1、三元一次方程组例题与讲解1.三元一次方程及三元一次方程组(1)三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.(2)三元一次方程组：定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.如：等都是三元一次方程组.拓展理解：a.构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；b.三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数.【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是().A. B.C. D.解析：A，B选项中有的方程不是三元一次方程，C中含有
2、四个未知数，只有D符合三元一次概念内涵，故选D.答案：D2.三元一次方程组的解(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解.和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解.(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解.它也是三个数.(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解.释疑点 检验三元一次方程组的解三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解.【例2】 判断是不
3、是方程组的解.答：_(填是或不是).解析：把代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右两边都相等，所以是方程组的解.答案：是3.三元一次方程组的解法(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.(2)步骤：观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；解二元一次方程组，求出两个未知数的值；将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；写出三元一次方程组的解.(3)注意点：三元一次方程组的解法多种多
4、样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确.【例3】 解方程组分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程不含有字母z，而，中的未知数z的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解.解：2，得5x8y7，解，组成的方程组解这个方程组，得把x3，y1代入，得z1，所以原方程组的解为4.运用三元一次方程组解实际问题(1)方法步骤：审题：弄清题意及题目中的数量关系；设：设三个未知数；列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列
5、出三个方程，组成三元一次方程组；解：解这个方程组，并检验解是否符合实际；答：回答说明实际问题的答案.析规律 列三元一次方程组同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组.【例4】 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数.解：设百位数字为a、十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为100a10bc，由题意，得化简，得解这个方程组，得答：原来的三位数是24
6、3.5.三元一次方程组的解法技巧解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，在这里关键是消元，若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略供参考.(1)先消系数最简单的未知数，这样可以减少运算量，简化过程.如：中，y的系数较简单，先消y简单.(2)先消某个方程中缺少的未知数.若方程组中某个方程缺少某个元，把另外两个方程结合，消去这个元，转化为二元一次方程求解.如：因为方程中缺少y，所以由，组合先消去y比较简单.(3)先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数，如：三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比
7、较简单.(4)整体代入消元，如：将方程左边变形为(xyz)(xy)y18，作整体代入便可消元求解.(5)整体加减消元：如：在三个方程中，根据未知数x，z的系数特点，可用整体加减消元法来解得y的值.再逐步求解.【例51】 解方程组分析：因为方程中缺少未知数y项，故而可由，组合先消去y，再求解.解：3，得11x10z35，解由，组成的方程组解得把代入，得y，所以原方程组的解为【例52】 解方程组分析：经观察发现中的5x15y5(x3y)，这就与有了联系，因此，可化为5(x3y2z)6z38，把整体代入该方程中，可求出z的值，从而易得x与y的值.解：由，得5(x3y2z)6z38，把整体代入，得51
8、06z38.解这个方程，得z2，把z2分别代入，中，得解，得所以原方程组的解是【例53】 解方程组分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法.解：，得xyz17，再由分别减去，各式，分别得z3，x6，y8.所以原方程组的解是6.三元一次方程组的应用归类三元一次方程组的应用和二元一次方程组的应用类似，也主要包括两类：(1)构造方程组，通过解方程组解决问题.主要有以下几种情况.根据某些数学概念构造方程组，如：2x4my165n与x3n6y2m是同类项，根据同类项定义列方程求未知数m，n.运用非负数的性质构造方程组.如：如果(xy2)2|yz4|xy2
9、|0，那么x_，y_，z_.根据题意列出三元一次方程组求解.已知方程的解的情况求未知系数.如：关于x，y的二元一次方程组的解，也是方程3x2y17的解，则m的值是？根据题意构造一个以x，y，m为未知数的三元一次方程组求解.点评：这类问题的实质是变相的解方程组问题.(2)列方程解应用题，根据实际生活中的情景，列方程组解决实际问题.【例61】 如果方程组中，x与y的和为2，则m的值是( ).A.16B.4C.2D.8解析：方法一：因为x与y的和为2，即xy2，所以与组成一个三元一次方程组解这个方程组，求出m4.方法二：也可以先解求出x，y的值(含m)，再把解得的x，y的值代入xy2中，
10、求出m.方法三：把x2y代入解含y，m的二元一次方程组.答案：B【例62】 如果|x2y1|zy5|(xz3)20，那么x_，y_，z_.解析：根据非负数的和为0，各式都为0，列出三元一次方程组化简，得解这个方程组，得x5，y3，z2.答案：5327.运用三元一次方程组求代数式的值解三元一次方程组是对消元思想和方法的综合的、全面的运用，另一方面是将来学习二次函数的必备知识，在本章中，经常出现一类求代数式值的问题，如：已知代数式ax2bxc，当x分别取1,0,2时，式子的值分别是0，3，5，求当x5时，代数式ax2bxc的值.解法：分别将x1,0,2代入代数式ax2bxc中，得到一个三元一次方程
11、组解这个三元一次方程组，求出系数a，b，c的值，再将x5回代，再求出当x5时，式子ax2bxc的值.【例71】 已知x2y3z54,3x2y2z47，2xyz31，那么代数式xyz的值是().A.17B.22C.32D.132解析：将三个三元一次方程组成方程组，整体求法，将三个式子相加，得6x6y6z132，两边都除以6，解，得xyz22.B正确，故选B.答案：B【例72】 在等式yax2bxc中，当x分别取1,2,3时，y的值分别为3，1,15.则a_，b_，c_；当x取4时，y的值为_.解析：把x1,2,3分别代入yax2bxc中，得三元一次方程组解这个三元一次方程组得所以等式是y10x2
12、34x27，把x4代入y10x234x27中，得y51.答案：103427518.含比例方程的方程组的解法三元一次方程组中，有一类方程，含有比例式子，如这类方程组的解法有两种方式，一是把方程组根据比例的性质进行化简，化为一般的三元一次方程组，按常规思路进行解决；二是设参数法，如在上面的方程组中设每一份为k，则x3k，y2k，z1.6k，把它们分别代入中，得3k2k1.6k66.即6.6k66，解得k10，所以x30，y20，z16.从而解出方程组.【例8】 解方程组分析：方法一：将化简成两个方程和组成三元一次方程组，解这个三元一次方程组；方法二：因是比例式，所以设t，则x3t，y4t，z5t，代入中即可求出t的值，解出方程组.解：设t，则x3t，y4t，z5t，将它们都代入方程，得73t34t55t16，解得t2.所以x6，y8，z10. 所以原方程组的解是
