1、 1 / 42 人教版七年级下学期数学章节知识点人教版七年级下学期数学章节知识点精讲精析精讲精析 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 3 知识框架 . 3 一、基础知识点 . 3 知识点 1 二元一次方程和二元一次方程组 . 3 知识点 2 二元一次方程的解和二元一次方程组的解 . 4 二、典型题型 . 5 题型 1 二元一次方程（组）的概念和判断 . 5 题型 2 二元一次方程组的简单应用 . 6 三、难点题型 . 7 题型 1 运用方程组的解的定义. 7 题型 2 方程组解的个数 7 8.2 消元-解二元一次方程组 . 9 知识框架 . 9 一、基础知识点 . 9 知识点 1 代入消元
2、法 9 知识点 2 加减消元法 10 二、典型题型 . 12 题型 1 代入消元法和加减消元法比较 . 12 题型 2 先化简系数再消元 12 题型 3 整体消元法 13 一、整体代入消元法 . 13 二、整体加减消元法 . 14 三、整体换元法 . 15 三、难点题型 . 17 题型 1 二元一次方程组同解 17 题型 2 运用错解求正解 17 题型 3 含绝对值的方程组 18 题型 4 求二元一次不定方程的整数解 . 19 8.3 实际问题与二元一次方程组 22 知识框架 . 22 一、基础知识点 . 22 知识点 1 列方程组解应用题步骤. 22 知识点 2 分析数量关系的常用方法 .
3、23 二、典型题型 . 24 题型 1 和、差、倍、分问题 24 题型 2 工程问题 24 题型 3 行程问题 25 题型 4 配套问题 26 2 / 42 题型 5 年龄问题 26 题型 6 利润问题 27 题型 7 方案问题 27 题型 8 规律问题 28 题型 9 图表问题 29 三、难点题型 . 31 题型 1 分类讨论 31 题型 2 设辅助元问题 32 8.4 三元一次方程组的解法 34 知识框架 . 34 一、基础知识点 . 34 知识点 1 三元一次方程组的概念. 34 知识点 2 解三元一次方程组的方法和步骤 . 34 知识点 3 特殊方程组的解法 35 二、典型题型 . 3
4、7 题型 1 解三元一次方程组 37 题型 2 “元多组少”问题 38 题型 3 三元一次方程组的应用. 39 三、难点题型 . 41 题型 1 利用方程组中未知数间关系 . 41 题型 2 连比式 41 3 / 42 8.1 二元一次方程组二元一次方程组 知识框架知识框架 基础知识点二元一次方程和二元一次方程组 二元一次方程的解和二元一次方程组的解 典型题型二元一次方程（组）的概念和判断 二元一次方程组的简单应用 难点题型运用方程组的解的定义 方程组解的个数 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 二元一次方程和二元一次方程组二元一次方程和二元一次方程组 1）二元一次方程：含有两个未
5、知数，且 所含未知数的次数项的次数都是 1 的方程。 注：注：所有未知数项的次数必须是 1 例：x 1 = 0，不是 2x3xy=2，不是 2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。 注：注：在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量。 二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。 例： = 1 2 = 3 = 6 ，是 2 1 = 0 + = 1 ，是 3）判断二元一次方程组的方法： 方程组中是否一共有两个未知数 含未知数的项的次数是否都是 1 是否含有多个方程组成 例例 1.判断下列方程是否为二元一次方程 （1）3a+ 2 2=12； （2）2
6、x+y5= 2 9； （3）mn（2n+4）=1 （4）+x=6 【答案】 （3）是二元一次方程 【解析】 （1）不是二元一次方程，因为 2 2不是整式 （2）不是二元一次方程，因为2的次数为 2 （3）是二元一次方程，因为有 2 个未知数，且次数为 1 的整式方程 （4）不是二元一次方程，因为只有 1 个未知数 例例 2.判断下列方程组是否为二元一次方程组 （1）2 + 3 = 4 2 3 = 2； （2） + = 8 = 2 ； （3） = 1 2 = 3 = 6 ； （4） + 1 = 1 = 2 【答案】 （3）是二元一次方程组 【解析】 （1）不是二元一次方程组，因为有 3 个未知数
