1、2.3 用公式法求解一元二次方程第二章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 用公式法求解一元二次方程 义务教育教科书义务教育教科书(BS)(BS)九上九上数学课件课件学习目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.（重点）3.会用根的判别式b2-4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用（难点）问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？基本步骤如下：将二次项系数化为1.将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项.两边都加上一次项系数一半的平方.直接用开平方法求出它的解.导入新课导入新课做一做：你能用配方法解方程 ax2+bx+c=
2、0(a0)吗?一元二次方程求根公式的推导过程一解：二次项系数化为1，得 x2+x+=0.配方，得 x2 +x+（）2-（）2 -=0,移项，得 （x+）2 =abacabab2ab2acab2.2244aacb 问题1：接下来能用直接开平方解吗？讲授新课讲授新课问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？（x+）2 0,4a2 0.当 b2-4ac 0 时,不能开方(负数没有平方根).当 b2 4ac 0 时,左右两边都是非负数.可以开方,得 x+=x=ab2ab2.2244aacb.aacbb242 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
3、对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),当 b2-4ac 0时，aacbbx242 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解.归纳用公式法解一元二次方程二例1：解方程 （1）x2-7x 18=0.解：这里 a=1,b=-7,c=-18.b2-4ac=(-7)2-41（-18）=121 0,即即 x1=9 x2=-2.2117121217x典例精析（2）4x2+1=4x 解：将原方程化为一般形式,得 4x2-4-4x+1=0.这里a=4,b=-4,c=1.b2-4ac=(-4)2-441=0,即 x1
4、=x2=.)(214204x.21例例2 解方程：解方程：4x2-3x+2=0224,3,2.4(3)4 4 2932230.abcbac 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：解：要点归纳公式法解方程的步骤 1.变形:化已知方程为一般形式;2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算:b2-4ac的值;4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式求出;若b2-4ac 0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0,有两个不相等的实数根.(2)=(-1)2 422=-15 0,即 x1=-9,x2=2.7121711.2 12x
5、 当堂练习当堂练习2.解方程（x-2)(1-3x)=6.解：去括号，得 x 2-3x2+6x=6,化简为一般式 3x2-7x+8=0,这里 a=3,b=-7,c=8.b2-4ac=(-7)2 4 3 8=4996=-47 0,即 x1=x2=33.4333x333.234.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况.解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0.所以=b24ac=（5）2-4（-8）1=570.所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根.这里a=5,b=-8,c=1，能力提升：在等腰ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两
6、个相等的实数根，求ABC 的周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以=b24ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；所以ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.课堂小结课堂小结公式法求 根公 式步 骤一化（一般形式）；一化（一般形式）；二定（系数值）；二定（系数值）；三求（三求（值）；值）；四判（方程根的情况）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）五代（求根公式
7、计算）.242bbacxa根的判别式b2-4ac务必将方程化务必将方程化为一般形式为一般形式见本课时练习课后作业课后作业2.3 用公式法求解一元二次方程第二章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 利用一元二次方程解决面积问题 义务教育教科书义务教育教科书(BS)(BS)九上九上数学课件课件1.能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.（重点、难点）2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.（难点）学习目标问题1：解一元二次方程我们学过哪几种方法？直接开平方法,配方法,公式法.问题2：请某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平
8、行，另外两条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_.导入新课导入新课CBDA(30-2x)(20-x)=678利用一元二次方程解决面积问题一问题：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.16m12m想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？讲授新课讲授新课解：设小路的宽为 xm,根据题意得：即 x2 -14x+24=0.解方程得 x1=2 ,x2=12.将x=12 代入方程中不符合题意舍去.答：小路的宽为2m.小明设计：如右图所示.其
9、中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,得到小路的宽为2m或12m.16m12m问题：你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？.21216212216xxxx解：设扇形半径为 xm,根据题意得：即 x2=96.解方程得 x1=,x2=(舍去),答：扇形半径约为5.5m.小亮设计：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？5596.212162x 9616m12m 小颖设计：如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？16m12mxmxm解：设小路的宽为 xm,根据题意得：即 x2 -28x+9
10、6=0.解方程得 x1=4 ,x2=24,将x=24 代入方程中不符合题意舍去 答：小路的宽为4m.212161216xx 例1 要设计一本书的封面,封面长27,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）27cm21cm典例精析 分析:这本书的长宽之比 ：正中央的矩形长宽之比 ：，上下边衬与左右边衬之比 ：.9 79 727cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：11(27 9):(21 7)22aa9 79(3):7(
11、3)9:7.aa27cm21cm 解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得3(27 18)(21 14)27 21,4xx解方程得63 3.4x故上下边衬的宽度为:63 391.8,4故左右边衬的宽度为:63 371.4.4方程的哪个根合乎实际意义?为什么?答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为:1.4cm.试一试 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm。依题意得27cm21cm39727 21,4xx解得 223 33 322xx，（舍去）.故上下边衬的宽度为:3 327 927 954 27 321.
12、8.224x 3 321 721 742 21 321.4.224x 故左右边衬的宽度为:（1）主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.方法点拨例2：如图,在一块长为 92m,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为(9
13、2 2x)m,宽(60-x)m.解：设水渠的宽应挖 x m.(92-2x)（60-x）=6885.解得 x1=105(舍去），x2=1.注意：结果应符合实际意义 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%.那么金边的宽应是多少？解：设金边的宽为 x cm,根据题意得:(90+2x)(40+2x)72%=9040.即 x2+65x-350=0.解方程
14、,得 x1=5,x2=-70(舍去).答:金边的宽应是5cm.当堂练习当堂练习2.某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.(1)养鸡场的面积能达到180m2吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.25m180m2解:设养鸡场的长为xm,根据题意得:即 x2-40 x+360=0.解方程,得 x1=x2=(舍去),答：鸡场的为（）m满足条件.x3.如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得（20-x)(32-x)=540，整理得 x2-52x+100=0，解得 x1=50(舍去），x2=2.答：道路宽为2米.图1图2课堂小结课堂小结利用一元二次方程解决面积问题几何图形常见几何图形面积是等量关系.类 型花坛面积问题相框宽度问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程见本课时练习课后作业课后作业
