1、六年级（小升初）总复习行程问题行程问题常用的解题方法有公式法 S=V*T 图示法比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；分段法 方程法模块一、时间相同速度比等于路程比【例 1】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？【解析】 两个人同时出发相
2、向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程所以 A、 B两地相距 (千米)【例 2】 B地在A，C两地之间甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时
3、甲、乙位置如下：因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10（31）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10105530（分钟），同理丙追及时间为30（31）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10551515=50（分钟），此时追及乙需要：50（31）=25（分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为5515152525=90（分钟）（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛)
4、 甲、乙两人同时从、两点出发，甲每分钟行米，乙每分钟行米，出发一段时间后，两人在距中点的处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了分钟，两人将在距中点的处相遇，且中点距、距离相等，问、两点相距多少米？【分析】 甲、乙两人速度比为，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的，乙走了全程的第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的由于甲、乙速度比为，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了，所以甲停留期间乙行了，所以、两点的距离为(米)【例 4】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是
5、 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%这样当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 10 千米那么 A、B 两地相距多少千米？【解析】 两车相遇时甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此时甲、乙的速度比为 ，所以甲到达 B 地时，乙又走了，距离 A地，所以 A、 B 两地的距离为 (千米)【例 5】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发？【解析】
6、 从题中可以看出小王的速度比小张块下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45= + 千米，故小张的速度是 45 3 =15千米/时，小王的速度是15 30 =45千米/时全程是 45 3 =135千米，小张走完全程用了135 15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。【例 6】 从甲地到乙地
7、，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？ 【解析】 由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而
8、第二小时则是全在走平路这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一
9、段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米所以第二小时内用在走平路上的时间为小时，其余的小时在走上坡路；因为第一小时比第二小时多走了15千米，而小时的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为小时，所以在第一小时中，有小时是在下坡路上走的，剩余的小时是在平路上走的因此，陈明走下坡路用了小时，走平路用了小时，走上坡路用了小时因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是那么下坡路的速度为千米/时，平路的速度是每小时千米，上坡路的速度是每小时千米那么甲、乙两地相距(千
10、米)模块二、路程相同速度比等于时间的反比【例 7】 甲、乙两人同时从地出发到地，经过3小时，甲先到地，乙还需要1小时到达地，此时甲、乙共行了35千米求，两地间的距离【分析】 甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为，那么在3小时内的路程之比也是；又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为千米，即，两地间的距离为20千米【例 8】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】 由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）
11、 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12820（分），乙需 204630（分）.【例 9】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10 3= 30分钟，
12、所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分【例 10】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是，因此，走上坡路需要的时间是，那
13、么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为，所以，上坡速度是平路速度的倍【例 11】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达但汽车行驶到路程的时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【分析】 当以原速行驶到全程的时，总时间也用了，所以还剩下分钟的路程；修理完毕时还剩下分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为，根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为，因此每分钟应比原来快米小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采
14、用比例法简便【例 12】 (“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发小时后因故停车小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚小时若出发小时后又前进公里因故停车小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚小时，那么整个路程为_公里【解析】 如果火车出发小时后不停车，然后以原速的前进，最终到达目的地晚小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为，所以原计划要花小时，现在要花小时，若出发小时后又前进公里不停车，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为，所以原计划要花小时，现在要花小时所以按照原计划公里的路程火车要
15、用小时，所以火车的原速度为千米小时，整个路程为千米【例 13】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的110/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.51/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7
16、/6，则此后所用时间为原计划的17/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：5/31/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 15= 1260(千米)【例 14】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【解析】 车速提高 20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以
17、原定时间为小时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为小时所以前面按原速度行使的时间为小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的【例 15】 一辆车从甲地开往乙地如果车速提高，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高，则可以提前40分钟到达那么甲、乙两地相距多少千米？【分析】 车速提高，速度比为，路程一定的情况下，时间比应为，所以以原速度行完全程的时间为小时以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高，速度比为，所用时间比应为，提前40