7、 （2）不是二元一次方程组，因为的次数为 2 4 / 42 （3）是二元一次方程组，因为有 2 个未知数，次数为 1，且有多个方程组成 （4）不是二元一次方程组，因为1 不是整式 知识点知识点 2 二元一次方程的解和二元一次方程组的解二元一次方程的解和二元一次方程组的解 1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 例：x+y=10 （1，9） ， （2，8） ， （3，7）等 2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。 例： + = 5 2 + = 7的解为： = 2 = 3 3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都
8、成立，则为方程组的解； 若有方程不成立，则不是方程的解。 注：注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。 例例 1.已知二元一次方程 3x+2y=6，请写出 3 组方程的解。 【答案】见解析 【解析】 = 0 = 3、 x = 2 = 0、 = 4 = 3 例例 2.判断下列各组数是不是二元一次方程组 2a b = 5 3a + b = 10的解 （1）a = 7 b = 7 （2）a = 3 b = 1 【答案】 （2）是方程组的解 【解析】将 a、b 的值带入方程组，得（2）是方程组的解 例例 3.用二元一次方程（组）表示下列数量关系： （1）甲数的相反数加上乙数的 0.4
9、倍，和是 8； （2）甲、乙两数的差是 5，且甲数比乙数的一半大 5. 【答案】见解析 【解析】 （1）设甲数为 x，乙数为 y，则x+0.4y=8 （2）设甲数为 x，乙数为 y， = 5 1 2 = 5 5 / 42 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 二元一次方程（组）的概念和判断二元一次方程（组）的概念和判断 解题技巧：解题技巧：二元一次方程的判断主要注意以下几点： 含有 2 个未知数，即未知数前的系数不为 0； 未知数的次数为 1 二元一次方程组的判断需要注意以下几点： 方程组中是否一共有两个未知数 含未知数的项的次数是否都是 1 是否含有多个方程组成 例例 1.下列方程中是二元
10、一次方程的是： A.xy-5=1 B.3x+1 =2 C. 2+1 3 = 4y D.x=1 2y 【答案】D 【解析】A 错误，xy 是二次； B 错误，1 中 y 不是一次； C 错误，2是二次； D 正确 例例 2.下列方程组中是二元一次方程组的是： A. + 2 = 1 + = 3 B. 2 3 = 11 3 + 2 = 1 C. ; 4 + : 5 = 1 4 : 9 ; 3 = 1 2 D. 7 = 3 = 2 【答案】C 【解析】A 错误，含有三个未知数； B 错误，2 不是一次； C 正确，含有 2 个未知数，次数都为 1，且有多个方程； D 错误，xy 为二次 例例 3.若方
11、程 2x2m+3+3y5n-9是关于 x，y 的二元一次方程，求2+ 2的值。 【答案】5 【解析】2x2m+3+3y5n-9是关于 x，y 的二元一次方程 x、y 的次数都为 1，即： 2 + 3 = 1 5 9 = 1 解得：m=1，n=2 2+ 2= 5 例例 4.已知关于 x，y 的方程（k2-1）x2+（k+1）x+（k-7）y=k+2. （1）当 k 取什么值时，该方程为一元一次方程。 （2）当 k 取什么值时，该方程为二元一次方程？ 【答案】 （1）k=1 6 / 42 （2）k=1 【解析】 （1）方程为一元一次方程 方程只含有 1 个未知数，且次数为 1 情况一：方程是关于
12、x 的一元一次方程 2 1 = 0 + 1 0 7 = 0 ，无解 情况二：方程是关于 y 的一元一次方程 2 1 = 0 + 1 = 0 7 0 ，解得：k=1 （2）方程是二元一次方程 方程含有 x、y 两个未知数，且次数为 1，系数不为 0 2 1 = 0 + 1 0 7 0 ，解得：k=1 题型题型 2 二元一次方程组的简单应用二元一次方程组的简单应用 解题技巧：解题技巧：根据题干找出等量关系式，二元一次方程组的应用中，一般有 2 个（3 个）并列的等量关系式； 再根据等量关系式设未知数；最后列写方程。 例例 1.小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯。小锦买了 20 支中性笔和
13、2 盒笔芯，用了 56 元；小 丽买了 2 支中性笔和 3 盒笔芯，仅用了 28 元。根据题意，列写方程组。 【答案】见解析 【解析】根据题意，等量关系式为：中性笔费用+笔芯费用=总费用 设：1 支中性笔 x 元，1 盒笔芯 y 元 根据等量关系式，方程为：20 + 2 = 56 2 + 3 = 28 例例 2.某中学组织七年级学生春游，原计划租用 45 座的客车若干辆，但有 15 人没有座位；若租用同样数量 的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。试问七年级人数是多少？原计划租用 45 座的客车多 少量（只列方程组）？ 【答案】见解析 【解析】根据题意，等量关系式为：45 座客车
