1、第第2222章章 一元二次方程一元二次方程22.1 22.1 一元二次方程一元二次方程1课堂讲解课堂讲解一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的解（根）一元二次方程的解（根）利用一元二次方程建立实际问题模型利用一元二次方程建立实际问题模型2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并平方米的矩形绿地，并且长比宽多且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？米，那么绿地的长和宽各为
2、多少？问问 题（一）题（一）（来自教材）（来自教材）分析：分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题我们已经知道可以运用方程解决实际问题 设绿地的宽为设绿地的宽为x米，不难列出方程米，不难列出方程 x(x10)900，整理得整理得 x210 x9000.(1)（来自教材）（来自教材）（来自教材）（来自教材）学校图书馆去年年底有图书学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底万册，预计到明年年底增加到增加到7.2万册求这两年的年平均增长率万册求这两年的年平均增长率问问 题（二）题（二）分析：分析：设这两年的年平均增长率为设这两年的年平均增长率为x.已知去年年底的图书数是已知去年年底的图书数是5
3、万册，则今年年底的图万册，则今年年底的图 书数是书数是5(1x)万册万册 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的 (1x)倍，即倍，即5(1x)(1x)5(1x)2(万册万册)可列得方程可列得方程 5(1x)27.2，整理可得整理可得 5x210 x2.20.(2)1知识点知识点一元二次方程的定义一元二次方程的定义思思 考考 问题问题1和问题和问题2分别归结为解方程分别归结为解方程(1)和和(2)显然，显然，这两个方程都不是一元一次方程那么这两个方程与这两个方程都不是一元一次方程那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点一元一次
4、方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？呢？知知1 1导导（来自教材）（来自教材）1.定义：定义：整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程，这样的方程叫做一元二次方程2.要点精析：要点精析：(1)理解定义理解定义：要掌握三个关键点：整式、未知数个：要掌握三个关键点：整式、未知数个数及最高次数；数及最高次数；“一元一元”是指整个方程中只含有一个未知数；是指整个方程中只含有一个未知数；“二次二次”是指该未知数的最高次数是是指该未知数的最高次数是2.(2)一元二次方程的识别方法一元二次方程的识别方法：整理前：
5、整式方程，只含一：整理前：整式方程，只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是个未知数；整理后：未知数的最高次数是2.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）例例1 下列方程：下列方程：x2y60；x2 2；x2x20；x225x36x0；2x23x2(x22)，是一元二次方程的有，是一元二次方程的有()A1个个B.2个个C3个个D4个个 知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）1xA导引：导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程 及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一 元二次方程的条件元二次方程的
6、条件中有两个未知数；中有两个未知数；不是整不是整 式方程；式方程；未知数的最高次数是未知数的最高次数是3；整理后二次整理后二次 项系项系 数为零数为零 总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）判断一个方程是否是一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程，有两个关键点：有两个关键点：(1)整理前是整式方程且只含一个未知数；整理前是整式方程且只含一个未知数；(2)整理后未知数的最高次数是整理后未知数的最高次数是2；本例；本例2x23x 2(x22)中易出现不整理就下结论，误认为是一中易出现不整理就下结论，误认为是一 元二次方程的错误元二次方程的错误下列关于下列关于x的方程一定是一元二次方程
7、的是的方程一定是一元二次方程的是()Aax2bxc0 Bx21x20Cx2 2 Dx2x20若方程若方程(m1)x|m|+12x3是是关于关于x一元二次方程，一元二次方程，则则()Am1 B m1 C m1 Dm1知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）11x22知识点知识点一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式知知2 2导导 一般地，任何一个关于一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：整理，都能化成如下形式：ax+bx+c=0(a0)这种形这种形式叫做一元二次方程的一般形式式叫做一元二次方程的一般形式.知知2 2导导一元二次方程的项和各项系
8、数一元二次方程的项和各项系数a x+b x+c=0二次项二次项系数系数一次项系一次项系数数a0二次项二次项一次项一次项常数项常数项例例2 已知关于已知关于x的方程的方程(a21)x2(1a)xa20.(1)当当a为何值时，该方程为一元二次方程？为何值时，该方程为一元二次方程？(2)当当a为何值时，该方程为一元一次方程？为何值时，该方程为一元一次方程？并求一元一次方程的解并求一元一次方程的解 知知2 2讲讲导引：导引：已知条件中说明是关于已知条件中说明是关于x的方程，则方程中只含有的方程，则方程中只含有 一个未知数，并且未知数的最高次数是一个未知数，并且未知数的最高次数是2，但由于，但由于 二次
9、项系数待定，故分析二次项系数是否为零是二次项系数待定，故分析二次项系数是否为零是 确定该方程是否为一元二次方程的关键点确定该方程是否为一元二次方程的关键点解：解：(1)由题意得由题意得a210，即当，即当a1时，该方程时，该方程 为一元二次方程为一元二次方程 (2)由题意得由题意得a210且且1a0，解得，解得a1.此时方程为此时方程为2x30，解得，解得知知2 2讲讲3.2x （来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲总总 结结 在一元二次方程的一般形式：在一元二次方程的一般形式：ax2bxc0中，中，a0是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，在应用一元二次方
10、程的定义求待定字母的值时，在应用一元二次方程的定义求待定字母的值时，既要考虑未知数的最高次数是既要考虑未知数的最高次数是2，又要考虑二次项，又要考虑二次项系数不为零系数不为零（来自（来自点拨点拨）1把方程把方程x(x2)5(x2)化成一般形式，则化成一般形式，则a，b，c的值分别是的值分别是()A1，3，10 B1，7，10 C1，5，12 D1，3，22一元二次方程一元二次方程2(x1)2x3化成一般形式化成一般形式 ax2bxc0后，若后，若a2，则，则bc的值是的值是 _知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）知知3 3讲讲3知识点知识点一元二次方程的解（根）一元二次方程的解（根）1.定
11、义：定义：能使一元二次方程左右两边相等的能使一元二次方程左右两边相等的未知数未知数的值叫做的值叫做 一元二次方程的根一元二次方程的根(解解)2.要点精析：要点精析：(1)判断方程的根的必要条件是：使方程左右两边相等判断方程的根的必要条件是：使方程左右两边相等 (2)根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确 (3)一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的 根根例例3 如果如果2是一元二次方程是一元二次方程x2bx20的一个根，的一个根，那么那么b的值为的值为()A.3 B.3 C.
