1、 1 / 22 人教版七年级下学期数学章节知识点人教版七年级下学期数学章节知识点精讲精析精讲精析 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 3 知识框架 . 3 一、基础知识点 . 3 知识点 1 二元一次方程和二元一次方程组 . 3 知识点 2 二元一次方程的解和二元一次方程组的解 . 3 二、典型题型 . 5 题型 1 二元一次方程（组）的概念和判断 . 5 题型 2 二元一次方程组的简单应用 . 5 三、难点题型 . 6 题型 1 运用方程组的解的定义. 6 题型 2 方程组解的个数 6 8.2 消元-解二元一次方程组 . 7 知识框架 . 7 一、基础知识点 . 7 知识点 1 代入消元
2、法 7 知识点 2 加减消元法 7 二、典型题型 . 9 题型 1 代入消元法和加减消元法比较 . 9 题型 2 先化简系数再消元 9 题型 3 整体消元法 9 一、整体代入消元法 . 9 二、整体加减消元法 . 10 三、整体换元法 . 10 三、难点题型 . 11 题型 1 二元一次方程组同解 11 题型 2 运用错解求正解 11 题型 3 含绝对值的方程组 11 题型 4 求二元一次不定方程的整数解 . 11 8.3 实际问题与二元一次方程组 13 知识框架 . 13 一、基础知识点 . 13 知识点 1 列方程组解应用题步骤. 13 知识点 2 分析数量关系的常用方法 . 13 二、典
3、型题型 . 15 题型 1 和、差、倍、分问题 15 题型 2 工程问题 15 题型 3 行程问题 15 题型 4 配套问题 15 2 / 22 题型 5 年龄问题 15 题型 6 利润问题 16 题型 7 方案问题 16 题型 8 规律问题 16 题型 9 图表问题 16 三、难点题型 . 18 题型 1 分类讨论 18 题型 2 设辅助元问题 18 8.4 三元一次方程组的解法 19 知识框架 . 19 一、基础知识点 . 19 知识点 1 三元一次方程组的概念. 19 知识点 2 解三元一次方程组的方法和步骤 . 19 知识点 3 特殊方程组的解法 19 二、典型题型 . 21 题型 1
4、 解三元一次方程组 21 题型 2 “元多组少”问题 21 题型 3 三元一次方程组的应用. 21 三、难点题型 . 22 题型 1 利用方程组中未知数间关系 . 22 题型 2 连比式 22 3 / 22 8.1 二元一次方程组二元一次方程组 知识框架知识框架 基础知识点二元一次方程和二元一次方程组 二元一次方程的解和二元一次方程组的解 典型题型二元一次方程（组）的概念和判断 二元一次方程组的简单应用 难点题型运用方程组的解的定义 方程组解的个数 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 二元一次方程和二元一次方程组二元一次方程和二元一次方程组 1）二元一次方程：含有两个未知数，且 所
5、含未知数的次数项的次数都是 1 的方程。 注：注：所有未知数项的次数必须是 1 例：x 1 = 0，不是 2x3xy=2，不是 2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。 注：注：在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量。 二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。 例： = 1 2 = 3 = 6 ，是 2 1 = 0 + = 1 ，是 3）判断二元一次方程组的方法： 方程组中是否一共有两个未知数 含未知数的项的次数是否都是 1 是否含有多个方程组成 例例 1.判断下列方程是否为二元一次方程 （1）3a+ 2 2=12； （2）2x+y5=
6、2 9； （3）mn（2n+4）=1 （4）+x=6 例例 2.判断下列方程组是否为二元一次方程组 （1）2 + 3 = 4 2 3 = 2； （2） + = 8 = 2 ； （3） = 1 2 = 3 = 6 ； （4） + 1 = 1 = 2 知识点知识点 2 二元一次方程的解和二元一次方程组的解二元一次方程的解和二元一次方程组的解 1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 例：x+y=10 （1，9） ， （2，8） ， （3，7）等 2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。 例： + = 5 2 + = 7的解为： = 2 = 3
7、3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解； 若有方程不成立，则不是方程的解。 4 / 22 注：注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。 例例 1.已知二元一次方程 3x+2y=6，请写出 3 组方程的解。 例例 2.判断下列各组数是不是二元一次方程组 2a b = 5 3a + b = 10的解 （1）a = 7 b = 7 （2）a = 3 b = 1 例例 3.用二元一次方程（组）表示下列数量关系： （1）甲数的相反数加上乙数的 0.4 倍，和是 8； （2）甲、乙两数的差是 5，且甲数比乙数的一半大 5. 5 / 22 二
