1、2.1 认识一元二次方程第二章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 一元二次方程 义务教育教科书义务教育教科书(BS)(BS)九上九上数学课件课件1.了解一元二次方程的概念;（重点）2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a,b,c为常数,a0）.（重点）3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型.（难点）学习目标导入新课导入新课复习引入没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8924xx-518代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元
2、一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么叫一元二次方程呢？一元二次方程的相关概念一问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗（列出方程即可）？解：如果设所求的宽为 x m,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：(8-2x)(5-2x)xx(8 2x)xx(5 2x)(8-2x)（5-2x）=18.化简：化简：2x2-13x+11=0.该
3、方程中未知数的个数和最高次数各是多少？问题2：观察下面等式：102+112+122=132+142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：,.根据题意，可得方程：x+1x+2x+3x+4x2+(x+1)2+(x+2)2 =(x+3)2+(x+4)2.化简得，化简得，x2-8x-200.该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙m.如果设梯子底端滑动x m,那么滑动后梯子底端距墙 m,根据题意，可得方程：问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端
4、距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？6x+672+(x+6)2 =102.化简得，化简得，x2+12 x-15=0.10m8m1mxm该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？2x2-13x+11=0；x2-8x-200；x2+12 x-15=0.1.只含有一个未知数;2.未知数的最高次数是2;3.整式方程 讲授新课讲授新课观察与思考方程、都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.ax2
5、+bx+c=0(a,b,c为常数,a0)ax2 称为二次项,a 称为二次项系数.bx 称为一次项,b 称为一次项系数.c 称为常数项.知识要点u一元二次方程的概念一元二次方程的概念 u一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？当 a=0 时bxc=0 当 a 0，b=0时，ax2c=0 当 a 0，c=0时，ax2bx=0 当 a 0，b=c=0时，ax2=0 总结：只要满足a 0，b，c 可以为任意实数.练一练1.关于x的方程(k-3)x2+2x-1=0,当k 时,是一元二次方程2.关于x的方程(k2-1)x2
6、+2(k-1)x+2k+2=0,当k 时,是一元二次方程.当k 时,是一元一次方程31=-1典例精析222221A.0B.350C.(1)(2)0D.0 xxxyyxxxaxbxc例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0少了限制条件a0提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x=2x2(2)(a1)x a +1 2x7=0解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a2)x2x=0,所以当a20，即a2时，原方程是一元二次方程；(2)由
7、 a +1=2，且a1 0知，当a=1时，原方程是一元二次方程.方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值 例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意1.下列方程哪些是一元二次方程?为什么?(1)7x2-6x=0 (2)2x2-5xy
8、+6y=0 (3)(4)(5)x2+2x-3=1+x201312xx022y方程中同时出现x、y两个未知数非整式方程化简后是一元一次方程当堂练习当堂练习2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2-5x+1=0 x2+x-8=03-5 111-87x2-4=070-43.如图,有一块矩形铁皮,长19cm,宽15cm在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是81 cm2,那么铁皮各角应切去多大
9、的正方形？列出方程，并将其化为一般式.解：设需要剪去的小正方形边长为 x cm,则纸盒底面的长方形的长为（19-2x）cm,宽为（15-2x）cm.依题意得：(19-2x)(15-2x)=81.x2-17x+51=0(一般式一般式).xcmxcm一元二次方程 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2bxc0(a,b,c为常数,a0)的形式.概念 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0 ax2 称为二次项,a 称为二次项系数.bx 称为一次项,b 称为一次项系数 c 称为常数项.课堂小结课堂小结一般式见本课时练习课后作业课后作业2.1 认识一元二次方程第二章 一元二次方程导入新课
10、讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 一元二次方程的解及其估算 义务教育教科书义务教育教科书(BS)(BS)九上九上数学课件课件1.理解方程的解的概念.2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)3.会估算一元二次方程的解.（难点）学习目标一元二次方程有哪些特点？一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的特点：只含有一个未知数;未知数的最高次项系数是2;整式方程一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0)导入新课导入新课一元二次方程的根一一元二次方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.下面哪些数是方程 x2 x 6=
11、0 的解?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了吗？一元二次方程你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根可能不止一个根.概念学习练一练 例1：已知a是方程 x2+2x2=0 的一个实数根,求 2a2+4a +2017的值.解：由题意得2220aa 即222aa 2242017aa 2 220172021 22(2)2017aa 方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值一元二次方程解的估算二例2：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程2x2-13x+11
12、=0，你能求出这个宽度吗？对于方程2x2-13x+11=0.（1）x可能小于0吗?说说你的理由（2）x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.（3）完成下表：（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流1150-4-7x00.511.522x2-13x+11例3：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程x2+12 x-15=0.10m8m1mxm你能猜出滑动距离x的大致范围吗？下面是小亮的求解过程：x0 0.5 11.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513可知x取值的大致范围是:1x1.5.进一步计算：所以1.1x1.2,由此他猜测x整数
13、部分是1,十分位部分是1x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：在未知数x的取值范围内排除一部分取值;根据题意所列的具体情况再次进行排除;对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想归纳总结1.请求出一元二次方程 x2-2x-1=0的正数根（精确到0.1）.解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,由上表可发现，当2x3时,-1 x2-2x-1 2；x0123x2-2x-1-1-2-12当堂练习当堂练习（2）继续列表,依次取x=2.1
14、,2.2,2.3,2.4,2.5,由表可发现，当2.4x2.5时,-0.04 x2-2x-1 0.25;（3）取x=2.45,则x2-2x-10.1025.2.4x2.45,x2.4.x2.22.32.42.5x2-2x-1-0.79-0.31-0.040.252.根据题意,列出方程,并估算方程的解：一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为x m,则长为(x+2)m,根据题意得：x (x+2)=120.即 x2+2x-120=0.根据题意,x的取值范围大致是0 x 11.解方程 x2+2x-120=0.完成下表(在0 x 11这个范围内取值计算,逐
15、步逼近):xx2+2x 120 8 9 10 11-40 -21 0 23120m2(x+2)mxm所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a 的值.解：由题意得把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=094a 4a=-9拓广探索 4.已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)一个根为1,求 a+b+c的值.解：由题意得2110abc 0abc 即即思考：（1）若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?解：由题意得2110abc 即即0abc 方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根是1.x=2（2）若 a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根吗?解一元二次方程（“两边夹”方法）确定其解的大致范围列表、计算进行两边“夹逼”求得近似解课堂小结课堂小结见本课时练习课后作业课后作业
