEmR图8.4中利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：)()()()()()(1mnsknwkbEmnsnxEmRkxs)()()()(11mbmRkmRkbswksw)()()(1
3、1zBzRzRzswxs变换：如果已知观测信号的自相关函数，求它的z变换，然后找到该函数的成对零点、极点，取其中在单位圆内的那一半零点、极点构成B(z),另外在单位圆外的零、极点构成B(z-1)，这样就保证了B(z)是因果的，并且是最小相位系统)()()(121zBzBzRwxx从图8.4可得 (8-26)由于系统函数B(z)的零点和极点都在单位圆内，即是一个物理可实现的最小相位系统，则1/B(z)也是一个物理可实现的最小相移网络函数。我们就可以利用式（826）对x(n)进行白化，即把x(n)当作输入，w1(n)当作输出,1/B(z)是系统传递函数。)()(1)(1zXzBzW 将图8.1重新
4、给出，待求的问题就是最小均方误差下的最佳H(z)，如图8.5（a）所示，为了便于求这个Hopt(z)，将图8.5（a）的滤波器分解成两个级联的滤波器：1/B(z)和G(z)，如图8.5（b）所示，则 (8-27)图8.5 利用白化方法求解模型)()()(zBzGzH)()()(nwnsnx)()(nsny)(nh)(nx)()(nsny)(1zB)(zG)(1nw（a）（b）白化法求解维纳霍夫方程步骤如下：）对观测信号x(n)的自相关函数Rxx(m),求z变换得到Rxx(z)）利用等式,找到最小相位系统B(z)）利用均方误差最小原则求解因果的G(z)），即得到维纳霍夫方程的系统函数解)()()
5、(121zBzBzRwxx)()()(zBzGzH步骤3:G(z)的求解过程 按图8.5（b）有(8-28)均方误差为01)()()()(mmnwmgnsny2012)()()()(mmnwmgnsEneE)()()()()()()(2)(0011012mrmrnwrgmnwmgmnwmgnsnsE000)()()()()(2)0(111mrwwmswssrmRrgmgmRmgR由于 代入上式，并且进行配方得 (8-29)()(2111mmRwww02202)()()(2)0()(11mwmswssmgmRmgRneE02202)(1)()()0(11111mswwmwswwssmRmRmgR
6、0,)()(211mmRmgwswopt均方误差最小也就是上式的中间一项最小，所以 (8-30)注意，这里的g(m)是因果的。对该式求单边z变换，得到 (8-31)0,)()(211mmRmgwswopt211)()(wswoptzRzG)()()(zBzGzHoptopt)()(211zBzRwsw所以维纳霍夫方程的系统函数解表示为由式(8-32)因果的维纳滤波器的最小均方误差为：(8-33)利用帕塞伐尔定理，上式可用z域来表示 (8-34)()()(11zBzRzRswxs)()()(zBzGzHoptopt)()(211zBzRwsw)()(/)(211zBzBzRwxsmin2)(ne
7、E022)(1)0(11mswwssmRRmswwssmumRR)()(1)0(2211min2)(neEcxsoptsszdzzRzHzRj)()()(211围线积分可以取单位圆【例8-2】已知图8.1中，x(n)=s(n)+w(n),且s(n)与w(n)统计独立，其中s(n)的自相关序列为Rss(m)=0.8|m|，w(n)是方差为1的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳滤波器来估计s(n)，并求最小均方误差。解：依题意，已知 mssmR8.0)()()(mmRww0)(mRsw)()(mRmRssxs步骤1)()()(mRmRmRwwssxx25.18.0,)8.01)(8.01()5
8、.01)(5.01(6.11)8.01)(8.01(36.0)(111zzzzzzzzRxx)()()(121zBzBzRwxxzzzzB8.0,8.015.01)(1125.1,8.015.01)(1zzzzB6.121w步骤2由于 ，容易找到最小相位系统和白噪声方差步骤3利用式对括号里面求反变换，注意括号内的收敛域为0.8|z|2，)(zHopt)()(/)(211zBzBzRwxs)5.01)(8.01(36.0)5.01(6.18.01111zzzz)5.01)(8.01(36.011zzZ)1()2(6.0)()8.0(6.0nununn取因果部分，也就是第一项，所以步骤4最小均方误差为：118.0116.0)5.01)(8.01(36.0zzz)(zHopt11115.018/3)8.01(6.0)5.01(6.18.01zzzz0,)5.0(375.0)(nnhnmin2)(neEcxsoptsszdzzRzHzRj)()()(211cdzzzzzj)5.0)(25.1)(8.0()5.0625.0(45.021375.0)25.15.0)(8.05.0()5.05.0*625.0(45.0)5.08.0)(25.18.0()5.08.0*625.0(45.0取单位圆为积分围线，有两个单位圆内的极点0.8和0.5，求它们的留数和