12、4 D4知知3 3讲讲导引：导引：根据根的意义，将根据根的意义，将x2直接代入方程的左右两直接代入方程的左右两 边，就可得到以边，就可得到以b为未知数的一元一次方程，为未知数的一元一次方程，求解即可求解即可（来自（来自点拨点拨）B知知3 3讲讲总总 结结 方程的根就是满足方程左右两边相等的未知方程的根就是满足方程左右两边相等的未知数的值，因此求含有字母系数的一元二次方程中数的值，因此求含有字母系数的一元二次方程中字母的值，只需把已知方程的根代入原方程，就字母的值，只需把已知方程的根代入原方程，就可求岀相关的待定字母的值可求岀相关的待定字母的值（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）1已知关于已知
13、关于x的一元二次方程的一元二次方程2x23mx50的一的一 个根是个根是1，则，则m_2 一元二次方程一元二次方程x22x0的根是的根是()Ax10，x22 Bx11，x22 Cx11，x22 Dx10，x22知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）知知4 4讲讲4知识点知识点利用一元二次方程建立实际问题模型利用一元二次方程建立实际问题模型 绿苑小区在规划设计时，绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一准备在两幢楼房之间，设置一块面积为块面积为900平方米的矩形绿平方米的矩形绿地，并且长比宽多地，并且长比宽多10米，那么米，那么绿地的长和宽各为多少？绿地的长和宽各为多少？1.一元二次方
14、程模型：一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世一元二次方程是刻画现实世 界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达2建立一元二次方程模型的一般步骤：建立一元二次方程模型的一般步骤：(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；关系；(2)设出合适的未知数，一般设为设出合适的未知数，一般设为x；(3)确定等量关系；确定等量关系；(4)根据等量关系列出一元二次方程，根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般
15、形式有时要化为一般形式3常用一元二次方程来建模的问题有常用一元二次方程来建模的问题有：圆形的面积、增：圆形的面积、增长长(利润利润)率、行程问题、工程问题等率、行程问题、工程问题等（来自（来自点拨点拨）知知4 4讲讲 例例4 小雨在一幅长小雨在一幅长90 cm，宽，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽的油画四周外围镶上一条宽 度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整 个挂图面积个挂图面积 的的54%，设边框的宽度为，设边框的宽度为x cm，根据题意，列，根据题意，列 出方程出方程（来自（来自点拨点拨）知知4 4讲讲本题涉及两个基本量：本题
16、涉及两个基本量：油画的面积与整个挂油画的面积与整个挂图的面积图的面积在油画四周外围镶上宽度在油画四周外围镶上宽度为为x cm的边框，则整个挂的边框，则整个挂图的长与宽各增加了多少？图的长与宽各增加了多少？利用长方形的面积公利用长方形的面积公式和油画面积与整个式和油画面积与整个挂图面积之间的关系挂图面积之间的关系列方程列方程x904040+2x90+2x解：解：(902x)(402x)54%9040.总总 结结知知4 4讲讲（来自（来自点拨点拨）建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐根据题目条件中给出的等量关
17、系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润如面积公式、体积公式、利润公式等公式等)进行列方程进行列方程1 学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式(每两每两队之间赛一场队之间赛一场)计划安排计划安排21场比赛，应邀请多场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请少个球队参赛？设邀请x个球队参赛根据题意个球队参赛根据题意,下面所列方程正确的是下面所列方程正确的是()知知4 4练练2A.21x （来自（来自典中点典中点）x x1B.1212x21C.212 x xD.1212 如图，某小区有一块长为如图，某小区有一块长为18 m，宽
18、为，宽为6 m的矩形的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设人行通道的宽度为有宽度相等的人行通道若设人行通道的宽度为x m，则可以列出关于，则可以列出关于x的方程是的方程是()知知4 4练练2A.980 xx（来自（来自典中点典中点）xx2B.980 xx2C.980 xx2D.2980判别一元二次方程的判别一元二次方程的“两方法两方法”：(1)根据定义要把握三点根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含有一一是整式方程；二是含有一 个未知数；三是未知数个未知数；三是未知数 的最高次数是的最高次数是2.(2)根据一般形式要把握两点：根据一般形式要把握两点：一是能化成一是能化成ax2bxc0的形式，且的形式，且a一定不能为一定不能为 0，而，而b，c都可以为都可以为0；二是判断是否为一元二次方；二是判断是否为一元二次方 程与其解的情况无关程与其解的情况无关1.必做必做:完成教材完成教材P20习题习题22.1 T1-T32.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题
