1、 1 / 45 人教版七年级下学期数学章节知识点人教版七年级下学期数学章节知识点精讲精析精讲精析 不等式与不等式组 9.1 不等式 3 知识框架 . 3 一、基础知识点 . 3 知识点 1 不等式及其解集 3 知识点 2 不等式的基本性质 4 二、典型题型 . 5 题型 1 不等式的概念 5 题型 2 根据数量关系列不等式. 5 题型 3 不等式的解（集） . 6 题型 4 不等式性质的运用 6 题型 5 实际问题与不等式 7 三、难点题型 . 8 题型 1 不等式性质的综合应用. 8 题型 2 用作差法比较大小 9 9.2 一元一次不等式 10 知识框架 . 10 一、基础知识点 . 10
2、知识点 1 一元一次不等式的解法. 10 知识点 2 列不等式解应用题 11 二、典型题型 . 13 题型 1 一元一次不等式的判定. 13 题型 2 解一元一次不等式 13 题型 3 列不等式，求取值范围. 14 题型 4 一元一次不等式的应用. 14 三、难点题型 . 16 题型 1 含参数的不等式 16 2 / 45 题型 2 不等式的整数解 16 题型 3 方程与不等式 17 题型 4 含绝对值的不等式 18 9.3 一元一次不等式组 19 知识框架 . 19 一、基础知识点 . 19 知识点 1 一元一次不等式组及解集的定义 . 19 知识点 2 一元一次不等式组解集的确定及解法 .
3、 19 知识点 3 双向不等式及解法 21 二、典型题型 . 23 题型 1 一元一次不等式组的判定. 23 题型 2 一元一次不等式组的解集. 23 题型 3 解一元一次不等式组 24 题型 4 一元一次不等式组的应用. 25 一、用不等式组解决实际问题 25 二、方案设计 . 26 三、最值问题 . 27 三、难点题型 . 29 题型 1 由不等式组确定字母的取值 . 29 题型 2 不等式组中的数学思想. 30 一、整体思想 . 30 二、数形结合 . 31 三、分类讨论 . 31 题型 3 不等式的应用 32 题型 4 不等式的综合 33 3 / 45 9.1 不等式不等式 知识框架知
4、识框架 基础知识点不等式及其解集 不等式的基本性质 典型题型 不等式的概念 根据数量关系列不等式 不等式的解（集） 不等式性质的运用 实际问题与不等式 难点题型不等式性质的综合应用 作差法比较大小 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 不等式及其解集不等式及其解集 1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。 常用不等符号有：、 2）不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个使不等式成立的未知数的值，都叫做这个不 等式的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 注：注：当未知数取某些值时，不等式左右两边（不等号）符号所表示的大小关系依旧成立，我们
5、就说 这个值使不等式成立。 一般情况下，不等式的解集是一个范围 不等式的解集必须包含不等式的所有解，不能少一个，同时也不能多一个。 3）在数轴上表示不等式： xa xa xa xa axb 注：注：在数轴上表示“” 、 “”时，用空心点表示，在数轴上表示“” 、 “”时，用实心点表示。 例例 1.用不等式表示： （1）a 与 1 的和是正数 4 / 45 （2）x 的1 2与 y 的 1 3的差是非负数 （3）x 的 2 倍与 1 的和大于 3 （4）a 的一半与 4 的差的绝对值不小于 a 【答案】见解析 【解析】 （1）a+10 （2）1 2 1 3 0 （3）2x+13 （4）|1 2
6、4| 例例 2.如图所示，用代数式表示的形式写出下列各数轴上所表示的不等式的解。 （1） （2） （3） 【答案】见解析 【解析】 （1）x1 （2）x2 （3）1x2 知识点知识点 2 不等式的基本性质不等式的基本性质 1）不等式与等式的性质对比： 等式性质 不等式性质 加减法 若 a=b，则 a 若 ab，则 a 乘除法 若 a=b，则 ac=bc a （ 0） 若 ab，且 a0，则 ac bc（ 0） a （ 0） 若 ab，且 ac，则 a c 5 / 45 注：注：不等式的性质需要与等式的性质共同理解记忆。 乘除法中，等式依旧成立；不等式若乘除数为负数时，不等式不要变号。其他性质，