18、分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要小时，所以以原速行驶120千米所用的时间为小时，甲、乙两地的距离为千米【例 16】 甲火车分钟行进的路程等于乙火车分钟行进的路程乙火车上午从站开往站，开出若干分钟后，甲火车从站出发开往站上午两列火车相遇，相遇的地点离、两站的距离的比是甲火车从站发车的时间是几点几分？分析甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比根据题意可知，甲、乙两车的速度比为从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为，而相遇点距、两站的距离的比是说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车个小时所走路程的也就是说乙比甲先走
19、了一个小时的四分之一，也就是15分钟所以甲火车从站发车的时间是点分模块三、比例综合题【例 17】 小狗和小猴参加的100米预赛结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？【解析】 小猴不会如愿以偿第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它们的速度比为；那么把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了米，离终点还差1米，所以它还是比小狗晚到达终点【例 18】
20、 甲、乙两人同时从 A地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，此时甲、乙共行了 35 千米求 A， B 两地间的距离【解析】 甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）两个人速度比为：甲：乙=4：3当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，所以甲走：35（43）4=20（千米），所以，A、B两地间距离为20千米【例 19】 、三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市开车后小时车出了事故，和车照常前进车停了半小时后以原速度的继续前进、两车行至距离甲市千米时车出了事故，车照常前进车停了
21、半小时后也以原速度的继续前进结果到达乙市的时间车比车早小时，车比车早小时，甲、乙两市的距离为 千米【分析】如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，因为车后来的速度是车的，即两车行小时的路车比车慢小时，所以慢小时说明车后来行了小时从甲市到乙市车要行小时同理，如果车没有停半小时，它将比车晚到小时，说明车后来行了小时，这段路车需行小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的故甲、乙两市距离为(千米)【例 20】 甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后小时，乙从同地同路同向出发，步行小时到达甲于分钟前曾到过的地方此后乙每小时多行米，经过小时追上速度保持不变的甲甲每小时行多少米？分析根据题意，乙加速之前步行小时的路程
22、等于甲步行小时的路程，所以甲、乙的速度之比为，乙的速度是甲的速度的倍；乙加速之后步行小时的路程等于甲步行小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为加速后乙的速度是甲的速度的倍；由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为米/小时【例 21】 甲、乙两人分别骑车从地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车12 分钟后丙也骑车从地出发去追甲丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙已知乙的速度是每小时千米，丙的速度是乙的2倍那么甲的速度是多少？分析 丙的速度为千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了千米后与甲、乙同时出发如图所示，相当于甲、乙从，丙从同时出发，丙在处追上甲，此时乙
23、走到处，然后丙掉头走了3千米在处和乙相遇从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了千米，故为千米那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了千米，因此速度为(千米/小时)【例 22】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山
24、腰，说明甲走过的路程应该是一个单程的 11.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时） 【例 23】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西米处一列火车以每小时千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头米处被火车追上问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？【分析】设铁路桥长为米在小狗向西跑的情况下：小狗跑
25、的路程为米，火车走的路程为米；在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为米，火车走的路程为米；两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了米，火车一共走了米；因为是的倍，所以火车速度是小狗速度的倍，所以小狗的速度为(千米/时)；因为火车速度为小狗速度的倍，所以，解此方程得：所以铁路桥全长为米，小狗的速度为每小时千米【例 24】 如图，点分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距米的、两地顺时针方向沿长方形的边走向点，甲点分到后，丙、丁两人立即以相同速度从点出发，丙由向走去，点分与乙在点相遇，丁由向走去，点分在点被乙追上，则连接三角形的面积为 平方米 【分析】如图，由题意知，丙从到用分钟，丁从到用分钟，
26、乙从经到用分钟，说明甲、乙速度是丙、丁速度的倍因为甲走用分钟，所以丙走要用(分钟)，走用(分钟)因为乙走用分钟，所以丙走用(分钟)因为长米，所以丙每分钟走(米)于是求出(米)，(米)，(米) (平方米)【例 25】 如图，长方形的长与宽的比为，、为边上的三等分点，某时刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动甲、乙、丙三人的速度比为他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？分析长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且
27、另一个点恰好在该长方形边的对边上所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况将长方形的宽等分，长等分后，将长方形的周长分割成段，设甲走段所用的时间为个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走段、段，由于、两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有个人走了整数段所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况对于甲的运动进行讨论：时间(单位时间)地点对于乙的运动进行讨论：时间(单位时间)地点对于丙的运动进行讨论：时间(单位时间)地点需要检验的时间点有、个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件个单位时间的时候甲在上，三人第一次构成最大三角形所以一个单位时间相当
28、于分钟个单位时间的时候甲、乙、丙分别在、的位置第二次构成最大三角形所以再过分钟三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？课后作业练习1. 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？ 【解析】 甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007 次相遇时甲总共走了 3（20072-1）=12039 份，第 2008 次相遇时
29、甲总共走了 3（20082-1）=12045 份，所以总长为 12012045-12040-（12040-12039）10=300 米. 练习2. 甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是，他们第一次相遇后甲的速度提高了，乙的速度提高了，这样，当甲到达地时，乙离地还有千米，那么、两地的距离是多少千米？【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为，相遇后，甲、乙两人的速度比为；到达地时，即甲又行了份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是，即乙的路程为乙从相遇后到达还要行份的路程，还剩下(份)，正好还剩下千米，所以份这样的路程是(千
30、米)、两地有这样的(份)，因此、两地的总路程为：(千米)练习3. 小明和小刚进行米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变)当小刚跑了米时，小明距离终点还有米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？【分析】当小刚跑了米时，小明跑了米，在相同时间里，两人的速度之比等于相应的路程之比，为；在小刚跑完剩下的米时，两人经过的时间相同，所以两人的路程之比等于相应的速度之比，则可知小明这段时间内跑了米，还剩下米练习4. 客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3小时后客车到达甲地，货车离乙地还有22千米，已知货车与客车的速度比为，甲、乙两地相距多少千米？【分析】 货车与客车速度比，相同时间内所行路程的比也为，那么客车走的路程为(千米)，为全程的一半，所以全程是(千米)练习5. 甲、乙两人从，两地同时出发，相向而行甲走到全程的的地方与乙相遇已知甲每小时走千米，乙每小时走全程的求，之间的路程【分析】 相同的时间内，甲、乙路程之比为，因此甲、乙的速度比也为，所以乙的速度为千米/时两地之间的路程为：千米
