1、类型二类型二 直角三角形的存在探究直角三角形的存在探究例例 如图,抛物线如图,抛物线yx2+bx+c与与x轴交于轴交于A,B两点,两点,A(-1,0),),B(3,0),与),与y轴交于点轴交于点C.例题图例题图 典例精讲(1)求抛物线的解析式;求抛物线的解析式;解:如解图,把解:如解图,把A(1,0),B(3,0)分别代入分别代入yx2bxc中,得中,得解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3;1bc0,93bc0b 2,c3例题解图例题解图类型二类型二 直角三角形的存在探究直角三角形的存在探究(2)连接)连接AC,BC,ACB是锐角三角形吗?请说明理由是锐角三角形吗?请说明理由
2、;例题图例题图解:如解图,解:如解图,抛物线抛物线yx22x3与与y轴交于点轴交于点C,当当x0时,时,y3,C(0,3),A(1,0),B(3,0),OA1,OBOC3,例题解图例题解图在在RtOBC中,中,OCBOBC45,在在RtOAC中,中,AOC90,tanACOOA/OC1/3tan45,ACO45,ACB90,即,即ACB是锐角,是锐角,OBC,OAC,ACB都是锐角,都是锐角,ACB是锐角三角形;是锐角三角形;例题解图例题解图(3)在)在y轴上是否存在点轴上是否存在点D,使,使ACD是以是以AC为直角边为直角边的直角三角形?若存在,求出点的直角三角形?若存在,求出点D坐标坐标;
3、若不存在,请说若不存在,请说明理由明理由;例题图例题图解:解法一:存在如解图,过点解:解法一:存在如解图,过点A作作ADAC,交,交y轴于点轴于点D,设点设点D坐标为坐标为(0,d),在在RtOAD中,中,AD2OA2OD21d2;在在RtOAC中,中,AC2OA2OC212 10;例题解图例题解图23在在RtACD中,中,DAC90,AD2AC2DC2,(1d2)10(d3)2,解得,解得d ,点点D坐标为坐标为(0,);1313例题解图例题解图解法二:存在解法二:存在DAC90,AODAOC90,DAOOACACOOAC90,DAOACO,AODCOA,即,即 ,解得解得OD点点D坐标为坐
4、标为(0,);OAODOCOA 131OD 13例题解图例题解图13,(4)在抛物线上是否存在点)在抛物线上是否存在点E,使,使BCE是以是以BC为直角边为直角边的直角三角形?若存在,求出点的直角三角形?若存在,求出点E坐标坐标;若不存在,请说明若不存在,请说明理由理由;例题图例题图解:解法一:存在如解图,过点解:解法一:存在如解图,过点B作作BE1BC,交抛物线于点,交抛物线于点E1;过点;过点C作作CE2BC交抛物线于点交抛物线于点E2,当当CBE190时,设时,设E1(e,e22e3),根据勾股定理得,根据勾股定理得,例题解图例题解图E1B2(3e)2(e22e3)2e44e3e26e1
5、8,E1C2e2(e22e33)2e44e35e2,BC2323218.EB2BC2EC2,(e44e3e26e18)18e44e35e2,即即e2e60,解得,解得e13(不合题意,舍去不合题意,舍去),e22,E1的坐标为的坐标为(2,5);当当BCE290,设,设E2(m,m22m3)根据勾股定理得根据勾股定理得E2C2m2(m22m33)2m44m35m2,E2B2(m3)2(m22m3)2m44m3m26m18,E2C2BC2BE2,m44m35m218m44m3m26m18,解得解得m10(不合题意,舍去不合题意,舍去),m21,E2的坐标为的坐标为(1,4),综上所述,存在点综上
6、所述,存在点E使使BCE是以是以BC为直角边的直为直角边的直角三角形,点角三角形,点E坐标为坐标为E1(2,5),E2(1,4);例题解图例题解图解法二:设直线解法二:设直线BC的函数解析式为的函数解析式为ykxb,把点把点B(3,0),C(0,3)代入,得代入,得 解得解得直线直线BC的函数解析式为的函数解析式为yx3,BE1BC,设设BE1的函数解析式为的函数解析式为yxb,把把B(3,0)代入,得代入,得b3,BE1的解析式为的解析式为yx3,3kb0,b3k1,b3例题解图例题解图由方程组由方程组 得得E1坐标为坐标为(2,5),同理,直线同理,直线CE2的函数解析式为的函数解析式为y
7、x3,由方程组由方程组 E2坐标为坐标为(1,4),综上所述,存在点综上所述,存在点E使使BCE是以是以BC为直角边的直角三角形,为直角边的直角三角形,点点E坐标为坐标为E1(2,5),E2(1,4);yx3yx22x3x22y25x13y10yx3yx22x3x21y2-4x10y1-3例题解图例题解图得得(5)在抛物线对称轴上是否存在点)在抛物线对称轴上是否存在点F,使,使BCF是直角三是直角三角形?若存在,求出点角形?若存在,求出点F坐标坐标;若不存在,说明理由若不存在,说明理由.例题图例题图解:存在点解:存在点F,使,使BCF为直角三角形,为直角三角形,抛物线抛物线yx22x3的对称轴
8、为直线的对称轴为直线x 1,设设F点坐标为点坐标为(1,f),BF2(xBxF)2yF24f 2,CF2xF2(yFyC)21(3f)2f 26f10,BC2OB2OC2323218,132 当当CBF90时,过点时,过点B作作BF1BC交对称轴于交对称轴于F1连接连接CF1(如解图如解图),则有则有CF12BC2BF12,f 26f10184f 2,解得解得f2,F1(1,2);例题解图例题解图当当BCF90时,过点时,过点C作作CF2BC,交对称轴于,交对称轴于F2,连接,连接BF2(如解图如解图),BF22BC2CF22,4f 218f 26f10,解得解得f4,F2(1,4);例题解图例题解图如解图,当如解图,当BFC90时,以时,以BC为直径的圆与对称轴交于为直径的圆与对称轴交于F3,F4,则,则BF3CBF4C90,BF2CF2BC2,4f 2(f 26f10)18,即即f 23f20,解得解得f1 ,f2 ,F3(1,),F4(1,),综上所述,存在点综上所述,存在点F,使,使BCF为直角三角形,点为直角三角形,点F的坐标为的坐标为F1(1,2),F2(1,4),F3(1,),F4(1,)3172 3172 3172 3172 3172 3172 例题解图例题解图