7、等式与不等式 完全类似。 等式和不等式中，除数必须不能为 0；等式中乘法可以为 0，不等式依旧不能为 0。 例例 1.若 xy，则下列式子错误的是（ ） A.x3y3 B. 3x3y C.x+3y+3 D. 3 3 【答案】B 【解析】A 正确，不等式两边同时减一个数，不等号不变； B 错误，不等式两边同时乘一个负数，不等号要变号； C 正确，不等式两边同时加一个数，不等号不变； D 正确，不等式两边同时除一个正数，不等号不变。 6 / 45 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 不等式的不等式的概念概念 解题技巧：解题技巧：判断不等式，只需要抓住一点，即式子中含有不等符号。哪怕不等符号表示
8、的是错误的不等关 系，也是不等式，只是不成立的不等式。 例例 1.下列式子中，a+b=3；21；x5；2m+5mn0；2x+3y，不等式有： 【答案】、 【解析】判断是否是不等式，只需观察式子中是否有不等号 因此，、是不等式，其中是不等关系不成立的不等式 例例 2.写出 2 个含有 x 的不等式： 【答案】见解析 【解析】只要式子中含有不等符号，且包含 x 即可。如： x3；5x+20 等 题型题型 2 根据根据数量关系列不等式数量关系列不等式 解题技巧：解题技巧：常见不等式的基本语言有： x 是正数，即 x0；x 是负数，即 x0； x 是非正数，即 x0；x 是非负数，即 x0； x 大于
9、 y，即 xy0；x 小于 y，即 xy0； x 不大于 y，即 xy0；x 不小于 y，即 xy0； x、y 同号，即 xy0 或 0；x、y 异号，即 xy0 或 0（其中 x、y 均不为 0） x、y 都是正数，即 xy0 且 x+y0；x、y 都是负数，即 xy0 且 x+y0 例例 1.用不等式表示： （1）a 小于 b； （2）a 不小于 2； （3）x 是非负数； （4）x 的 5 倍不大于 3。 【答案】见解析 【解析】 （1）ab 7 / 45 （2）a2； （3）x0； （4）5x3 例例 2.用不等式表示： （1）a 的绝对值是非负数； （2）x 的 3 倍与 2 的差是
10、负数； （3）m、n 的平方和不小于 m 与 n 的积的 2 倍； （4）x 比 y 的 2 倍还大。 【答案】见解析 【解析】 （1）| 0； （2）3x20； （3）2+ 2 2 （4）x2y0 题型题型 3 不等式的解不等式的解（集）（集） 解题技巧：解题技巧：注意区分，不等式的解和解集是两个不同的概念。 解：只要 x 的值满足不等式，这个值就是不等式的解； 解集：必须是所有满足不等式的值的集合。 即解集通常是一个取值范围，解可以是单个的值，且不唯一。 求解集方法：按照不等式的性质，解不等式获得； 求解的方法：方法一：将结果代入不等式，若不等式成立，则这个值时不等式的解； 方法二：求解出
11、不等式的解集，若这个数再解集的范围内，则这个值是不等式的解。 例例 1.下列数值中，哪些是不等式 2x+39 的解？这个不等式的解集又是什么？ 4；2；0；3；3.01；4；6；100 【答案】3.01；4；6；100 时方程的解；方程的解集为：x3 【解析】解不等式：2x+39 解得：x3 这些数值中，在 x3 范围内的有：3.01；4；6；100，即这几个数就是方程的解 8 / 45 例例 2.在 0，1，2 中，是不等式 2x12 的解的是： 【答案】2 【解析】用方法二确定不等式的解 将 0 代入得：201=12 不成立，不是方程的解； 将 1 代入得：211=12 不成立，不是方程的
12、解； 将 2 代入得：221=32 成立，是方程的解 例例 3.下列判断正确的有： x5 是不等式 x+48 的解集；不等式 x+45 有一个正整数解；x=2 是不等式 x+12 的解集；不等式 x+34 的解有无数个；x0 是不等式 x+43 的解集。 【答案】、 【解析】错误，解得不等式的解集为 x4，解集必须包含所有解，x5 不对； 正确，解得不等式的解集为 x1，正整数解有 x=1 一个； 错误，x=2 是不等式的解，但不是解集； 正确，不等式的解集为 x1，解集中包含无数个值； 错误，解得不等式的解集为 x1，而非 x0 题型题型 4 不等式不等式性质的运用性质的运用 解题技巧：解题
