1、4.4 4.4 函数的极值与最大、最小值函数的极值与最大、最小值一、极值一、极值恒有恒有对于这邻域内的任何点对于这邻域内的任何点的一个邻域的一个邻域点点，若存在，若存在内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数,),(,),()(000 xxxbaxbaxf1、定义：、定义：极大值极大值;)()(,)()(的一个极大值的一个极大值是是称称成立成立）（xfxfxfxf00 1的一个极小值。的一个极小值。是是称称成立成立）（)()(,)()(xfxfxfxf002极值是局部概念oxyab1x2x3x4x5x)(xfy )(),(21xfxf极小值极小值)(),(),(543xfxfxf统称为统称为极
2、值极值。是极值点是极值点54321xxxxx,是是驻驻点点或或者者不不可可导导点点。件件是是是是函函数数极极值值点点的的必必要要条条00 xx:例如例如,3xy ,是驻点是驻点0 x但但不不是是极极值值点点。；点点可可导导，一一定定有有在在、0)(100 xfxxf)()点不可导。点不可导。在在0 2xxf)()由费马定理的证明过程可知：由费马定理的证明过程可知：点取得极值，则有点取得极值，则有在在若若 0 xxf)(3231113)(,/xyxy,是不可导点是不可导点1x但但也也不不是是极极值值点点。2 2、极值的必要条件、极值的必要条件xyoxyo0 x0 x时时若若 100),()xxx
3、;0)(xf,)(0 xf的的极极大大值值点点。是是则则)(xfx0时时),(00 xxx时时若若 200),()xxx;0)(xf,)(0 xf的的极极小小值值点点。是是则则)(xfx0时时),(00 xxx增增减减增增减减3 3、极值的充分条件、极值的充分条件如：如：000122xxxxxf,),sin()(当当0 x时，时，)0()(fxf)1sin2(2xx 0 是是函函数数的的极极小小值值。)(0f但通过导数可看出：函数在但通过导数可看出：函数在0点的任何领域内都不单调。点的任何领域内都不单调。求极值步骤与求函数单调区间相同求极值步骤与求函数单调区间相同,只需增加极值计算。只需增加极
4、值计算。例例1 1、解：解：的的极极值值求求函函数数32223)()(xxxf333121221xxxxf)()(R函函数数定定义义域域是是233)(f极极小小值值 2(2)f极大值极大值)(xf)(xf),(3),(32，),(232 21xx,可疑点可疑点判定驻点是否极值点的特殊方法判定驻点是否极值点的特殊方法证：证：000 xxxfxfxx)(lim)(同号，同号，与与，据极限的保号性，据极限的保号性，若若 0 100 xxxfxf)()()(/;)(/00 xfxx时，时，当当同理可证同理可证(2)是是极极小小值值点点；0001xxf,)()(，则则有有处处二二阶阶可可导导，且且在在驻
5、驻点点定定理理：若若函函数数0 )(00)(xfxxf是是极极大大值值点点；0002xxf,)()(00)(/xf;)(/00 xfxx时，时，当当的的极极小小值值点点。是是函函数数)0 xfx(例例2 2、解解:.)(的极值的极值求函数求函数29323xxxxf9632xxxf)(,1321xx可疑点只有驻点可疑点只有驻点)(133xx,)(66 xxf0123)(f523)(f函数有极大值函数有极大值0121)(f71)(f函函数数有有极极小小值值注意注意:点点是是否否变变号号。在在方方法法失失效效，必必须须考考察察时时000 xxfxf)(,)(/4、极值小结、极值小结极值是函数的局部性
6、概念极值是函数的局部性概念:驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为可疑点可疑点：.极值点必定是可疑极值点必定是可疑点。点。判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)极大值可能小于极小值。极大值可能小于极小值。一、一、填空题：填空题：1 1、极值反映的是函数的极值反映的是函数的 _性质性质.2 2、若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导，则它在点可导，则它在点0 x处到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._.3 3、函 数函 数32)1(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _；31)1(23 xy的极值为的极值为_.
7、_.4 4、已知函数已知函数 0,10,)(3xxxxxfx当当_ x时，时，为极为极_ y小值；当小值；当时时_ x，为极为极_ y大值大值.练练 习习 题题 四（四（4）二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、xeyxcos；2 2、xxy1；3 3、方程方程02 yeyx所确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、0,00,21xxeyx.三、三、证明题：证明题：如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条件件032 acb，则函数无极值。则函数无极值。答案答案一、一、1 1、局部；、局部；2 2、0)(0 xf；3 3、(1,2),(1,2),无；无；4 4、1,0,)1(
8、,13eee;二、二、1 1、极大值、极大值 keky2422)24(,极小值极小值 ),2,1,0(22)12(4()12(4 kekyk；2 2、极大值、极大值eeey1)(；3 3、极小值、极小值1)0(y；4 4、极小值、极小值0)0(y.练习题四（练习题四（4）答案）答案二、最大值与最小值二、最大值与最小值oxyoxybaoxyabab1、函数的最大值（最小值）是在所考察的范围内所有函数值、函数的最大值（最小值）是在所考察的范围内所有函数值 中最大（最小）的一个，相应的自变量是最值点。中最大（最小）的一个，相应的自变量是最值点。2 2、求在、求在 a,b 上连续的函数的最值步骤上连续
9、的函数的最值步骤:1）求出函数在区间内的极值可疑点）求出函数在区间内的极值可疑点;2）计算区间端点及可疑点处函数值；）计算区间端点及可疑点处函数值；3）比较上述函数值的大小）比较上述函数值的大小,最大的一个就是最大值最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值。最小的一个就是最小值。注意注意：若函数在区间内只有一个极值：若函数在区间内只有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值oxybaoxyba3、应用举例、应用举例例例1 1、解：解：)1)(2(6)(xxxf上的最大值与最小值上的最大值与最小值在在求函数求函数,43123223xxxy,12 21xx可疑点可疑点计算计算93 )(f2
10、02 )(f71)(f1284)(f，最最大大值值1284)(f比较得比较得.)(71f最小值最小值例例2 2、某公司有某公司有50套住房要出租，当租金为套住房要出租，当租金为180元元/月时，住房月时，住房能全部租出租金每提高能全部租出租金每提高10元元/月时，就有一套住房租不月时，就有一套住房租不出去，而租出去的房子每月需花费出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？试问房租定为多少可获得最大收入？解：解：设房租为每月设房租为每月 x 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，1018050 x每月总收入每月总收入)()()(10
11、6820101805020 xxxxxR570101201068xxxxR)()(350 x唯唯一一的的可可疑疑点点是是驻驻点点函函数数有有极极大大值值，而而函函数数每月租金为每月租金为350元时收入最高，元时收入最高，最大收入最大收入)()(元元10890350 R051)(/xR思考题思考题 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)(af？思考题解答思考题解答结论不成立，结论不成立，因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点例：例：xxfy )(1,0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0(f一一、
12、填填空空题题：1 1、最最值值可可在在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _处处取取得得 2 2、函函数数2332xxy (41 x)的的最最大大值值为为_ _ _ _ _；最最小小值值为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、函函数数2100 xy 在在 0 0,8 8 上上的的最最大大值值为为_ _ _ _ _ _ _；最最小小值值为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.练练 习习 题四（题四（5）二二、求求函函数数xxy542 (0 x)的的最最值值 答案答案一一、1 1、区区间间端端点点及及极极值值点点；2 2、最最大大值值80)4(y,最最小小值值5)1(y；3 3、1 10 0,6 6 二二、3 x时时函函数数有有最最小小值值 2 27 7 练习题四（练习题四（5）答案）答案
