1、计数的基本原理排列组合排列数Pnm公式组合数Cnm公式组合数的两个性质应用本章知识结构1.分类加法计数原理分类加法计数原理完成一件事完成一件事,有有n类办法类办法,在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同种不同的方法的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法种不同的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=种不同的方法种不同的方法.2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事完成一件事,需要分成需要分成n个步骤个步骤,做第做第1步有步有m1种不同种不同的方法的方法,做第做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法
2、，,做第做第n步有步有mn种不同的方法种不同的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=种不同的方法种不同的方法.m1+m2+m3+mnm1m2mn 一、两个原理一、两个原理3.分类和分步的区别分类和分步的区别分类：完成一件事同时存在分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类类方法，每一类都能独立完成这件事，各类互不相关都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一分步：完成一件事须按先后顺序分件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可，步进行，每一步缺一不可，只有当所有步骤完成，这件事才完成只有当所有步骤完成，这件事才完成.一、两个原理一、两个原理练习练习1：书架上放有书架上放有3本不同的
3、数学书，本不同的数学书，5本本不同的语文书，不同的语文书，6本不同的英语书本不同的英语书 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？少种不同的取法？答案：答案：Nm1m2m335614N=m1m2m3=90N=353656=63 一、两个原理一、两个原理练习练习2：由数字由数字0，1，2，3，4可以组成多少个
4、三可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？位整数（各位上的数字允许重复）？解：解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步第一步确定百位上的数字，从确定百位上的数字，从14这这4个数字中任选一个数个数字中任选一个数字，有字，有4种选法；种选法；第二步第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选种选法；法；第三步第三步确定个位上的数字，仍有确定个位上的数字，仍有5种选法根据乘法原理，种选法根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是得到可以组成的三位整数的个数是 N=455=100 答：可以组成答：可以
5、组成100个三位整数个三位整数 一、两个原理一、两个原理例例1 （1）现要排一份天的值班表，每天现要排一份天的值班表，每天有一人值班，共有人，每人可以多天值有一人值班，共有人，每人可以多天值班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有班，问此值班表共有 种不同排法种不同排法.1280 一、两个原理一、两个原理 (1)值班表须依题设一天一天的分步值班表须依题设一天一天的分步完成完成.第一天有第一天有5人可选，有人可选，有5种排法，第二种排法，第二天不能用第一天的人，有天不能用第一天的人，有4种排法，同理，种排法，同理，第三天、第四天、第五天也有第三天
6、、第四天、第五天也有4种，故由分种，故由分步 计 数 原 理 排 值 班 表 共 有步 计 数 原 理 排 值 班 表 共 有54444=1280种，应填种，应填1280.一、两个原理一、两个原理 (2)设另两边长为设另两边长为x、y,且且1xy11 (x、yZ)，构成三角形，则，构成三角形，则x+y12，当，当y取取11时，时，x=1,2,3,11,有有11个个;当当y取取10时，时，x=2,3,10,有个有个;当当y取取9时，时，x=3,4,9,共共7个个;当当y取取6时，时，x也只能为也只能为6，有，有1个，故满足题设的三角形共有：个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=3