8、、典型题型二、典型题型 题型题型 1 二元一次方程（组）的概念和判断二元一次方程（组）的概念和判断 解题技巧：解题技巧：二元一次方程的判断主要注意以下几点： 含有 2 个未知数，即未知数前的系数不为 0； 未知数的次数为 1 二元一次方程组的判断需要注意以下几点： 方程组中是否一共有两个未知数 含未知数的项的次数是否都是 1 是否含有多个方程组成 例例 1.下列方程中是二元一次方程的是： A.xy-5=1 B.3x+1 =2 C. 2+1 3 = 4y D.x=1 2y 例例 2.下列方程组中是二元一次方程组的是： A. + 2 = 1 + = 3 B. 2 3 = 11 3 + 2 = 1
9、C. ; 4 + : 5 = 1 4 : 9 ; 3 = 1 2 D. 7 = 3 = 2 例例 3.若方程 2x2m+3+3y5n-9是关于 x，y 的二元一次方程，求2+ 2的值。 例例 4.已知关于 x，y 的方程（k2-1）x2+（k+1）x+（k-7）y=k+2. （1）当 k 取什么值时，该方程为一元一次方程。 （2）当 k 取什么值时，该方程为二元一次方程？ 题型题型 2 二元一次方程组的简单应用二元一次方程组的简单应用 解题技巧：解题技巧：根据题干找出等量关系式，二元一次方程组的应用中，一般有 2 个（3 个）并列的等量关系式； 再根据等量关系式设未知数；最后列写方程。 例例
10、1.小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯。小锦买了 20 支中性笔和 2 盒笔芯，用了 56 元；小 丽买了 2 支中性笔和 3 盒笔芯，仅用了 28 元。根据题意，列写方程组。 例例 2.某中学组织七年级学生春游，原计划租用 45 座的客车若干辆，但有 15 人没有座位；若租用同样数量 的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。试问七年级人数是多少？原计划租用 45 座的客车多 少量（只列方程组）？ 6 / 22 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 运用方程组的解的定义运用方程组的解的定义 解题技巧：解题技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中 x，y 之间的特征。
11、例例 1.已知 = 1 = 2和 = 2 = 4都是二元一次方程的解，请写出一个二元一次方程。 例例 2.已知 = 2 = 1是方程组 2 + ( 1) = 2 + = 1 的解，求 m、n 的值。 题型题型 2 方程组解的个数方程组解的个数 解题技巧：解题技巧：对于二元一次方程组a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 (1)当a1 a2 b1 b2时，方程和方程是两个不同的方程，方程有唯一解 (2)当a1 a2 = b1 b2 = c1 c2时，方程和方程是同一个方程，方程有无数解 (3)当a1 a2 = b1 b2 c1 c2时，可转化为： a1x + b1y = c1
12、 a1x + b1y = c2，两个方程互相矛盾，方程无解 例例 1. ax + 2y = 1 + a 2x + 2（a 1）y = 3，求方程组的解。 例例 2.已知方程组3x + my = 5 x + ny = 4 ，无解，m、m 的绝对值小于 10 的整数，求 m、n 的值。 例例 3.判断下列方程组有多少个解： （1） x + y + z = 3 2x + 2y + z = 5 z = 1 （2）x + 2y = 4 + x 2x + 2y = 8 7 / 22 8.2 消元消元-解二元一次方程组解二元一次方程组 知识框架知识框架 基础知识点代入消元法 加减消元法 典型题型 代入消元法
13、和加减消元法比较 先化简系数再消元 整体消元法 整体代入消元法 整体加减消元法 整体换元法 难点题型 二元一次方程组同解 运用错解求正解 含绝对值的方程组 求二元一次不定方程的整数解 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 代入消元法代入消元法 1）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入 另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。 2）代入消元法的步骤： 在方程组中选取一个系数比较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一 个未知数； 将这个关系式代入另一个方程， 消去一个未知数， 转换为
