1、10.3频率与概率学习目标1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率.知识点一频率的稳定性在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).思考一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？答案随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总
2、次数之比会逐渐接近0.5.知识点二随机模拟用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.1.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品.()2.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是.()3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.()4.小概率事件就是不可能发生的事件.()一、频率与概率的关系例1(1)下列说法一定正确的是()A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B.
3、一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D.随机事件发生的概率与试验次数无关答案D解析A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：抽取台数501002003005001 000优等品数4092192285478954根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？解抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.
4、95,0.956,0.954.由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.反思感悟(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.跟踪训练1一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n5 5449 60713 52017 190男婴数m2 8834 9706 9948 892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？解(1)计算即得男婴出生的频率依次约是0.52
5、0 0，0.517 3，0.517 3,0.517 3.(2)随着新生婴儿数的增多，男婴出生的频率接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.二、概率思想的实际应用例2设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的？解甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球，当然可
6、以认为是从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的.反思感悟在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.跟踪训练2为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.解设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A捕到带有记号的天鹅，则P(A)
7、.从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A).由，解得n1 500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.三、用随机模拟估计概率例3一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.解用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：6667436714645715611565677323757
8、16116614445117573552274114662就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为0.1.反思感悟用随机数模拟法求事件概率的方法在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.(1)试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件.(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.跟踪训练3某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投
9、篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率，用随机模拟的方法估计上述概率.解利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组，例如5727,7895,0123，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n，则至少投中3次的概率近似值为.1.“某彩票的中奖概率为”意味着()A.买1 000张彩票就一定能中奖B.买1 000张彩票中一次奖C.买1 000
10、张彩票一次奖也不中D.购买彩票中奖的可能性是答案D2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于()A.产生的随机数的大小B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法答案B解析随机数容量越大，所估计的概率越接近实际数.3.某医院治疗一种疾病的治愈率为，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人被治愈的概率是()A.1 B. C. D.0答案B解析每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人被治愈的概率仍为.4.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，如果我们用1,2,3,4
11、表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：907966191925271932812458569683631257393027556488730113137989则这三天中恰有两天下雨的概率约为()A. B. C. D.答案B解析由题意知，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7组随机数，所求概率为.5.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为_.答案0.52解析0.52.1.知识清单：(1)
12、概率与频率的关系.(2)用频率估计概率.(3)用随机模拟估计概率.2.常见误区：频率与概率的关系易混淆.1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是()A.本市明天将有90%的地区降雨B.本市明天将有90%的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定会淋雨D.明天出行不带雨具可能会淋雨答案D解析降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%，明天也可能不下雨，故选D.2.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有()A.64个 B.6个 C.16个 D.8个答案C解析80(180%)16.
13、3.给出下列3种说法：设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析由频率与概率之间的联系与区别知，均不正确.4.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率；先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经
14、随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5答案A解析由10组随机数知，3个随机数都在49中的有569,989两组，故所求的概率为P0.2.5.从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是()A.次品率小于10% B.次品率大于10%C.次品率等于10% D.次品率接近10%答案D解析抽出的样本中次品的频率为，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.6.已知随机事件A发
15、生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了_次试验.答案500解析设进行了n次试验，则有0.02，得n500，故进行了500次试验.7.从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：分组90,100)100,110)110,120)120,130)130,140)140,150频数1231031则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的_%.答案70解析计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率，来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例，由题意知0.770%.8.在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，并选出2个男生2
16、个女生”的概率时，可让计算机产生19的随机整数，并且14代表男生，用59代表女生.因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是_.答案选出的4人中，只有1个男生解析用14代表男生，用59代表女生，4678表示1个男生3个女生.9.在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中有2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：摸球次数105080100150200250300出现红球的频数220273650出现红球的频率30%26%24%(1)请将表中数据补充完整；(2)如果按照此方法再摸球30
17、0次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗？为什么？(3)试估计红球出现的概率.解(1)频数分别是15,65,72；频率分别是20%,25%,27%,24%,25%.(2)可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化.(3)频率集中在25%附近，所以可估计概率为0.25.10.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下表：所用时间/分10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各
18、时间段内的频率.解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间/分10202030304040505060选择L1的人数0.10.20.30.20.2选择L2的人数00.10.40.40.111.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义，这种鱼卵的孵化概率()A.约为0.851 3B.必为0.851 3C.再孵一次仍为0.851 3D.不确定答案A解析这种鱼卵的孵化频率为0.851 3，它
19、近似的为孵化的概率.12.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理()A.甲公司 B.乙公司C.甲或乙公司均可 D.以上都对答案B解析由于甲公司桑塔纳的比例为，乙公司桑塔纳的比例为，可知肇事车在乙公司的可能性大些.13.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大()A.至少一枚硬币正面向上B
20、.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上答案A解析抛掷两枚硬币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大.14.通过模拟试验产生了20组随机数：68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754如果恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为_.答案0.25解析表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576
21、,6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为0.25.15.(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是()A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜答案ACD解析对于A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平.16.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转
22、盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？解列表如下：B A3456145672567836789由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种.因为P(和为6)，所以甲、乙获胜的概率不相等.所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的.