7、6个，故个，故选选C.(2)三角形的三边长均为整数三角形的三边长均为整数,且最长的边且最长的边长为长为11,则这样的三角形的个数有则这样的三角形的个数有()A.25个个 B.26个个 C.36个个 D.37个个C （1）是分步问题，用分步计数原）是分步问题，用分步计数原理理;(2)是分类问题，用分类计数原理是分类问题，用分类计数原理.一、两个原理一、两个原理!(1)(2)(1)()!mnnPn nnn mn m 从从n个不同的元素中，任取个不同的元素中，任取M个元素，个元素，按照一定的按照一定的顺序顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个个不同的元素中取出不同的元素中取出M个元素的一个个元素的
8、一个 排排列列。二、排列与排列数二、排列与排列数所有排列的个数叫做所有排列的个数叫做 排列数排列数，用，用表示。表示。mnP(3)排列数计算公式排列数计算公式.=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=(其中其中mn).()若若m=n，排列称为，排列称为全排列全排列，记，记 =123(n-1)n=n!(称为称为n的阶乘的阶乘)；()规定规定0!1.mnA!()!nnmnnA 二、二、排列与排列数排列与排列数从从n个不同元素中，取出个不同元素中，取出m(mn)个不同元素组个不同元素组成一组，叫做从成一组，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合.所有组合的个数叫做
9、所有组合的个数叫做组合数组合数,用符号用符号 表示表示.mnC 组合与组合数组合与组合数(3)组合数计数公式组合数计数公式.=.=.规定规定 =1.(4)组合数的两个性质组合数的两个性质.()=;()=+.mnCmnmmAA(1)(2)(1)!n nnnmm!()!nm nm0nCmnCn mnC1mnCmnC1mnC 组合与组合数组合与组合数排列与组合的共同点是排列与组合的共同点是“从从n个不同元个不同元素中，任取素中，任取m个不同元素个不同元素”；而不同点是；而不同点是排列要排列要“按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列”，而，而组合却是组合却是“只需组成一组（与顺序无只需组成一组（
10、与顺序无关）关）”.因此，因此，“有序有序”与与“无序无序”是排列是排列与组合的重要标志与组合的重要标志.“”为排列问为排列问题题,“”为组合问题为组合问题.有序有序无序无序排列与组合的区别排列与组合的区别例例2 解下列方程：解下列方程：(1)=140 ;(2)=+.421xP3xP13xxC11xxC1xxC22xxC (1)根据排列的意义及公式得根据排列的意义及公式得 42x+1 3x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140 x(x-1)(x-2),x (4x-23)(x-3)=0,解之并检验得解之并检验得x=3.则有则有(2)由组合数的性质可得由组合数的性质可得 +=+=+.又
11、又 =,所以所以 =+,即即 +=+,所以所以 =，所以所以5=x+2,x=3,经检验知经检验知x=3.13xxC11xxC1xxC22xxC11xC21xC42xC22xC42xC23xC23xC22xC42xC12xC22xC22xC42xC12xC42xC 凡遇到解排列、组合的方程凡遇到解排列、组合的方程,不等式问题时，应首先应用性质和不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的计算公式进行变形与排列、组合的计算公式进行变形与化简，并注意有关解排列、组合的化简，并注意有关解排列、组合的方程、不等式问题，最后结果都需方程、不等式问题，最后结果都需要检验要检验.例例3 用用0,1,2,3,4这
12、五个数字，可以组这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数：字的五位数：(1)比比21034大的偶数；大的偶数；(2)左起第二位、第四位是奇数的偶数左起第二位、第四位是奇数的偶数.(1)（方法一）可分五类（方法一）可分五类:当末位数字是当末位数字是0,而首位数字是而首位数字是2,+=6(个个);当末位数字是当末位数字是0,而首位数字是而首位数字是3或或4,有有 =12(个个);当末位数字是当末位数字是2,而首位数字是而首位数字是3或或4,有有 =12(个个);当末位数字是当末位数字是,而首位数字是而首位数字是2,有有 +=3(个个);当末位数字