14、一元一次方程， 并求解该一元一次方程。 利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。 例例 1.用代入消元法解方程 （1） x y = 5 3x 2y = 10 （2）2x + y = 13 7x + y = 3 例例 2.解方程组: 2 3 = 3 + 2 = 2 知识点知识点 2 加减消元法加减消元法 1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便求解的一元一次方程 2）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相 加或相减，消去一个未知数的方法。 注：注：当两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系时，将某一个方程扩大相应倍数，使两个方
15、程 中某个未知数的系数相同或相反，然后再利用加减消元法。 若两个方程中两个未知数的系数不相等且不成倍数关系时，则应选取一组系数，求出其对应最 小公倍数，对方程组变形（系数变形成对应最小公倍数） ，再利用加减消元法。 （此种情况，加减消元法与 代入消元法难易程度差不多，随意选取） 。 3）加减消元法步骤： 确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式； 8 / 22 将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解； 将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。 例例 1.用加减消元法解方程 （1） x y = 5 3x y = 10 （2） 8x +
16、9y = 73 17x 3y = 74 （3） 4x + 3y = 3 3x 2y = 15 例例 2.解方程组: 2 3 = 3 + 2 = 2 9 / 22 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 代入消元法和加减消元法比较代入消元法和加减消元法比较 解题技巧：解题技巧：代入消元法和加减消元法是 2 种基础的消元法，各有优劣： 1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时） ，用代入消元法。 例： = 2 + 3 + 3 = 8 2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时） ，用加减消元 法。 例： 2 + 3 = 7 2 + 5
17、= 9 3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。 例： 3 + 2 = 7 4 4 = 4 2 3 = 3 + 4 = 4 例例 1.选择合适方法解方程 （1） = 2 + 3 + 3 = 8 （2） 2 + 3 = 7 2 + 5 = 9 （3） 3 + 2 = 7 4 4 = 4 题型题型 2 先化简系数再消元先化简系数再消元 解题技巧：解题技巧：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等） 。通常要 把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。 例例 1.解方程组： 3( + ) 4( ) = 4 : 2 +
18、; 6 = 1 例例 2.解方程组：4( 1) = 3(1 ) 2 2 + 3 = 2 题型题型 3 整体消元法整体消元法 整体消元法 整体代入消元法 整体加减消元法 整体换元法 一、整体代入消元法一、整体代入消元法 解题技巧：解题技巧：代入消元法常规作法是当未知数系数为1 时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体 入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特 征，从而实现消元。具体见下列实例： 例例 1.解方程： 2 = 2 + 2 2 + 3 = 3 例例 2.解方程： + = 2 2( + ) 3 = 10 例例 3.解方程：2(3
19、1) = 3 + 3 3 1 = 2 10 / 22 二、整体加减消元法二、整体加减消元法 解题技巧：解题技巧：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加减消元法，会得到一个比较特 殊的式子，将这个式子和原来的式子在进行加减消元会比较容易。该方法技巧性比较强，读者需注意平时 多积累尝试。 例例 1.解方程组：2012x 2013y = 1 2014x 2015y = 3 例例 2.解方程组：3 + 8 = 14 2 + 7 = 11 三、整体换元法三、整体换元法 解题技巧：解题技巧：把某一部分看作一个整体进行消元，达到转化为一元一次方程的方法 例例 1.用整体消元法解方程 （1）
20、 1 2(x + y) 1 3(x y) = 1 1 3(x + y) 1 4(x y) = 1 （2） 2:3 4 + 2;3 3 = 7 2:3 3 + 2;3 2 = 8 11 / 22 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 二元一次方程组同解二元一次方程组同解 解题技巧：解题技巧：两种方法。 方法一：将不含参数的方程组组成新的方程组，求解方程的解；在将方程解代入含有参数方程中，组成 另一组方程。若 2 组方程组中，都存在无参数的方程，则该方法比较简单。 方法二：将参数看做常数，直接求解出方程组的解。因为两个方程组同解，所以所得含参数的解相同。 利用这个条件，再来求解参数。方法二相对比