13、技巧：不等式的性质，需要和等式的性质一起理解。 ，基本类似。有 2 个地方需要着重注意：若不等 式两边同时乘或除负数，则不等号需要变号；不等号两边同乘 0，不等式不再成立；同除 0，无意义。 例例 1.判断正误： （1）若 ab，则 ac2bc2 （2）若 ac2bc2，则 ab （3）若 abc，则 a （4）若 a-ba，则 b0 （5）若 ab0，则 a0，b0. 【答案】 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 【解析】 （1）错误，当 c=0 时不成立 9 / 45 （2）正确 （3）错误，当 b0 时不成立 （4）错误，b0 （5）错误，a0，b0 也成立 例例 2.用等号
14、填空 （1）若 ab，c 为任意数，则 ac bc； （2）若 ab，c0，则 ac bc； （3）若 ab，c0，则 ac bc； （4）若 ab，c0，则 a+c b+c 【答案】 （1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 （1）等式两边同减一个数，不等号不变，为“” ； （2）等式两边同乘一个正数，不等号不变，为“” ； （3）等式两边同乘一个负数，不等号变号，为“” ； （4）等式两边同加一个数，不等号不变，为“” 题型题型 5 实际实际问题与不等式问题与不等式 解题技巧：解题技巧：利用不等式解决简单的应用题，需要我们从题干中提取不等关系，然后列写不等式。方法与方 程的应用类似，
15、围绕提取出的不等关系设未知数和列不等式，完成应用题。 例例 1.导火线的燃烧速度是 0.5cm/s，爆破员点燃后跑开的速度是 5m/s，为了点火后能跑到 130m 外的安全地 带，问导火线的长度应该大于多少？ 【答案】13cm 【解析】根据题意，有不等关系式：导火线燃烧时间爆破员跑到安全地带时间 设导火线的长度为 xcm 根据不等关系有： 0.5 130 5 解得：x13 例例 2.铁路部门规定旅客免费携带行李的长宽高之和不能超过 160cm，某厂家生产符合规定的行李箱，已知 行李箱的高为 30cm，长与宽之比为 3:2，求该行李箱长度最大值。 10 / 45 【答案】78cm 【解析】根据题
16、意，不等关系式为：长+宽+高160 设长为 3xcm，则宽为 2xcm 根据不等关系式得：3x+2x+30160 解得：x26 长最大为：263=78cm 11 / 45 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 不等式性质的综合应用不等式性质的综合应用 解题技巧：解题技巧：不等式性质的应用中，主要考察特殊情况：不等号两边同乘（除）一个负数时，要变号。在求 解含有字母的不等式时，先按照普通不等式进行求解。当遇到乘除变换时，则需要考虑正负，从而考虑变 号的问题。 例例 1.如果关于 x 的方程2: 3 4: 5 的解不是负值，求 a 与 b 的关系。 【答案】a3 5 【解析】2x:a 3 4x:
17、b 5 5（2x+a）=3（4x+b） 10x+5a=12x+3b 5a3b=2x x=5;3 2 方程的解不是负数，5;3 2 0 即 5a-3b0，5a3b，a3 5 例例 2.如果（a+1）xa+1 的解集是 x1，求 a 的取值范围。 【答案】a1 【解析】不等式（a+1）xa+1 根据不等式的性质，不等式两边同时除（a+1） 假设：a+10，则不等式变为：x1，不成立 假设：a+10，则不等式需要变号，x1，成立 a+10 解得：a1 例例 3.已知关于 x 的不等式， （2ab）x+a5b0 的解集是 x10 7 ，求 ax+b0 的解集。 【答案】x3 5 12 / 45 【解析
18、】 （2ab）x+a5b0 （2ab）x5ba 因为 x10 7 ，所以（2ab）0 不等式解为：x5; 2; 所以5; 2;= 10 7 ，化简为：a=5 3 则 2ab=7 3 0，所以 b0，a0 ax+b0 axb x ，即 x 3 5 题型题型 2 用作差法比较大小用作差法比较大小 解题技巧：解题技巧：两个数的大小可以通过它们的差来判断。若两个数 a 和 b 比较大小，则： 当 ab 时，一定有 ab0；当 a=b 时，一定有 ab=0,；当 ab 时，一定有 ab0 反之：若 ab0，则 ab； 若 ab=0，则 a=b； 若有 ab0 则 ab 时 因此，我们经常把两个要比较的对