13、是当末位数字是4,而首位数字是而首位数字是3，有，有 =6(个个).故有故有6+12+12+3+6=39(个个).12A22A22A12A33A12A33A22A11A33A(方法二方法二)不大于不大于21034的偶数可分为三类：的偶数可分为三类：1为万位数字的偶数，有为万位数字的偶数，有 =18(个个);2为万位数字，而千位数字是为万位数字，而千位数字是0的偶数，有的偶数，有 =2(个个);还有还有21034本身本身.而由而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有组成的五位偶数共有 +=60(个个).故满足条件的五位偶数共有故满足条件的五位偶数共有 60-1=39(个个).12A12A33A1
14、3A44A13A33A13A33A12A(2)（方法一）可分两类（方法一）可分两类:0是末位数，有是末位数，有 =4（个）；（个）；或是末位数，有或是末位数，有 =4(个个).故共有故共有4+4=8(个个).(方法二方法二)第二位、第四位从奇数第二位、第四位从奇数1，3中取，中取，有有 个个;首位从首位从,中取，有中取，有 个；余下个；余下排在剩下的两位，有排在剩下的两位，有 个个,故共有故共有 =8(个个).22A22A22A12A22A12A22A22A12A22A 不同数字的无重复排列是排列问不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，常见的附加条题中的一类典型问题，常见的附加条件有
15、：奇偶数、位数关系及大小关系件有：奇偶数、位数关系及大小关系等，也可有相邻问题、不相邻问题等，等，也可有相邻问题、不相邻问题等，解决这类问题的关键是搞清受限条件，解决这类问题的关键是搞清受限条件，然后按特殊元素（位置）的性质分类然后按特殊元素（位置）的性质分类.这类问题有这类问题有0参与时，不可忽视它不能参与时，不可忽视它不能排在首位的隐含条件排在首位的隐含条件.为了参加学校的元旦文艺会演，某为了参加学校的元旦文艺会演，某班决定从爱好唱歌的名男同学和名班决定从爱好唱歌的名男同学和名女同学中选派名参加小合唱节目，如女同学中选派名参加小合唱节目，如果要求男女同学至少各选派名，那么果要求男女同学至少
16、各选派名，那么不同的选派方法有多少种？不同的选派方法有多少种？(方法一方法一)按选派的男同学的人数分三类：按选派的男同学的人数分三类：选派一名男同学，三名女同学有选派一名男同学，三名女同学有 40种方法；种方法；选派两名男同学，两名女同学有选派两名男同学，两名女同学有 60种方法；种方法；选派三名男同学，一名女同学有选派三名男同学，一名女同学有 20种方法；种方法；由分类计数原理，共有不同的选派方法有由分类计数原理，共有不同的选派方法有40+60+20=120种种.14C35C24C25C34C15C(方法二方法二)在这九名同学中任选四名，在这九名同学中任选四名，有有 =126种方法种方法.其
17、中四人都是男同其中四人都是男同学的有学的有 =1种方法；四人都是女同种方法；四人都是女同学的有学的有 =5种方法，因此符合要求种方法，因此符合要求的选派方法有的选派方法有126-1-5=120种种.49C44C45C 有限制条件的组合应用题的限制条件主有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现在被选出的元素要表现在被选出的元素“含含”或或“不含不含”某些元某些元素，或是素，或是“至少至少”“”“至多至多”等类型的组合问题，等类型的组合问题，对于这类组合应用题解题的总体思路为：对于这类组合应用题解题的总体思路为：(1)用直接法用直接法.一般是从整体分类，然后再局部分步一般是从整体分类，然后再局部分
18、步.对于较复杂的从若干个集合里选元素的问对于较复杂的从若干个集合里选元素的问题，首先应以其中一个集合为基准进行分题，首先应以其中一个集合为基准进行分类（当然，为了使类别尽量少，这个集合类（当然，为了使类别尽量少，这个集合里的元素较少为好），里的元素较少为好），分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是全集，任意两类的交集是空集，在合理正确分全集，任意两类的交集是空集，在合理正确分类的前提下，在每一类中，依据题目的要求进类的前提下，在每一类中，依据题目的要求进行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互独立独立.()用间接
19、法用间接法.当正面求解较为困难时，也可采用正难则当正面求解较为困难时，也可采用正难则反的思想，用反的思想，用“间接法间接法”求解，但要注意找准求解，但要注意找准对立面对立面.球台上有球台上有4个黄球，个黄球，6个红球，击个红球，击黄球入袋记黄球入袋记2分，击红球入袋记分，击红球入袋记1分分.欲欲将此将此0个球中的个球中的4个球击入袋中，但总个球击入袋中，但总分不低于分不低于5分，则击球方法有几种？分，则击球方法有几种？能力提高能力提高 设击入黄球设击入黄球x个个,红球红球y个符合要求个符合要求,x+y=4 2x+y5 x,yN*,x=1 x=2 x=3 x=4 y=3,y=2,y=1,y=0.
