1、随机信号分析（一）G随机变量（R.V.)复习n例1：上帝扔骰子n骰子有6个面，各面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，假设骰子均匀（即扔时每个面朝上的机会相同），则第n次扔骰子时我们记下其朝上面的点数为x(n)，此时nX(n)：取值集合为=1,2,3,4,5,6（即样本空间）X(n)的值无法事先确定随机（无法用确定性函数描述）但可以知道：x(n)出现各种值的机会是1/6。n序列x(1),x(2),x(n),构成一个随机序列随机变量的描述n概率空间n 样本空间所有样本的集合nF：所有 的子集n概率P：定义在F上的函数。满足可加性 即对于不相交的A1，A2F，有P(A1A2)=P(A1)+P(A
2、2)P()=1,P()=0,F P:0,1P F 概率分布n设X是一个随机变量，x为任意实数，函数F(x)=PXx，称为随机变量的分布函数。n概率密度n分布的微分dF(x)称为概率密度。n连续型随机变量n分布：n密度：n离散型随机变量n概率密度 F xPxX dF xp xdx1212.()().()nnxxxXp xp xp x随机变量的数值特征n数学期望nEX=xp(x)或 n方差 2n2 E(X-Ex)2nn阶矩 xp x dx nnniiiE Xx p x dxx p x常见的随机变量n1、高斯分布（正态分布）n概率密度22()221()2xp xe-6-4-2024600.10.20
3、.30.40.50.60.70.80.912,N 与高斯分布有关的函数nQ函数nErfc函数n两者之间关系（习题1）2212yxQ xedyxzdzexerfc22)()2(21)(xerfcxQ2、瑞利分布n概率密度2222()xxp xe012345600.20.40.60.811.21.41.61.822232222200()()xxE xx p x dxedx2222200()()2xxE xxp x dxedx(0)x 3、均匀分布n概率密度1()p xbabax,4、随机变量函数n若 ,且 是严格单调函数且可导。n则 yg x g x p y dyp x dx 11d gydxp
4、yp xp gydydy例2、n设x在 上均匀分布，且，求 。解：/2,/2 sinyg xAx p y221arcsin/,dxxy AdyAy 221p yAy,yA A 特征函数n定义（概率密度的反傅氏变换）jvxjvxjvE eep x dx 12jvxp xjv edv例3、*n设高斯随机变量X1 ，X2 ，求 的概率密度。20,N2,N a2212YXX随机过程n随机过程中每个时刻的取值是随机变量，即 是R.V.n如：扔骰子序列n随机过程的描述nn维联合分布nn维联合概率密度)(t1()tnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(.)(,)().,;.,(2211212112121
5、21212,.;,.,.;,.nnnnnnnFx xx t ttpx xx t ttx xx 随机过程的特征n数学期望n方差n自相关函数n自协方差函数1()(,)()Etxp x t dxm t12121 22121212(,)()()(,;,)R t tEttxx p x x t t dxdx 12112211222121212(,)()()()()()()(,;,)B t tEtmttmtxmtxmtp x x t t dxdx 2222221()()()()()(,)()()DtEtEtEtEtx p x t dxm ttn自协方差函数与自相关函数的关系)()(),(),(212121t
6、EtEttRttB两个随机过程n联合分布n互相关n互协方差 ,121 2121 21111,.,.;,.,.,.,;,.,nmnnmmnnmmFx xx t tt y yy t ttP X txX tx Y tyY ty 1212,XYRt tE X t Y t 1212,XYBt tE X tE X tY tE Y t平稳随机过程n严平稳n所谓平稳随机过程，即指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，即 n平稳随机过程的特点（证）n数学期望与时间t无关n方差与时间无关n自相关函数仅与时间差有关),.,;.,().,;.,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf广义
7、平稳过程n满足严平稳的3个性质的随机过程。n注：广义平稳未必严平稳。平稳随机过程自相关函数性质stER)()0(2)()(RR)0()(RR)()(2tER2)()0(RR随机过程的遍历性n统计平均等于时间平均。n任何一个样本实现都遍历了随机过程的各状态/2/21lim()TTTmx t dtmT2/2/222)(1limTTTdttxT2/2/)()()(1lim)(TTTRdttxtxTR平稳随机过程的功率谱密度n定义n与自相关函数是一对傅氏变换对 22|limlimTTXTxEFFPETTdeRPj)()(高斯过程n定义njnkkkkjjjjknnnnaxaxBBBtttxxxf112/
8、1212/212121exp.21),.,;,.,()(kktEa22)(kkkatE1.1.121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(高斯过程的性质n1、如果广义平稳，则一定是严平稳。n2、过程中两点不相关，则独立。平稳过程经过线性系统n均值n自相关及其功率谱密度n互相关及其互谱密度()()()E y tE x th u du yxRRuv h u h v dudv 2|yxPfHfPf xyxxyxRRhPfHf Pf例：nX(t)与其Hilbert变换的互相关。n为x(t)的自相关的Hilbert变换。n解:x xxxxx vRE x tdvtvE x t x vRvtdvdvtvvtRtdtRt 随机过程经过Hilbert变换器n互相关等于输入自相关的Hilbert变换n若输入为实过程，互相关为奇函数n互相关为奇函数同一时刻，输入输出正交。n如果输入为高斯过程输出与输入独立（同一时刻）