14、人数+没有座位人数=总人数 60座客车人数多出一车人数=总人数 设七年级有 x 人，计划租 y 辆 45 座的车 根据等量关系式，方程为：45 + 15 = 60 60 = 7 / 42 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 运用方程组的解的定义运用方程组的解的定义 解题技巧：解题技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中 x，y 之间的特征。 例例 1.已知 = 1 = 2和 = 2 = 4都是二元一次方程的解，请写出一个二元一次方程。 【答案】2x=y 【解析】提高中告知了 2 组方程的解 方程不止一个解，即有无数解 一定是一个二元一次方程，而非方程组 观察解的规律，发现 y 的值时
15、x 的 2 倍 可以写二元一次方程：y=2x 例例 2.已知 = 2 = 1是方程组 2 + ( 1) = 2 + = 1 的解，求 m、n 的值。 【答案】 = 1 = 0 【解析】将 = 2 = 1代入方程 2 + ( 1) = 2 + = 1 中得 4 + ( 1) = 2 2 + 1 = 1 解得： = 1 = 0 题型题型 2 方程组解的个数方程组解的个数 解题技巧：解题技巧：对于二元一次方程组a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 (1)当a1 a2 b1 b2时，方程和方程是两个不同的方程，方程有唯一解 (2)当a1 a2 = b1 b2 = c1 c2时，方
16、程和方程是同一个方程，方程有无数解 (3)当a1 a2 = b1 b2 c1 c2时，可转化为： a1x + b1y = c1 a1x + b1y = c2，两个方程互相矛盾，方程无解 例例 1. ax + 2y = 1 + a 2x + 2（a 1）y = 3，求方程组的解。 【答案】见解析 【解析】根据结论可得： （1）当a 2 2 2(a;1)时，即 a 1 且 a 2 时，方程有唯一解。 （2）当 2 = 2 2(;1) = 1: 3 时，即 a=2 时，方程有无数解。 8 / 42 （3）当 2 = 2 2(;1) 1: 3 时，即 a=-1 时，方程无解 例例 2.已知方程组3x
17、+ my = 5 x + ny = 4 ，无解，m、m 的绝对值小于 10 的整数，求 m、n 的值。 【答案】见解析 【解析】方程无解，3 1 = 5 4 3n=m m=1 2 3 0 -1 -2 -3 n=3 6 9 0 -3 -6 -9 例例 3.判断下列方程组有多少个解： （1） x + y + z = 3 2x + 2y + z = 5 z = 1 （2）x + 2y = 4 + x 2x + 2y = 8 【答案】 （1）无数解 （2）唯一解 【解析】 （1）将 z=1 代入方程，可化简为二元一次方程组 x + y + 1 = 3 2x + 2y + 1 = 5 化简得： x +
18、y = 2 2x + 2y = 4 1 2 = 1 2 = 2 4 方程有无数解 （2）化简方程得： 2y = 4 2x + 2y = 8 0 2 2 2 方程有唯一解 9 / 42 8.2 消元消元-解二元一次方程组解二元一次方程组 知识框架知识框架 基础知识点代入消元法 加减消元法 典型题型 代入消元法和加减消元法比较 先化简系数再消元 整体消元法 整体代入消元法 整体加减消元法 整体换元法 难点题型 二元一次方程组同解 运用错解求正解 含绝对值的方程组 求二元一次不定方程的整数解 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 代入消元法代入消元法 1）代入消元法：把二元一次方程组中一个
19、方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入 另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。 2）代入消元法的步骤： 在方程组中选取一个系数比较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一 个未知数； 将这个关系式代入另一个方程， 消去一个未知数， 转换为一元一次方程， 并求解该一元一次方程。 利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。 例例 1.用代入消元法解方程 （1） x y = 5 3x 2y = 10 （2）2x + y = 13 7x + y = 3 【答案】 （1） x = 0 y = 5 （2）x = 2 y