21、较麻烦，若 2 组方程组中的方程都含有参数，则只能用该方 法。 例例 1.关于、y 的方程2 + = 5 3 + 2 = 7 和 5 2 = 8 3 = 4有相同解，求 a、b。 例例 2.关于 x，y 的方程组 2 = 1 2 3 = 5和 4 + 5 = 1 2 + 3 = 12有相同解，求 a、b。 题型题型 2 运用错解求正解运用错解求正解 解题技巧：解题技巧：将方程中没错的部分挑选出来，得到参数的值；再把参数代入得到正确解。 例 甲、乙两人解方程ax + 5y = 13 4x by = 2 ，甲看错 a 得方程的解为 = 3 = 1，乙看错 b 得解为 = 5 = 4，求 a、b 及
22、方程的解。 例例 2. 甲、乙两人解方程 ax + by = 2 cx (b + 2)y = 8 ，甲正确解为 x = 3 y = 2，乙看错 c 得解为 = 2 = 2 ，求 a、b 及求 乙将 c 错写成了多少。 题型题型 3 含绝对值的方程组含绝对值的方程组 解题技巧：解题技巧：含绝对值的方程，首先需要讨论绝对值符号内的代数式取值情况，脱去绝对值符号；再转化为 一般方程组进行求解。 注：注：去绝对值时，不要急于讨论，先观察题干，看能否找出一些正负关系。若能够直接观察出正负，则 会减少讨论的工作量。 例例 1.| | = + 2 | + | = + 2 例例 2.2| + 2 + = 2
23、+ | = 13 题型题型 4 求二元一次不定方程的整数解求二元一次不定方程的整数解 解题技巧：解题技巧：先求出特解，在根据方程形式写出同解，最后找出符合条件的整数解。 定理：定理：如果 a，b 是互质的整数，c 是整数，且方程 ax+by=c 有一组整数解x0、0。那么次方程的一切整 数解可表示为：x = x0 bt y = y0+ at ，t 为整数 具体解题步骤：将方程变形，找出一组符合条件的整数解；根据定理表示出方程的所有整数解。 具体过程见例 1。 例例 1.求不定方程 11x+15y=7 的整数解 12 / 22 例例 2.求方程组5x + 7y + 9z = 52 3x + 5y
24、 + 7z = 36的正整数解。 例例 3.55 人去游园划船，小船每只坐 4 人，大船每只坐 7 人，要求正好坐满，问要租大船、小船各多少只？ 例例 4.2017 年某人的年龄恰好等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是多少？ 13 / 22 8.3 实际问题与二元一次方程组实际问题与二元一次方程组 知识框架知识框架 基础知识点列方程组解应用题步骤 分析数量关系的常用方法 典型题型 和、差、倍分问题 工程问题 行程问题 配套问题 年龄问题 利润问题 方案问题 规律问题 图表问题 难点题型分类讨论 设辅助元问题 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 列方程组解应用题步骤列方程组
25、解应用题步骤 1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起 来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： 方程两边表示的是同类量； 同类量的单位要统一； 方程两边的数值要相等。 2）解应用题的一般步骤为： 读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式； 设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数； 列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程； 解答。 例例 1.课间活动，小英和小丽在操场上画出 A、B 两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在 A 区域所得分值与 落在 B 区域所得分值不同。其中，小英
26、3 次落在 A，1 次落在 B，得 34 分；小丽 2 次落在 A，2 次落在 B， 得 32 分。问 A、B 区域所得分值各是多少？ 知识点知识点 2 分析数量关系的常用方法分析数量关系的常用方法 1）译式法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有 未知数的等式。 例例 1. 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的 3 倍少 2，若将个位与十位数字调换位置后，所得的两 位数与原来两位数的和是 110，求这个两位数。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。 1
