1、案例案例6 6 估计水塔的水流量估计水塔的水流量问题问题一、问题分析一、问题分析建模目的：给出水从水塔流出的流量，并估计一天的总用水量 思思路路由数值决定在所给数据点处的水流量找出一个水从水塔流出水流量光滑拟合逼近处理水泵工作时的充水量及一天该镇总用水量，同时亦重建了水泵工作时所缺的数据二、假设与记号二、假设与记号1.影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对传统的 要求。因为附表只给出了某一天（实际是近26小时）水塔的水位数据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体说明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、水灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求 假
2、假设设2.水塔中水的水位不影响水流量的大小。据物理学的定律，水塔最大水流量是与水位的高度的平方根成正比的。针对表所给的数据，最大高度是35.50英尺，最小高度是27.00英尺，所以两个高度的最大水流量之比是，接近于1，所以我们假定水位不影响水流量，类似的，我们假定气候条件，温度变化大也不直接影响水流量 3.水泵工作起止时间由水塔的水位决定，我们总是假定水位27.00英尺时，水泵开始工作，直到水位升至大约35.50英尺时停止工作。每次充水时间约为两小时，水泵工作性能、效率总是一定的，不因使用次数多少而变化。水泵工作时不需要维修，也不中途停止工作。当然，水泵充水的水流量远大于水塔的水流量，以保证人
3、们对水的需求 4.表中水位数据取得的时间准确在1秒内 5.水塔的水流量与水泵状态独立，并不因为水泵工作而增加或减少水流量的大小 6.水塔的水流量曲线可以用一条光光滑的曲线来逼近。这时，在每一个数据点，水流量的两阶导数是连续的，因为水的消耗是基于社区公众一天的活动。如洗澡、做饭、洗衣服等，每一个使用者的要求与整个社区的要求相比是微不足道的，而整个社会的需求是不可能同时增加或减少的，由于水的消耗的自然性，可以设想水流量曲线是一条连续光滑的曲线 记记号号 t:时间，单位小时 h:水塔中水流高度，是时间的函数，单位为英尺 V:水塔中水的体积，单位加仑f:估计的水塔 水流量，单位加仑/小时 p:水泵工作
4、时充水的水流量，单位加仑/小时三、水流量与时间的关系三、水流量与时间的关系1.把附表数据化为时间与水体积关系把附表数据化为时间与水体积关系时 间（小时）水 体 积（加仑）时 间（小时）水体积（加仑）时 间（小时）水 体 积（加仑）00.92111.84312.94973.87144.97815.90007.00647.92868.96786061255937165830265715715625995520995440815339635253725148729.98110.925610.954212.032812.954413.875814.982215.903916.826117.9317水泵
5、工作水泵工作67771565767063953462235260459858932557500855878119.037519.959420.839222.015022.958123.880024.986925.9083542554528236514872水泵工作水泵工作6633976485066376252.水泵工作的起止时间水泵工作的起止时间第一次充水前的最后一个测量数据是32284秒（8.9678 小时）时水位26.97英尺，可见水泵在此不久开始充水。39332秒（10.9256小时）水泵工作仍在工作。39435秒（10.9542 小时）时水位35.50英尺。从而水泵在这两时刻之间停止工
6、作。第第一一次次充充水水水泵工作的时间为32284秒（8.9678 小时）；水泵结束时间为39435秒（10.9542小时）；充水时间约为1.9864小时第第二二次次充充水水水泵工作的时间为75021秒（20.8392 小时），水位26.97英尺水泵结束时间为82649秒（22.9581小时）,补充水位35.50英尺充水时间约为2.1189小时3.由由Viti关系产生水流量关系产生水流量 fiti的关系的关系注：亦可以由Viti关系拟合 V(t)，再求微商得到 f(t)或为了减少误差采用数值差分公式)(1288)(12112iiiiiiiittVVVVtff 关于水流量 fiiiiiiittV
7、Vtff 11)(11)(iiiiiittVVtff与)(243)(121iiiiiiittVVVtff 与)(243)(121 iiiiiiittVVVtff与时 间（小时）水 流 量（加仑/小时）时 间（小时）水 流 量（加仑/小时）时 间（小时）水 流 量（加仑/小时）00.92111.84312.94973.87144.97815.90007.00647.92868.967814405111801006311012879799928124101608488110189.98110.925610.954212.032812.954413.875814.982215.903916.8261
8、17.9317水泵工作水泵工作194692019618941159031805515646137411496219.037519.959420.839222.015022.958123.880024.986925.9083166531449614648水泵工作1522515264137089633水流量值（表3）四、用三次样条拟合四、用三次样条拟合 fi（f(t)拟合曲线拟合曲线 S(t)）S(t)为通过表3数据点的三次样条函数，具有端点 t0=0 和t24=25.9083,)()()()(1332210 iiiiiiiiiitttttattattaatS具有：在每一个节点ti 处，Si-1(
9、t)与Si(t)的函数值、一阶导数和二阶导数相等 )(6216)2)(1132111110iiiiiiiiiiiiiiiiiittMMaMaMMttttffafa 拟合水流量曲线五、对五、对水泵水泵 充水的两段时间水流量处理充水的两段时间水流量处理第一次充水，水塔的水体积之差162843514872677151 V加仑充水时间约为t1=1.9864小时第一次充水水泵平均水流量19542.109678.811)(tdttftVp =81979+15597=97576（加仑/小时）第二次充水，水塔的水体积之差（加加仑仑）1628432 V充水时间约为t2=2.1189小时第二次充水水泵平均水流量2
10、9581.228392.2021)(tdttftVp =76853+15057=91910（加仑/小时）两次充水水泵平均水流量)(2121ppp =94743（加仑/小时）五、一天总用水量五、一天总用水量一天总用水量 240)(dttf=333189（加仑）检验检验（加加仑仑）335116)(9211.249211.0 dttf（加加仑仑）336782)(8431.258431.1 dttf（加加仑仑）335329)(251 dttf（加加仑仑）336480)(5.255.1 dttf相差只约1%0，24区间内检验区间内检验第一次充水前总用水量V1=606125-514872=91253(加仑
11、）第一次充水后，第二次充水前总用水量V2=677715-514872=162843(加仑）第一次充水期间用水量（加加仑仑）30981)(9542.109678.8 dttf第二次充水期间用水量（加加仑仑）31905)(9581.228392.20 dttf22.9581,23.88期间用水量V3=677715-663397=14318(加仑）23.88,24期间用水量（加仑）1829)(2488.23dttf一天总用水量V1+V2+V3+30981+31905+1829=333129(加仑）240)(dttf与相差只有 0.02%)(tf计算充水期间以外的用水量检验计算充水期间以外的用水量检验
12、（加仑）89242)(9678.80dttf与V1相差只有 2.3%（加仑）165143)(8392.209542.10dttf与V2相差只有 1.4%说明拟合曲线是相当精确的六、误差分析六、误差分析一天一天总用总用水量水量24,8800.238800.239581.228392.209542.109678.8021VVVVVVVVVVpp用样条逼近的用水量其误差可用抽样计算得5.1%水体积的误差为0.5%一天一天总量总量误差误差212229581.222222224,88.2388.2328392.209542.1019678.80VVVVVVVVVVSSSSSSSSSSpp（加仑）7846VS约为一天总用水量的约为一天总用水量的2.4%