20、故共有不同击球方法数为故共有不同击球方法数为 +=195.则有则有解得解得14C36C24C26C16C34C44C06C 本题需运用不等式的知识，确本题需运用不等式的知识，确定击入黄球与红球的个数，有时则需定击入黄球与红球的个数，有时则需利用集合的运算等知识，确定相关元利用集合的运算等知识，确定相关元素的个数，再利用排列或组合的知识素的个数，再利用排列或组合的知识解决方法种数问题解决方法种数问题.1.解决应用题时，应分析：要完解决应用题时，应分析：要完成做一件什么事；这件事怎样做才可成做一件什么事；这件事怎样做才可以做好；需要分类还是分步以做好；需要分类还是分步.运用分类运用分类计数原理和分
21、步计数原理，关键在于计数原理和分步计数原理，关键在于两方面，认真分析题意，设计合理两方面，认真分析题意，设计合理的求解程序是求解问题的关键的求解程序是求解问题的关键.1.解决应用题时，应分析：要完解决应用题时，应分析：要完成做一件什么事；这件事怎样做才可成做一件什么事；这件事怎样做才可以做好；需要分类还是分步以做好；需要分类还是分步.运用分类运用分类计数原理和分步计数原理，关键在于计数原理和分步计数原理，关键在于两方面，认真分析题意，设计合理两方面，认真分析题意，设计合理的求解程序是求解问题的关键的求解程序是求解问题的关键.2.如果任何一类办法中的任何一种方如果任何一类办法中的任何一种方法都能
22、完成这件事，即类与类之间是相互法都能完成这件事，即类与类之间是相互独立的，即分类完成，则选用分类计数原独立的，即分类完成，则选用分类计数原理；如果完成一件事要经历几个步骤（即理；如果完成一件事要经历几个步骤（即几步），且只有当这些步骤都做完，这件几步），且只有当这些步骤都做完，这件事才能完成，即步与步之间是相互依存、事才能完成，即步与步之间是相互依存、相互连续的，即分步完成，则选用分步计相互连续的，即分步完成，则选用分步计数原理数原理.3.排列与组合的本质区别在于排列不排列与组合的本质区别在于排列不仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取出一组即可，与顺序无关出
23、一组即可，与顺序无关.4.注意排列数公式、组合数公式有连注意排列数公式、组合数公式有连乘形式与阶乘形式两种，乘形式与阶乘形式两种，公式公式 =n(n-1)(n-m+1),=常用于计算常用于计算,而公式而公式 =,=常用于常用于证明恒等式证明恒等式.mnAmnC(1)(2)(1)!n nnnmm!()!nnmmnAmnC!()!nm nm例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数.解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排应该优先安排,以免不合要求的元素以免不合要求的元素占了这两个位置占了这两个位置先排末位共
24、有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_13C13C14C14C34P34P由分步计数原理得由分步计数原理得=28813C14C34P若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若若两种花不种在中间，也不种在两端的花两种花不种在中间，也不种在两端的花盆里盆里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？练习题解一：分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置35A有种 排 法第二步排其余的位置：3454A A共有种不同的排法44有 A 种 排 法解二：第一步由葵花去占位：
25、24A有种 排 法第二步由其余元素占位：55A有种 排 法2545A A 共 有种 不 同 的 排 法小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。例例2.72.7人站成一排人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合
26、元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。.某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好有有3 3枪连在一起的情形的不同种数为枪连在一起的情形的不同种数为（）练习题2055A第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种55A46A相相相相独独独独独独某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的
27、5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目.如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（）30练习题四四.定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略例例4.74.7人排队人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:(倍缩法倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列,然后用总