19、象先数量化，再求它们的差，根据差的正、负来判断对象的大小。 例例 1.比较4+ 22+ 1与4+ 2+ 1的大小。 【答案】见解析 【解析】用作差法比较 4+ 22+ 1 （4+ 2+ 1）=2 情况一：当 x=0 时，则2 0，则4+ 22+ 1 4+ 2+ 1 情况二：当 x0 时，则20，则4+ 22+ 14+ 2+ 1 例例 2.设 xy，比较（810x）与（810y）的大小。如果较大的代数式为正数，则使这个代数式为正 数的 x 的最小整数是多少？ 【答案】（810x）（810y） ，最小值 x=1 13 / 45 【解析】用作差法比较 （810x）（810y） =8+10x+810y
20、 =10（xy） xy 10（xy）0 （810x）（810y） 要使（810x）为正数，则（810x）0 解得：x4 5 x 的最小整数为 1 14 / 45 9.2 一元一次不等式一元一次不等式 知识框架知识框架 基础知识点一元一次不等式的解法 列不等式解应用题 典型题型 一元一次不等式的判定 解一元一次不等式 列不等式，求取值范围 一元一次不等式的应用 难点题型 含参数的不等式 不等式的整数解 方程与不等式 含绝对值的不等式 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 一元一次不等式一元一次不等式的解法的解法 1）一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式 2）解一
21、元一次不等式：利用不等式的性质，将不等式最终转换为 xa（xa）或 x3 （1）7x-82x+7 【答案】 （1）x1 （2）x3 【解析】 （1）5-2x3 2x2 x1 （2）7x-82x+7 7x2x7+8 5x15 x3 知识点知识点 2 列列不等式解应用题不等式解应用题 16 / 45 1）不等式的应用题，与等式应用题类似，主要思路为： a.根据题意，列写不等关系式； b.设未知数，使之方便表示不等关系式； c.根据不等关系，列写不等关系式； d.解不等式求解问题。 例例 1.班级篮球赛，胜一场 3 分，平一场 1 分，负一场 0 分。某班 28 场比赛要想至少得 43 分，那么他们
22、最 少要胜多少场？ 【答案】8 【解析】根据题意，不等关系式为：胜场分数+平场分数43 分 要计算最少胜利多场，则除了胜利的场数外，其余都为平局。设胜 x 场，则负（28x）场。 根据不等关系式得：3x+（28x）43 解得：x15 2 胜场为整数 至少要胜利 8 场 例例 2.某商品的进价是 500 元，标价为 750 元，商店要求以利润率不低于 5%的售价打折出售。售货员最低可 以打几折？ 【答案】8 【解析】根据题意，不等关系为：售价;进价 进价 5% 设打 x 折 根据不等关系式得： 750 10;500 500 5% 解得：x7 最低可以打 7 折 17 / 45 二、典型题型二、典
23、型题型 题型题型 1 一元一次不等式的判定一元一次不等式的判定 解题技巧：解题技巧：一元一次不等式需同时满足 3 个条件：1 个未知数（一元） ，且未知数前面的系数不为 0； 未知数的次数为 1（一次） ，且是整数（未知数不能出现在字母中） ；含有不等符号 例例 1.下列不等式中是一元一次不等式的是（ ） A.x+1=0 B.x+y1 C.x0 D.2 10 【答案】C 【解析】A 错误，没有不等符号，不是一元一次不等式； B 错误，含有 2 个未知数，不是一元一次不等式； C 正确，1 个未知数，次数为 1，含有不等符号； D 错误，未知数次数为 2 例例 2.若2:1 10时关于 x 的一
24、元一次不等式，求 m 的值。 【答案】m=0 【解析】不等式时一元一次不等式 不等式中，未知数 x 的次数为 1，即 2m+1=1 解得：m=0 题型题型 2 解一元一次不等式解一元一次不等式 解题技巧：解题技巧：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，主要步骤有：去分母、去括号、移项、合 并同类项和系数化为 1。这些步骤中，不等式乘除负数时需要变号，这是唯一一点与解一元一次方程不同地 方，其余地方完全相同。还需要注意的点：移项要变号；去分母需要所有项都乘最小公倍数；去括 号，若括号前有系数，括号中每一项都要乘系数；若括号前时负号，括号中每一项都要变号。 例例 1.解下列不等式。 （1）
25、3（x+1）2（1x） （2）4（x2）5（x+1）6 【答案】 （1）x1 5 （2）x7 【解析】 （1）3（x+1）2（1x） 3x+322x 18 / 45 3x+2x23 5x1 x1 5 （2）4（x2）5（x+1）6 4x85x+56 4x5x56+8 x7 x7 例例 2.解下列不等式。 （1）:2 2 ;1 6 1 （2）2;5 6 3:2 4 2 【答案】 （1）x1 2 （2）x8 5 【解析】 （1）:2 2 ;1 6 1 3（x+2）（x1）6 3x+6x+16 2x661 2x1 x1 2 （2）2;5 6 3:2 4 2 2（2x5）3（3x+2）24 4x109
