1、一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1已知关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点.（1）求k的取值范围；（2）若图象与x轴交点的横坐标为，且它们的倒数之和是，求k的值.【答案】（1）k- ；（2）k=1【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式= b2-4ac的范围可求解出k的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k的值.试题解析：（1）二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1的图象与x轴有两交点，当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根 =b2-4ac=-（
2、2k-1）2-41（k2+1）0解得k- ；（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0则x1+x2=2k-1，x1x2=k2+1， = ， 解得：k=-1或k= （舍去），k=12已知关于x的一元二次方程x2x+a1=0（1）当a=11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，求a的值【答案】（1）（2）（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案详解：（1）把a=11代入方程，得x
3、2x12=0，（x+3）（x4）=0，x+3=0或x4=0，x1=3，x2=4； （2）方程有两个实数根，0，即（1）241（a1）0，解得； （3）是方程的两个实数根， 2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，把 代入，得：2+a12+a1=9，即（1+a）2=9，解得：a=4，a=2（舍去），所以a的值为4点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系3 y与x的函数关系式为：y=1.7x（xm）;或( xm) ； 4沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民
4、人口数量的2倍（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数
5、+B社区的知晓人数=7.592%，据此列出关于m的方程并解答【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x2x，解得x2.5即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5（1+m%）+1.5（1+m%）（1+2m%）=7.592%，解得m=50答：m的值为50【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程5某社区决定把一块长，宽的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，
6、且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边为何值时，活动区的面积达到?【答案】当时，活动区的面积达到【解析】【分析】根据“活动区的面积矩形空地面积阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y，则由题意得.即列方程: 解得 (舍)，.当时，活动区的面积达到【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心6（问题）如图，在abc（长宽高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图，在211个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为311=3
7、（2）如图，在311个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为611=6（3）依此类推，如图，在a11个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+a=线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为_探究二：（4）如图，在a21个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为31=（5）如图，在a31个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2+3=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为_（6）依此类推，如图，在ab1
8、个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_探究三：（7）如图，在以ab2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有1+2=3条线段，则图中长方体的个数为3=（8）如图，在ab3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有1+2+3=6条线段，则图中长方体的个数为_（结论）如图，在abc个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（应用）在234个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论【答案】探究一：（3） ；探
9、究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【结论】： ；【应用】： 180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建
10、立方程求解，即可得出结论【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为 11= ，故答案为 ；探究二：（5）棱AB上有 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为 61=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为 1=，故答案为；探究三：（8）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有6条线段，则图中长方体的个数为 6=，故答案为；(结论)棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有条线段，则图中长方体的个数为=，故答案为；
11、(应用)由(结论)知，在234个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x，由题意得=1000，x（x+1）3=203，x（x+1）=20，x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）444=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目7如图，在ABC中，B90，AB6 cm，BC8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发(1)问几秒后，PBQ的面
12、积为8cm？(2)出发几秒后，线段PQ的长为4cm ?(3)PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由【答案】(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，SPBQ=BPBQ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x秒后线段PQ的长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，利用勾股定理列方程求解；（3）将PBQ的面积表示出来，根据=b2-4ac来判断【详解】(1)设P，Q经过t秒时，PBQ的面积为8 cm2，则PB6t，BQ2t
13、，B90， (6t) 2t8，解得t12，t24，当P，Q经过2或4秒时，PBQ的面积为8 cm2；(2)设x秒后，PQ4 cm，由题意，得(6x)24x232，解得x1，x22，故经过秒或2秒后，线段PQ的长为4 cm；(3)设经过y秒，PBQ的面积等于10 cm2，SPBQ(6y) 2y10，即y26y100，b24ac364 104 0，PBQ的面积不会等于10 cm2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.8如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心2
14、00km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区（2）经过15h就会进入台风影响区；（3）2小时【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区（2）首先假设轮船能进入台风影
15、响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB=30010t，AC=40030t，当BC=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(30010t)2+(40030t)2=2002，整理得到：t230t+210=0，解得t=15，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区（2）由（1）可知经过(15)h就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+（15）=2 h【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是
16、解题关键9关于x的一元二次方程x2（m3）xm2=0（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|2，求m的值及方程的根【答案】（1）证明见解析；（2）x1=1+，x2=1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式=b24ac的结果判断即可，当0时，有两个不相等的实数根，当=0时，有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1x2=，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2（m3）xm2=0，a=1
17、，b=（m3）=3m，c=m2，=b24ac=（3m）241（m2）=5m26m+9=5（m）2+，0，则方程有两个不相等的实数根；（2）x1x2=m20，x1+x2=m3，x1，x2异号，又|x1|=|x2|2，即|x1|x2|=2，若x10，x20，上式化简得：x1+x2=2，m3=2，即m=1，方程化为x2+2x1=0，解得：x1=1+，x2=1，若x10，x20，上式化简得：（x1+x2）=2，x1+x2=m3=2，即m=5，方程化为x22x25=0，解得：x1=1，x2=1+10若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”（1）一次
18、函数yx1与x轴的交点坐标为 ；一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，则a ；（2）已知一对“x牵手函数”：yax+1与ybx1，其中a，b为一元二次方程x2kx+k40的两根，求它们的“x牵手点”【答案】（1）（1，0），a2；（2）“x牵手点”为（，0）或（，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：若a=2，b=-2，若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”【详解】解：（1）当y0时，即x10，所以x1，即一次函数yx1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数yax+2与一次函数yx1为一对“x牵手函数”，所以0a+2，解得a2；（2）yax+1与ybx1为一对“x牵手函数”，a+b0a，b为x2kx+k40的两根a+bk0，x240，x12，x22若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为；若a2，b2则y2x+1与y2x1的“x牵手点”为（，0 ）综上所述，“x牵手点”为或（，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用