20、= 17 【解析】 （1） x y = 5， 3x 2y = 10， 由x=5+y，代入得 3（5+y）-2y=10 15+3y-2y=10 y=5 x=0 （2）2x + y = 13， 7x + y = 3， 10 / 42 由得 y=13-2x，代入得： 7x+13-2x=3 x=2 y=17 例例 2.解方程组: 2 3 = 3 + 2 = 2 【答案】 x = 0 y = 1 【解析】2x 3y = 3， x + 2y = 2， 由x=22y，代入得 2（22y）3y=3 47y=3 y=1 x=0 知识点知识点 2 加减消元法加减消元法 1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便
21、求解的一元一次方程 2）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相 加或相减，消去一个未知数的方法。 注：注：当两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系时，将某一个方程扩大相应倍数，使两个方程 中某个未知数的系数相同或相反，然后再利用加减消元法。 若两个方程中两个未知数的系数不相等且不成倍数关系时，则应选取一组系数，求出其对应最 小公倍数，对方程组变形（系数变形成对应最小公倍数） ，再利用加减消元法。 （此种情况，加减消元法与 代入消元法难易程度差不多，随意选取） 。 3）加减消元法步骤： 确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式； 将两个方
22、程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解； 将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。 例例 1.用加减消元法解方程 （1） x y = 5 3x y = 10 （2） 8x + 9y = 73 17x 3y = 74 （3） 4x + 3y = 3 3x 2y = 15 【答案】 （1） x = 5 2 = 15 2 （2） x = 5 = 11 3 （3） x = 3 = 12 【解析】 （1） x y = 5， 3x y = 10， -得：2x=5 11 / 42 x=5 2 y= 15 2 （2） 8x + 9y = 73， 17x 3y = 7
23、4， +3得：59x=295 x=5 y=11 3 （3） 4x + 3y = 3， 3x 2y = 15， 2+3 得： 17x=51 x=3 y=12 例例 2.解方程组: 2 3 = 3 + 2 = 2 【答案】 x = 0 y = 1 【解析】2x 3y = 3， x + 2y = 2， 由2得 7y=3 y=1 x=0 12 / 42 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 代入消元法和加减消元法比较代入消元法和加减消元法比较 解题技巧：解题技巧：代入消元法和加减消元法是 2 种基础的消元法，各有优劣： 1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时） ，用代入
24、消元法。 例： = 2 + 3 + 3 = 8 2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时） ，用加减消元 法。 例： 2 + 3 = 7 2 + 5 = 9 3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。 例： 3 + 2 = 7 4 4 = 4 2 3 = 3 + 4 = 4 例例 1.选择合适方法解方程 （1） = 2 + 3 + 3 = 8 （2） 2 + 3 = 7 2 + 5 = 9 （3） 3 + 2 = 7 4 4 = 4 【答案】 （1） = 5 = 1 （2） = 2 = 1 （3） = 1 = 2 【解析】（1） = 2 + 3, + 3 =
25、8， 将代入得：2y+3+3y=8 5y=5 y=1 x=5 （2）2 + 3 = 7， 2 + 5 = 9， 得：2y=2 y=1 x=2 （3） 3 + 2 = 7， 4 4 = 4， 2+得：6x+4x=144 x=1 y=2 题型题型 2 先化简系数再消元先化简系数再消元 13 / 42 解题技巧：解题技巧：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等） 。通常要 把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。 例例 1.解方程组： 3( + ) 4( ) = 4 : 2 + ; 6 = 1 【答案】 = 7 1