27、4 / 22 这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座” ，便于正确理解各数量之间的关系。 例例 2.超市以每支 4 元的价格购进 100 支钢笔，卖出时每支的标价为 6 元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以 9 折出售，卖完时超市盈利 188 元，其中打 9 折的钢笔有几支？ 15 / 22 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 和、差、倍、分问题和、差、倍、分问题 解题技巧：解题技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数” “多” “少”等关系。设相互比较的两个量分别为 x、y，根据倍 数关系列写等量关系式和方程。 例例 1.今年收入比去年提高 20%，今年人均收入比去年的 1.5 倍少 1200
28、 元，求去年的人均收入是多少？ 例例 2.把一根长 100cm 的木棍据成两段，使其中一段长比另一段的 2 倍少 5cm，求分成的两段木棍的长度。 题型题型 2 工程问题工程问题 解题技巧：解题技巧：工程问题中的公式（等量关系式）有：工程量=工作效率工作时间。工程问题，常是几个工程 队共同完成，因此等量关系式为：总工程量=甲工程队工程量+乙工程队工程量。 例例 1.某市为了缓解缺水问题，实施了一项引水工程，就是把 200 千米以外的一条大河的水引导城市来。把 这个工程交给了甲、乙两个施工队，工期为 50 天。两队合作 30 天后，乙对因另有任务需要离开 10 天，于 是甲队加快速度，每天多修
29、0.6 千米；乙回来后为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来 多修 0.4 千米，结果如期完成。问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？ 例例 2.小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两家装修公司合作需要 6 周完成；若甲公司单独做 4 周，剩下 的由乙公司来做，还需要 9 周完成。问：甲、乙两家单独做，各需多长时间？ 题型题型 3 行程问题行程问题 解题技巧：解题技巧：行程问题中，最主要的等量关系式为：速度时间=路程。 相遇问题：甲的路程+乙的路程=总路程； 追击问题：快的路程慢的路程=路程差 流水问题：顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速水速 例例 1.甲、 乙二人在一环形场地上
30、从 A 点同时同向匀速跑步， 甲的速度是乙的 2.5 倍， 4 分钟后两人首次相遇， 此时乙还需要跑 300 米才跑完第一圈。求甲乙的速度和跑道长度。 例例 2.从甲地到乙地航线长 1200 千米，飞机从甲飞往乙，需要 2.5 小时，从乙飞往甲，需要 2 小时。求飞机 速度和风速。 题型题型 4 配套问题配套问题 解题技巧：解题技巧：若 A、B 两种物品分别需要 a 个和 b 个才能构成一套，则等量关系式为：A 产品个数：B 产品个 数=a：b。往往，此类题型，会告知工人总数，则第二个等量关系式为：A 产品工人数+B 产品工人数=总工 人数。 例例 1.某种仪器由 1 个 A 部件和 1 个
31、B 部件配套构成。每个工人每天可以加工 A 部件 1000 个或加工 B 部件 600 个，现有工人 16 名，应该怎样安排人力，才能使每天生产的 A 部件和 B 部件配套。 例例 2.某车间有工人 68 人，平均每人每天可以加工大齿轮 8 个或小齿轮 10 个，又知一个大齿轮和三个小齿 轮配为一套，问应该如何安排劳力使生产的产品刚好配套？ 题型题型 5 年龄问题年龄问题 解题技巧：解题技巧：年龄问题中，列写等量关系式主要还是根据和差倍关系。年龄问题有一个特点需要注意：n 年前 （后） ，两个人的年龄是同时减少（增加）n 的。 16 / 22 例例 1.5 年前，母亲的年龄是儿子的 4 倍；1
32、1 年后，母亲的年龄是儿子的 2 倍，求母亲和儿子现在的年龄。 例例 2.5 年后，爷爷的年龄是孙子的 6 倍；3 年前，爷爷的年龄是孙子的 26 倍，求爷爷和孙子现在的年龄。 题型题型 6 利润问题利润问题 解题技巧：解题技巧：利润问题，常见的等量关系式有：利润=售价进价=进价利润率。 例例 1.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 40 元；按定价的八折出售该商品 5 件与将定价降低 30 元 销售该商品 3 件所获得利润相等，求该商品每件的进价和定价分别是多少元？ 例例 2.某商场以每件 x 元购进一种服装， 如果规定每件 y 元卖出， 平均每天卖出 15 件， 30 天共获利 225
33、00 元， 为了尽快收回资金，商场决定每件降价 20%卖出，结果平均每天比降价前多卖出 10 件，这样 30 天仍可获 利 22500 元，求 x，y。 题型题型 7 方案问题方案问题 解题技巧：解题技巧：往往有多种方案都是符合，注意在得出方案时，必须要符合实际（通常为正整数） 例例 1.张先生是集邮爱好者，他带一定数量的钱到邮市购买邮票，发现两种较为喜欢的纪念邮票，而值分别 是 10 元和 6 元。 （1）经盘算发现所带的钱全部用来买面值为 10 元的邮票，钱数正好不多不少。若全部钱用来买面值为 6 元的邮票可多买 6 张，但余下 4 元。你知道张先生带了多少钱吗？ （2）若张先生所带的钱全