26、x+624 4x9x624+10 5x8 x8 5 19 / 45 题型题型 3 列不等式，求取值范围列不等式，求取值范围 解题技巧：解题技巧：该类题型，先按照题意，写出不等式；再通过求解不等式得到取值范围。 例例 1.当 x 时，x4 的值大于1 2 + 4的值。 【答案】16 【解析】x4 的值大于1 2 + 4的值 不等式为：x41 2 + 4 解得：x16 例例 2.若代数式 1;1 3 的值不大于:1 2 的值，求 x 的取值范围。 【答案】x1 【解析】代数式 1;1 3 的值不大于:1 2 的值 1;1 3 :1 2 解得：x1 题型题型 4 一元一次不等式的应用一元一次不等式的
27、应用 解题技巧：解题技巧：建议对应用题解答不熟悉者，严格按照应用题的 3 步走： 根据题意，列写等量（不等）关系式； 以等量（不等）关系表达方便为原则，设未知数； 根据等量（不等）关系式，列方程解决问题 读者按照此步骤，独立完成几道题目后，即能培养出解应用题能力，后续可跳过步骤 1. 例例 1.小明用 100 元钱购得笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 2 元，每只钢笔 5 元，那么小明最多能买 多少只钢笔？ 【答案】13 只 【解析】根据题意，不等关系式为：钢笔的费用+笔记本的费用100 元 设能够购买 x 只钢笔，则笔记本可以购买（30x）本 根据不等关系式，方程为：5x+2（30x
28、）100 解得：x131 3 20 / 45 最多可以买 13 只钢笔 例例 2.某工人加工 300 个零件， 若每小时加工 50 个就可以按时完成； 但他加工 2 小时候， 因事停工 40 分钟。 那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时至少要加工多少个零件？ 【答案】60 个 【解析】根据题意，不等关系式为：前 2 小时生产的零件+停工后生产的零件300 个 设后面的每小时加工 x 个零件 原计划时间为：300 50 6（时） 40 分=2 3时 停工后还剩时间为：622 3 10 3 时 根据不等关系，方程为：502+10 3 300 解得：x60 后面的时间每小时至少要加工
29、 60 个零件 21 / 45 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 含参数的不等式含参数的不等式 解题技巧：解题技巧：在不等式中，未知数含有参数时，将参数当作常数进行求解，但是需注意分类讨论（不等式乘 除变换时的正负性） 。 例例 1.解关于 x 的不等式：a2(x-3)5a-6 x5a;6 4 因为两个不等式同解，所以 a0 x a 2 x 2 x 0 x + 1 3 1 （5）2x87x + 2 2x2+2，x2 1 2x 1 7 3 2x x2173x 4x19，x19 4 根据数轴得：2x19 4 （3） x 2 2(x + 3) 11 3x 2 + 2(x+ 3) 3 x 2 2
30、(x+ 3) 11 X 2 2 3 11 3X 2 14，x 28 3 3x 2 + 2(x + 3) 3 3x 2 + 2 + 6 3 7x 2 3，x 6 7 28 / 45 根据数轴得：x 6 7 知识点知识点 3 双向双向不等式及解法不等式及解法 1）方法一（通用方法） ：a.将双向不等式化为多个不等式（1 个双向不等式可以化为 2 个不等式） ；b. 按照不等式组的步骤求解。 2）方法二：双向不等式中，仅当中间项有未知数，两边项无未知数时，可以直接将双向不等式按照普 通不等式，根据不等式的性质进行化简求解。具体见例 1（2） 。 例例 1.解不等式： （1）2x;8 3 7;x 2 c，求 a，b，c 【答案】a=6，b=3，c=2 【解析】因为 abc0，且都为整数 所以 a3，b2，c1 所以 A=1 a+ 1 b+ 1 c 1 1+ 1 2+ 1 3，得 0A 11 6 ，则 A=1 第一种情况：若 c=1，则1 + 1 0，不符合题意 第二种情况：若 c3，则 a5，b4，则算得 A1，不成立 因此，c=2，则1 + 1 1 2 当 b=3 时，a=6 成立 当 b4 时，易知不成立