28、排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是：7733AA（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 47A147A思考思考:可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗?五五.重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解:完成此事共分六步完
29、成此事共分六步:把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法.7 7把第二名实习生分把第二名实习生分配配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法，依此类推依此类推,由分步由分步计计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法67允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m六六.环排问题线排策略环排问题线排策略
30、例例6.56.5人围桌而坐人围桌而坐,共有多少种坐法共有多少种坐法?解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 44AA AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！1mnmA例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当
31、于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.例例8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内,每盒至少装一个球每盒至少装一个球,共有多少不同的装共有多
32、少不同的装 法法.解解:第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法.再把再把4 4个元素个元素(包含一个复合包含一个复合 元素元素)装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_25C44A练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务,每人每人完成一种任务完成一种任务,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加,则不同的选法有则不同的选法有_ _
33、种种192192解排列组合问题的基本思路：解排列组合问题的基本思路：（1）分类计数原理与分步计数原理的运用；）分类计数原理与分步计数原理的运用；（2）将实际问题抽象为排列问题或组合问题或排）将实际问题抽象为排列问题或组合问题或排列组合综合问题列组合综合问题;（3）对于带限制条件的排列问题，通常考虑元素）对于带限制条件的排列问题，通常考虑元素分析法、位置分析法、间接法分析法、位置分析法、间接法;（4）对于组合问题应注意：）对于组合问题应注意：对组合问题恰当分对组合问题恰当分类；类；“直接法直接法”与与“间接法间接法”的运用；合理设的运用；合理设计分组方案。计分组方案。解排列组合问题应遵循的三大原
34、则：解排列组合问题应遵循的三大原则：先特殊后一般，先特殊后一般，先组后排，先组后排，先分类后分步先分类后分步解排列组合问题的常用策略：解排列组合问题的常用策略：（1）相邻问题）相邻问题“捆绑法捆绑法”（2）不相邻问题）不相邻问题“插空法；插空法；”（3）某些元素顺序一定，应用除法处理策略；）某些元素顺序一定，应用除法处理策略；（4）分排问题直排处理；）分排问题直排处理；（5）构造模型策略；）构造模型策略；（6）穷举法，即将所有满足条件的排列一一列举；）穷举法，即将所有满足条件的排列一一列举；（7）等价转换，即将陌生复杂问题转换为熟习简单）等价转换，即将陌生复杂问题转换为熟习简单的问题。的问题。
35、考点考点1：组合、二项式公式的变形、推导：组合、二项式公式的变形、推导111111111(1,)1.1.(1)(1).rnrnrnrnrnCnrnrZrACnB nrCC nrCnDCr例：（08上海）组合数、恒等于（）D高考真题再现1或或3【点评】本题的关键在于不要遗漏情况，根据组合数的性质！高考真题再现112211.mn mnnmmmnnnnnnnACCBCCCC CDC练习：下列等式或命题中不成立的是(其中nm1,n,mZ)（）是偶数是奇数D适当时可以试着使用特殊值法高考真题再现3333345154434151617172081.B.C.CCCCACCCDC练习：（虹口 模）（）B333