34、部购进这两种邮票，有多少种方案？ 例例 2.某中学组织七年级同学参加校外活动，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座位；如果租用 同样数量的 60 座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。已知 45 座客车 60 座客车的日租金分别为 220 元/辆，300 元/辆。 （1）原计划租 45 座客车 x 辆，七年级有 y 人，则 y= （用含 x 的式子表示） （2）七年级学生有多少人？ （3）若同时租用两种型号的客车，且要使每个同学都有座位，每辆客车恰好坐满。设租 45 座客车 x 辆， 租 60 座客车 y 辆，有几种方案？ 题型题型 8 规律问题规律问题 解题技巧：解题技巧：
35、找出题目中的规律，再按照普通方程进行求解。 例例 1.如图，用火柴棍搭建正三角形和正方形，学生搭建正三角形和正方形共用了 176 根火柴，正三角形的 个数比正方形个数多 12 个，求搭建的正三角形和正方形的个数。 题型题型 9 图表问题图表问题 解题技巧：解题技巧：几何图形问题，需要根据图形的特点寻找等量关系式。 例例 1.如图，在长 10m、宽 8m 的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向割出三个相同的小长方形花圃， 求小长方形花圃的长和宽。 17 / 22 例例 2.某校开展贫困生帮扶募捐工作，该校七（1）班 40 人共捐款 500 元，捐款情况如下表。表格中 10 元和 15 元人数被
36、班长不小心刮破了看不到数据，请你根据相关信息帮助他求出 10 元和 15 元的人数各是多少？ 元 5 10 15 20 人数 6 7 例例 3.小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的花盆，如图，他把 3 个花盆叠在一起高度是 9cm，把 8 个花盆 叠在一起高度是 14cm。若把 100 个花盆叠在一起，它的高度是多少？ 18 / 22 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 分类讨论分类讨论 解题技巧：解题技巧：有些应用题，存在多种情况，需要分类讨论。 例例 1.某水果批发市场香蕉的价格如下表： 购买香蕉质量（kg） 不超过 20kg 20kg 以上但不超过 40kg 40kg 以上 价格（元/
37、kg） 6 5 4 张强两次共购买香蕉 50kg，共付款 264 元，请问他两次各买多少？ 例例 2.体彩经销商计划用 45000 元从省体彩中心购进彩票 20 扎，每扎 1000 张，已知体彩中心有 A、B、C 三 种不同价格的彩票，进价分别是 A 彩票每张 1.5 元，B 彩票每张 2 元，C 彩票每张 2.5 元。 （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票 20 扎，用去 45000 元，请你设计进票方案； （2）若销售 A 型彩票一张获手续费 0.2 元，B 型彩票一张手续费 0.3 元，C 型彩票一张获手续费 0.5 元， 在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪
38、种进票方案？ （3）若经销商准备用 45000 元同时购进 A、B、C 三种彩票 20 扎，请你设计进票方案。 题型题型 2 设辅助元问题设辅助元问题 解题技巧：解题技巧：在一些复杂的实际问题中，出现的未知量较多，且似乎缺少条件。此时，考虑设辅助未知数。 例例 1.汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为 10 千米每小时，下坡的速度为 20 千米每小时，求汽车的 平均速度？ 例例 2.三块牧场，面积分别为 3 公顷、10 公顷、24 公顷。第一块牧场可供 12 头牛吃 4 星期，第二块可供 21 头牛吃 9 星期。问第三块牧场可供多少头牛吃 18 星期？ 19 / 22 8.4 三元一次方程组
39、的解法三元一次方程组的解法 知识框架知识框架 基础知识点 三元一次方程组的概念 解三元一次方程组的方法和步骤 特殊方程组的解法 典型题型 解三元一次方程组 “元多组少”问题 三元一次方程组的应用题 难点题型利用方程组中未知数间关系 连比式 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 三元一次方程组的概念三元一次方程组的概念 1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。 例例 1.判断下列方程组中是否为三元一次方程组。 A. x2 y = 1 y + z = 0 xz = 2 B. 1 x + y = 1 1 y + z = 2 1 z + x = 6 C. a