26、5 = 11 15 【解析】3( + ) 4( ) = 4 : 2 + ; 6 = 1 方程去括号得：3x+3y4x+4y=4，化简得：x+7y=4 方程去分母得：3（x+y）+（xy）=6，化简得：4x+2y=6 联立、得： + 7 = 4 4 + 2 = 6 利用加减消元法， 4 + 得：30y=22 解得：y=11 15，代入得：x= 7 15 例例 2.解方程组：4( 1) = 3(1 ) 2 2 + 3 = 2 【答案】 = 2 = 3 【解析】4( 1) = 3(1 ) 2 2 + 6 = 2 方程去括号得：4x4y4=33y2，化简得：4xy=5 方程去分母得：3x+2y=12
27、联立、得： 4 = 5 3 + 2 = 12 利用加减消元法， 2 + 得：11x=22 解得：x=2，代入得：y=3 题型题型 3 整体消元法整体消元法 整体消元法 整体代入消元法 整体加减消元法 整体换元法 一、整体代入消元法一、整体代入消元法 解题技巧：解题技巧：代入消元法常规作法是当未知数系数为1 时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体 入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特 征，从而实现消元。具体见下列实例： 14 / 42 例例 1.解方程： 2 = 2 + 2 2 + 3 = 3 【答案】 = 0 = 1 【解析】 2
28、 = 2 + 2 2 + 3 = 3 方程、都有“2x”这个部分，将“2x”视作一个整体，用代入消元法，将代入得: （2+2y）+3y=3 解得：y=1，代入得：x=0 例例 2.解方程： + = 2 2( + ) 3 = 10 【答案】 = 4 = 2 【解析】 + = 2 2（ + ） 3 = 10 方程、都有“x+y”这个部分，将“x+y”视作一个整体，用代入消元法，将代入得: 2 23y=10 解得：y=2，代入得：x=4 例例 3.解方程：2(3 1) = 3 + 3 3 1 = 2 【答案】 = 7 3 = 3 【解析】2(3 1) = 3 + 3 3 1 = 2 方程、都有“3x
29、1”这个部分，将“3x1”视作一个整体，用代入消元法，将代入得: 2 2y = 3 + 3y 解得：y=13，代入得： = 7 3 二、整体加减消元法二、整体加减消元法 解题技巧：解题技巧：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特 殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时 多积累尝试。 例例 1.解方程组：2012x 2013y = 1 2014x 2015y = 3 【答案】 = 2012 = 2011 15 / 42 【解析】2012x 2013y = 1， 2014x 2015y = 3， 两个
30、方程的系数有明显的特征，即：方程中字母前的系数比方程中字母前的系数都小 2，考虑用 整体消元法 得：2x2y=2 化简得：xy=1， 将2012-得：y=2011 x=2012 例例 2.解方程组：3 + 8 = 14 2 + 7 = 11 【答案】 = 2 = 1 【解析】3x + 8y = 14， 2x + 7y = 11， 两个方程的系数有明显的特征，即：方程中字母前的系数比方程中字母前的系数都大 1，考虑用 整体消元法 得：x+y=3， 将3得：5y=5 解得：y=1，代入得：x=2 三、整体换元法三、整体换元法 解题技巧：解题技巧：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方
31、程的方法 例例 1.用整体消元法解方程 （1） 1 2(x + y) 1 3(x y) = 1 1 3(x + y) 1 4(x y) = 1 （2） 2:3 4 + 2;3 3 = 7 2:3 3 + 2;3 2 = 8 【答案】 （1） = 9 = 3 （2） = 9 = 24 【解析】 （1） 1 2(x + y) 1 3(x y) = 1 1 3(x + y) 1 4(x y) = 1 设（x+y）=a， （x-y）=b 则方程变为： 1 2a 1 3b = 1， 1 3a 1 4b = 1， 6 得：3a2b=6， 12 得；4a3b=-12， 32 得：a=-6 b=12 16 /
