1、大题冲关集训(三)1.(2014哈尔滨一模)数列an满足an+1-an=2,a1=2,等比数列bn满足b1=a1,b4=a8.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)an+1-an=2,a1=2,所以数列an为等差数列,则an=2+(n-1)2=2n,b1=a1=2,b4=a8=16,所以q3=8,q=2,则bn=2n.(2)cn=anbn=n2n+1,则Tn=122+223+324+n2n+1,2Tn=123+224+325+n2n+2,两式相减得-Tn=122+23+24+2n+1-n2n+2,整理得Tn=(n-1)2n+2+4.2.(
2、2013高考福建卷)已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.解:(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列, 所以=1(a1+2), 即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)因为数列an的公差d=1,且S5a1a9, 所以5a1+10+8a1, 即+3a1-100,解得-5a12. 3.在正项数列an中,a1=2,点An(,)在双曲线y2-x2=1上,数列bn中,点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,其中Tn是数列bn的前n项和.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列bn是
3、等比数列.(1)解:由题an+1-an=1,即an是以2为首项,公差为1的等差数列.an=2+n-1=n+1.(2)证明:由(bn,Tn)在y=-x+1上,则Tn=-bn+1,Tn-1=-bn-1+1,n2,bn=-bn+bn-1,n2,bn=bn-1,n2.又b1=-b1+1,得b1=,则bn是以为首项,公比为的等比数列.4.(2014高考新课标全国卷)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.(1)证明:由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1.两式
4、相减得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)解:存在满足题意的,由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1,令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.5.(2014洛阳模拟)已知函数f(x)=(x-1,xR),数列an满足a1=a(a-1,aR),an+1=f(an)(nN*).(1)若数列an是常数列
5、,求a的值;(2)当a1=4时,记bn=(nN*),证明数列bn是等比数列,并求出通项公式an.解:(1)因为f(x)=,a1=a,an+1=f(an)(nN*),数列an是常数列,所以an+1=an=a,即a=,解得a=2或a=1.所以所求实数a的值是1或2.(2)因为a1=4,bn=(nN*),所以b1=,bn+1=,即bn+1=bn(nN*).所以数列bn是以b1=为首项,q=为公比的等比数列,于是bn=（）n-1=（）n(nN*),由bn=,即=（）n,解得an=(nN*),所以所求的通项公式an=(nN*).6.已知等差数列an的首项a1=3,且公差d0,其前n项和为Sn,且a1,a
6、4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)证明:+.(1)解:设等比数列bn的公比为q,a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4,(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,d2-2d=0,d=2或d=0(舍去).an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列bn的公比为q=3,b1=1.bn=3n-1.(2)证明:由(1)知Sn=n2+2n,=（-）,+=（1+-）=-（+）.+=,-(+),+.7.(2015上饶六校月考)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=2,S5=15,数列bn满足b1=,bn+1=bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记Tn为数列bn的前n项和,f(n)=,试问f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,则解得a1=1,d=1,an=n,由题意知=,=()n-1,bn=.(2)由(1),得Tn=+,Tn=+,所以Tn=2-,又Sn=,所以f(n)=,f(n+1)-f(n)=-=,当n3,nN*时,f(n+1)-f(n)0,当n32500,即2n-132,得n6,该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元.