40、 + b + c + d = 1 a c = 2 b d = 3 D. m + n = 18 n + t = 12 知识点知识点 2 解三元一次方程组的方法和步骤解三元一次方程组的方法和步骤 1）步骤：三元一次方程 消元 二元一次方程 消元 一元一次消元 整体消元 加减消元 代入消元 消元 例例 1.用代入消元法解方程： z = y + x 2x 3y + 2z = 5 x + 2y + z = 13 例例 2.用加减消元法解方程组： 2x + 3y + z = 11 x + y + z = 0 3x y z = 2 知识点知识点 3 特殊方程组的解法特殊方程组的解法 常见的特殊方程组有 2
41、类： 1）比例式方程： 例： : = 3:4 : = 4:5 + + = 36 20 / 22 2）平等未知数方程 例： + = 1 + = 6 + = 3 例例 1.用特殊方法解方程。 （1）若 a:b:c=2:3:7，且 a-b+3=c-2b，求 c 的值。 （2）解方程组： x + y + z = 8 x + y + m = 12 x + z + m = 14 y + z + m = 17 21 / 22 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 解三元一次方程组解三元一次方程组 解题技巧：解题技巧：解三元一次方程组，常见的方法有三种：代入消元法；加减消元法；整体消元法。解方程的关 键在于
42、消元，先消去一个未知数，使方程变为二元；再消去一个未知数，使方程变为一元。最后求解一元 一次方程，并将结果代入依次求出其他未知数。 代入消元和加减消元为基础方法，与二元一次方程组解题思路完全一样，观察题干，选择易于消元未知 数进行消元。若方程组中，有部分整体多次出现，可以将这个整体视为一部分，利用整体消元法进行求解 （会简化解题过程） 。 三元一次方程组还有：比例式和平等未知数两类特殊方法，需着重关注。 例例 1.在解三元一次方程组 11 + 3 = 9 3 + 2 + = 8 2 6 + 4 = 5 中，比较简单的方法是消去（ ） A.未知数 x B.未知数 y C.未知数 z D.常数 例
43、例 2.解下列三元一次方程组 （1） = 3 24 2 3 = 0 + + = 140 （2） 3 2 + = 3 2 + = 4 4 + 3 + 2 = 10 （3） + = 5 + = 1 + = 2 （4） + + = 26 = 1 2 + = 18 题型题型 2 “元多组少”问题“元多组少”问题 解题技巧：解题技巧： “元多组少”即方程组中未知数的数量多于方程的个数。在这类题型中，是难以求解出每个未知 数的具体值的，且题目往往不要求我们解出方程，而是求解某个比值。因此，我们第一步是将方程组中的 某一个未知数视为已知量，把其他未知数用含有这个未知数的关系式表示出来；然后将得到的关系式代入
44、 要求解的比值中；最后一定可以通过约分消去视为常数的未知数，进而求解出题目。 例例 1.如果 x+2y9z=0，x2y5z=0（xyz0） ，求代数式2 2:32:72 2;42:92 的值。 例例 2.如果 4x3y6z=0，x+2y7z=0（xyz0） ，求代数式2:3:6 :5:7 的值。 题型题型 3 三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用 解题技巧：解题技巧：弄清楚题意和题目中的数量关系，用字母（x，y，z）表示题目中的三个未知数。按照应用题的 解题步骤：列等量关系式；设未知数；列等式方程；解方程；答这几个步骤求解。 例例 1.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲 3 件、乙 2 件、丙
45、 1 件共需 320 元；购甲 1 件、乙 2 件、丙 3 件共 需 280 元；购买甲 1 件、乙 1 件、丙 2 件共需 180 元。那么三种商品各购多少钱？ 例例 2 某校一年级有 64 人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为 4:5:7。若由校外转入 1 人加入乙队，则后来 乙丙两队人数比为多少？ 22 / 22 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 利用方程组中未知数间关系利用方程组中未知数间关系 解题技巧：解题技巧：利用方程组中的关系，将方程转化为三元一次方程组求解。 例例 1.k 为何值时，方程组 3 5 = 2 2 + 7 = 18中 x 与 y 互为相反数，并求出 x，y。 例例 2.已知方程组3 + 5 = + 2 2 + 3 = 的解适合方程 x+y=8，求 m。 题型题型 2 连比式连比式 解题技巧：解题技巧：方法一：一个连比式相当于 2 个方程，将连比式拆开成方程组求解； 方法二：设连比式的比值为 k，利用连比式的特点进行简化计算，此方法常用来解决比值式题型。 例例 1.解方程组:1 6 = :1 8 = : 10 例例 2.解方程组： 4 = 6 = 8 3 + 2 = 8 例例 3.已知: ; = : 2（;） = : 3（;），a、b、c 互不相等，求证：8a+9b+5c=0.