32、 42 得： + = 6 = 12 解得：x=9 y=3 （2） 2:3 4 + 2;3 3 = 7， 2:3 3 + 2;3 2 = 8， 设（2x+3y）=a， （2x3y）=b，则： 4 + 3 = 7， 3 + 2 = 8， 12，6 去分母得 3 + 4 = 84 2 + 3 = 48 解得：a=60 b=24 因此 2 + 3 = 60 2 3 = 24 解得：x=9 y=24 17 / 42 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 二元一次方程组同解二元一次方程组同解 解题技巧：解题技巧：两种方法。 方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方
33、程中，组成 另一组方程。若 2 组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。 方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。 利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比较麻烦，若 2 组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方 法。 例例 1.关于、的方程2 + = 5 3 + 2 = 7 和 5 2 = 8 3 = 4有相同解，求 a、b。 【答案】 = 9 5 = 10 7 【解析】2 组方程组中都有一个不含参数的方程，用方法一解题比较简单 方程同解，3 + 2 = 7 5 2 = 8 同解 解得： = 1 = 2 = 1 = 2是方程 2 +
34、 = 5 3 = 4的解 代入得2 + 2 = 5 3 2 = 4 解得 = 9 5 = 10 7 例例 2.关于 x，y 的方程组 2 = 1 2 3 = 5和 4 + 5 = 1 2 + 3 = 12有相同解，求 a、b。 【答案】 = 3 = 2 【解析】2 组方程组中都有一个不含参数的方程，用方法一解题比较简单 方程同解，2 3 = 5 4 + 5 = 1 同解 解得： = 1 = 1 = 1 = 1 是方程 2 = 1 2 + 3 = 12的解 代入得 2 = 1 2 + 3 = 12 解得 = 3 = 2 题型题型 2 运用错解求正解运用错解求正解 18 / 42 解题技巧：解题技
35、巧：将方程中没错的部分挑选出来，得到参数的值；再把参数代入得到正确解。 例 甲、乙两人解方程ax + 5y = 13 4x by = 2 ，甲看错 a 得方程的解为 = 3 = 1，乙看错 b 得解为 = 5 = 4，求 a、b 及方程的解。 【答案】 = 20 = 41 5 【解析】甲未看错部分为： 4 = 2，代入解化简为：-12+b=-2，b=10 乙未看错部分为： + 5 = 13，代入解化简为：5a+20=13，a= 7 5 将 a，b 代入方程： 7 5 + 5 = 13 4 10 = 2 解得 = 20 = 41 5 例例 2. 甲、乙两人解方程 ax + by = 2 cx (
36、b + 2)y = 8 ，甲正确解为 x = 3 y = 2，乙看错 c 得解为 = 2 = 2 ，求 a、b 及求 乙将 c 错写成了多少。 【答案】 = 4 = 5 = 2 ；错写的 c 为11 【解析】甲为正确解，代入得： 3 2 = 2 3 + 2( + 2) = 8 乙未看错部分为： + = 2，代入解化简为：-2a+2b=2 转化为三元一次方程组： 3 2 = 2 3 + 2( + 2) = 8 2a + 2b = 2 ，解得方程 = 4 = 5 = 2 将 a、b 值代入得，错将 c 写成了：11 题型题型 3 含绝对值的方程组含绝对值的方程组 解题技巧：解题技巧：含绝对值的方程
37、，首先需要讨论绝对值符号内的代数式取值情况，脱去绝对值符号；再转化为 一般方程组进行求解。 注：注：去绝对值时，不要急于讨论，先观察题干，看能否找出一些正负关系。若能够直接观察出正负，则 会减少讨论的工作量。 例例 1.| | = + 2 | + | = + 2 【答案】 = 1 = 2 【解析】由得：x+y=| |+2 | | 0 x+y20 去绝对值为：x+y=x+2 解得：y=2 将 y=2 代入得：| 2|=x 情况一：当 x2 时，x-2=x，不成立（舍去） 19 / 42 情况二：当 x2 时，2-x=x，x=1 例例 2.2| + 2 + = 2 + | = 13 【答案】 =