36、3334515451mm-1mnnn+1343533341564551.CC.CCCCCCCCCCCCC活用公式高考真题再现高考真题再现8189362880P P【点评】本题看似是捆绑问题，需要注意的是，另外捆绑后会使问题简化。n nn nn nr rr rn nr rn n1 1n n1 1n nn n0 0n nn nb bC Cb ba aC Cb ba aC Ca aC Cb b)(a a二项式定理二项式定理1 知识梳理知识梳理（1）二项式定理）二项式定理：n n),2 2,1 1,0 0(r rb ba aC CT Tr rr rn nr rn n1 1r r其通项是其通项是 555
37、156baCTTnn知知4求求1，如：，如：nnnnrrnrnrnnnnnbCbaCbaCaCba11110 NnNnnnnrrnnnnxCxCxCCx101特别地：特别地：Nn（2）二项展开式系数的性质：对称性）二项展开式系数的性质：对称性,在二项展开式中，与首末两端在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两项的二项式系数相等，的两项的二项式系数相等，其中，其中，是是二项式系数。二项式系数。而而系数是字母前的常数。n nn nr rn n2 2n n1 1n n0 0n n、C C、C C、C C、C CC C,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC即：即：增减性与最大值
38、：在二项式展开式中，二项式系增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数数先增后减先增后减，且，且。如果二项式的。如果二项式的幂指数是幂指数是偶数偶数，中间一项的二项式系数最大，即，中间一项的二项式系数最大，即n n偶数：偶数：如果如果二项式的幂指数是奇数二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系，中间两项的二项式系数相等并且最大，即。数相等并且最大，即。2max12nrnnnCCT1211212121maxnnnnnnrnTTCCC所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于 即即奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数
39、和相等，即相等，即n2nnnnnCCC210131202nnnnnCCCC（3 3）二项式定理的应用：近似计算和估计、）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式证不等式,如证明：如证明：Nnnnn,322nn112取取的展开式中的四项即可。的展开式中的四项即可。2重点难点:二项式定理和二项展开式的性质。3思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。4特别注意特别注意:二项式的展开式共有二项式的展开式共有n+1n+1项，项，是第是第r+1r+1项。项。rrnrnbaC通项是通项是 （r=0,1,2,n）中）中含有含有 五个元素，只要知道其中四个五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。即可求第
40、五个元素。1rTrrnrnbaC注意二项式系数与某一项系数的异同。注意二项式系数与某一项系数的异同。当当n n不是很大，不是很大，|x|x|比较小时可以用展开式的比较小时可以用展开式的前几项求前几项求 的近似值。的近似值。nx)1(rnbaTr,1一、求通项-高考真题再现10470Tx=-n n),2 2,1 1,0 0(r rb ba aC CT Tr rr rn nr rn n1 1r r【点评点评】33 343 116nTTC ab知知4求求1，如：，如：61092xx练习：(卢湾 模)二项式的展开式中的常数项为_.36kk6 kkk266k46613C x()C x6k0k42xCC1
41、5一、求通项-高考真题再现1072(05)(xa)x15a例：上海 在的展开式中，的系数是，则实数=_.33101C(a)15a=-2二项式系数公式牢固掌握二项式系数公式牢固掌握一、求通项-高考真题再现14【点评】本题的问题在于求解写准确，解简单的，再求数列的前N项和的极限。一、求通项-高考真题再现1【点评】本题的陷阱你躲开了吗？注意：按照二项展开式应该是x的降幂排列，而，所以系数应该是倒向排列的，或者直接干差顺序，进而求解得到a的取值，赋值x=1，得到结果。二、求二项系数和系数的关系-高考真题再现2或14【点评】结合等差数列做解，你排除2的情况了吗？注意这里求得是参数a，而不是n的范围。二、
42、求二项系数和系数的关系-高考真题再现6二、求二项系数和系数的关系-高考真题再现572477xx或【点评】本题考查二项式系数的二项式系数的 增减性与最值，增减性与最值，并结合等比数列倍数来考查，注意解答。三、二项系数的单调性和最值-高考真题再现34433535x yx y或-【点评】本题考查二项式系数的二项式系数的 增减性与最值，增减性与最值，奇数次应该有偶数项，中间两项绝对值最大奇数次应该有偶数项，中间两项绝对值最大。三、二项系数的单调性和最值-高考真题再现2004四、赋值法求和-高考真题再现B【点评】本题用，注意符号的变化，小心，这是做这类题的关键！四、赋值法求和-高考真题再现2005年11月7日7时33分
