1、2023-5-151.1.设设 X1、X2是方程是方程X X2 24X+1=04X+1=0的两个根，则的两个根，则求求 X12+X22 的值的值 2已知方程 x2+kx-6=0的根是2，求它的另一根及k的值。思考：以上两题还有没有其他办法呢？思考：以上两题还有没有其他办法呢？课前热身2023-5-15观察猜想0,2 2 0 2,3 5 6 1,-4 -3 -4方程X2-2x=0X2-5x+6=0 x2+3x-4=0两个根x1，x2的值两根之和 x1+x2两根之积x1x22023-5-15的系数有何关系？的值与方程你能看出的值试求出为的两根设方程2121212121200 xxxxxxxxxxa
2、cbxax,.,)(猜想猜想2023-5-15 1212bxxacx xa 推理论证 02023-5-15设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，X2=aacbb242X2=aacbb242x1+x2=aacbb242+aacbb242=ab22=abaacbb242aacbb242x1x2=22224)4()(aacbb=244aac=acaacbb242则则x1=2023-5-15一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）韦达定理）acxxabxxxxacbxax=+=+2121212,)0(0则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212
3、120,则：，的两根为若方程特别地：推论推论1 12023-5-15一元二次方程的一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系 16世纪法国最杰出数学家韦达韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理韦达定理。数学原本只是韦达业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析方法使用。因此，他获得了“代数学之父代数学之父”之称。2023-5-15加深理解：下列方程的两根和与两根积各是多少？、X23X+1=0
4、 、3X22X=2、2 X2+3X=-2在使用根与系数的关系时，应注意：、不是一般式的要先化成一般式；、在使用X1+X2=时，注意“”不要漏写。（3）前提是方程有实数根即02023-5-15、典型例题、典型例题例题例题1：已知方程：已知方程 x22x1的两根为的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。不解方程，求下列各式的值。（1）（）（x1x2）2 （2）x13x2x1x23 （3）212112xxxx2023-5-15（1 1）已知方程一根，求另一根。）已知方程一根，求另一根。例：已知方程 x2+kx-6=0的根是2，求它的另一根及k的值。方法（一）2是方程 的根，原方程可化为 解得：
5、一元二次方程根与系数关系的应用2023-5-1512方法（二）设方程的一根为x=2,另一根为x，那么222k2 x 56x=-5例：已知方程 x2+kx-6=0的根是2，求它的另一根及k的值。7k 23解得 x5 7k3答：方程的另一根是，的值是。52023-5-15一元二次方程根与系数关系的应用（2）验根。（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。的两个根。；2023-5-15（3）求值(或取值范围）已知斜边为5的直角三角形的两直角边a,b的长是关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的两个根，求m的值.2023-5-15
6、能力提升：已知关于能力提升：已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根有两个实数根x1,x2.（1）求实数）求实数k的取值范围；的取值范围；（2）是否存在实数）是否存在实数k使得使得x1x2-x12-x220成立？成立？若存在，请求出若存在，请求出k的值；的值；若不存在，请说明理由。若不存在，请说明理由。2023-5-15课堂总结 一、一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。二、在实数范围内运用韦达定理，必须注意 ,这个前提条件,而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数 ，2023-5-15thanks2023-5-15