38、17 9 = 50 9 【解析】需先去绝对值，分成 4 中情况进行讨论 情况一：当 x0，y0 时，得：4 + = 2 = 13 ，解得 = 13 = 50（舍） 情况二：当 x0，y0 时，得： 4 + = 2 2 = 13，解得 = 17 9 = 50 9 情况三：当 x0，y0 时，得： = 2 = 13，解得 = 13 = 2 ， （舍） 情况四：当 x0，y0 时，得： = 2 2 = 13，解得 = 17 = 2 （舍） 题型题型 4 求二元一次不定方程的整数解求二元一次不定方程的整数解 解题技巧：解题技巧：先求出特解，在根据方程形式写出同解，最后找出符合条件的整数解。 定理：定理
39、：如果 a，b 是互质的整数，c 是整数，且方程 ax+by=c 有一组整数解x0、0。那么次方程的一切整 数解可表示为：x = x0 bt y = y0+ at ，t 为整数 具体解题步骤：将方程变形，找出一组符合条件的整数解；根据定理表示出方程的所有整数解。 具体过程见例 1。 例例 1.求不定方程 11x+15y=7 的整数解 【答案】 x = 2 15t y = 1 + 11t，t 为整数 【解析】将方程变形得 x=7;15y 11 x，y 都是整数解 715y 是 11 的倍数 令y0= 1，则x0= 2 方程的整数解为 x = 2 15t y = 1 + 11t，t 为整数 例例
40、2.求方程组5x + 7y + 9z = 52 3x + 5y + 7z = 36的正整数解。 【答案】 x = 4 y = 2 z = 2 或 x = 3 y = 4 z = 1 【解析】53 得：y+2z=6 z=6;y 2 20 / 42 要使 z 为整数，则 y0= 2 z0= 2 x0= 4 y = 2 2t z = 2 + t x = 4 + t ，t 为整数 解为正整数 当 t=0 时， y = 2 z = 2 x = 4 ； t = 1 时， y = 4 z = 1 x = 3 例例 3.55 人去游园划船，小船每只坐 4 人，大船每只坐 7 人，要求正好坐满，问要租大船、小船
41、各多少只？ 【答案】大船 5 只，小船 5 只；或大船 1 只，小船 12 只。 【解析】设：小船 x 只，大船 y 只 则根据题意，方程为：4x+7y=55 x=55;7y 4 y0 = 5 x0= 5 x = 5 7t y = 5 + 4t，t 为整数 当 t=0 时，x = 5 y = 5 ； 当 t = 1 时，x = 12 y = 1 例例 4.2017 年某人的年龄恰好等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是多少？ 【答案】5 岁或 23 岁 【解析】 （1）设某人出生年份为 20xy 则：2017200010xy=2+0+x+y 化简得：11x+2y=15 将方程变形得 x
42、=15;2y 11 x，y 都是整数解 15-2y 是 11 的倍数 令y0= 2，则x0= 1 方程的整数解为 x = 1 2t y = 2 + 11t，t 为整数 当 t=0 时，年份为 2012，年龄为 5 岁 （2）设某人的出生年份为 19xy 则：2017190010xy=1+9+x+y 化简得：11x+2y=107 21 / 42 将方程变形得 x=107;2y 11 x，y 都是整数解 107-2y 是 11 的倍数 令y0= 48，则x0= 1 方程的整数解为 x = 1 + 2t y = 48 11t，t 为整数 当 t=4 时，年份为 1994，年龄为 23 岁。 22 /
43、 42 8.3 实际问题与二元一次方程组实际问题与二元一次方程组 知识框架知识框架 基础知识点列方程组解应用题步骤 分析数量关系的常用方法 典型题型 和、差、倍分问题 工程问题 行程问题 配套问题 年龄问题 利润问题 方案问题 规律问题 图表问题 难点题型分类讨论 设辅助元问题 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 列方程组解应用题步骤列方程组解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起 来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： 方程两边表示的是同类量； 同类量的单位要统一； 方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为： 读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式； 设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数； 列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程； 解答。 例例 1.课间活动，小英和小丽在操场上画出 A、B 两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在 A 区
