1、 第四章 平面图形及其位置关系一、基础知识梳理（一）主要概念1线段、射线、直线 （1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段 线段的特点：是直的，它有两个端点 （2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线 射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸 （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线 直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸2线段的中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点 利用线段的中点定义，可以得到下面的结论： （1）因为AM=BM=AB，所以M是线段AB的中点 （2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=AB或AB=2AM=2BM3角 由两条
2、具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角4角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线5平行线 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线 平行的关系是相互的，如果ABCD，则CDAB，其中符号“”读作“平行”6两条直线垂直 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足
3、，如直线AB与直线CD垂直，记作ABCD7两点之间的距离 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离8点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（二）主要性质1直线的性质 经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”2线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短3与平行线有关的一些性质 （1）平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 （2）平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行4垂线性质 （1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最
4、短二、典型例题1考查学生发现问题、解决问题的能力 【例1】（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（ ） A4种 B6种 C10种 D12种 【例2】（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_个交点；如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_个交点（用含n的代数式表示）2线段长度的计算，线段的中点【例3】某大公司员工分别住在A，B
5、，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）3角的度量与换算 【例4】（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（ ） A70 B75 C85 D904七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆【例5】（2002年济南）如图1，用一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DGEF于G，交AC于H；过G作GLBC，交AC于L，再由E作EKDG，交AC于K；将正方形AB
6、CE沿画出的线剪开现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（ ） （1） （2） A8 B6 C4 D5三、解题方法与技巧方法1：见比设元 【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长 【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法 【解】AB：BC：CD=2：4：3 设AB=2K BC=4K CD=3K AD=3K+2K+4K=9K CD=9 3K=9 K=3 AB=6 BC=12 AD=27 M为AD中点， MD= AD=27=13.5 MC=MD-CD=13.5-9=4.5 【规律总结】不论是有关线段还是有
7、关角的问题，只要有比值，就设未知数方法2：利用线段的和差判断三点共线 【例2】判断以下三点A、B、C是否共线 （1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm； （2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm 【解】（1）AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm， AB=AC+CB A、C、B三点在同一条直线上 （2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm， ABAC+CB A、C、B三点不共线方法3：寻找规律 （一）数直线条数：过任三点不在同一直线上的n点一共可画条直线 （二）数n个人两两握手能握次 （三）数线段条数：线段上有n个点（包括线段两个端点）时，共有条线
8、段（四）数角的个数：以0为端点引n条射线，当AOD180时，则（如图）小于平角的角个数为 （五）数交点个数：n条直线最多有个交点 （六）数对顶角对数：n条直线两两相交有n（n-1）对对顶角 （七）数直线分平面的份数：平面内n条直线最多将平面分成1+个部分 【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ） A1条 B4条 C6条 D1条或4条或6条 【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；若用n表示切的刀数，饼被最多分成S部分则：n=1时S=2；n
9、=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11【解】设一张饼被切n刀，最多分成S部分，如图2-6可知： n=1时 S=1+1 n=2时 S=1+1+2 n=3时 S=1+1+2+3 n=4时 S=1+1+2+3+4 则S=1+1+2+3+4+n=1+ 当n=7时，S=1+=29 答：当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼 【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般到特殊的方法应用规律解决问题方法4：钟表问题 【例5】钟表现在是1点15分，分针再转多少度，时针与分针首次重合 【分析】分针1分钟走（）=6，时针1分钟走（）=0.5（分针1小时走一圈，
10、即60分钟走360，时针1小时走一格，即60分钟走30）因此，分针速度是时针速度的12倍，故设分针走12x，时针走x时时针与分针首次重合，因为从1点整到1点15，分针走一圈的，此时时针走一格的，因此1点15分时时针与分针夹角（1+）30=52.5列方程可求解 【解】设时针走x时，时针与分针首次重合 依题意，得： 12x-x=360-（30） 解得： x=， 12x=335 答：分针再转335度，时针与分针首次重合方法5：最优策略问题直线上有两点（如图）A1和A2，要在直线上找一点P，使A1、A2到P的距离之和最小，则P点可放在A1、A2之间任意位置（包括A1和A2）此时PA1+PA2=A1A2
11、直线上有三点A1、A2、A3（如图）要找到一点P，使PA1+PA2+PA3的和最小 不妨设P在A1、A2之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2； 若P在A2、A3之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2； 若P在A1上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A1A2； 若P在A2上，则PA1+PA2+PA3=A1A3 若P在A3上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A2+A3 结论：当P选在A2点时PA2+PA2+PA3的和最小，其最小值为A1A3不难发现，当直线上有四个点时，如图所示P点选在A2A3上（包括端点）可使P到A1、A2、A3、A4的距离之和最小其最小值为A1
12、A4+A2A3当直线上有五个点时，如图所示P点选在A3上，可使P到A1、A2、A3、A4、A5的距离之和最小，其最小值为A1A5+A2A4 【规律总结】当直线上有偶数个点时，P应选在最中间两点之间（可与这两点重合）；当直线上有奇数个点时，P点与最中间的点重合，可使P到各点距离之和最小四、中考试题归类解析（一）线段，角【例1】（2003，青海），如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是（ ） ACD=AC-DB BCD=AD-BC CCD=AB-BD DCD=AB 【例2】（2004，黑龙江）一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，
13、则平面镜与地面所成锐角的度数为（ ）A45 B60 C75 D80（二）平行【例1】（2003，安徽）如图，已知ABCD，ACBC，图中与CAB互余的角有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个【例2】（2004，安徽）如图，已知ABDE，ABC=80，CDE=140，则BCD=_五、中考试题集萃一、填空题1（2003年，青海）如图1，两平面镜、的夹角为，入射光线AO平行于入射到上，经过两次反射后的出射光线OB平行于，则角=_度2（2003，长沙）如图2，ABCD，EF分别交AB、CD于点E、F，1=70，则2=_度 （1） （2） （3） （4）3（2003，河南）如图3，直线L1L2，ABL
14、1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若1=43则2=_度4（2003，福州）如图4，直线a、b被直线c所截，且ab，如果1=60，那么2=_度5（2004，太原）如图5，RtABC中，C=90，沿过点B的一条直线BE折叠ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则A的度数等于_ （5） （6） （7） （8）6（2004，福州）如图6，两条直线a、b被第三条直线C所截，如果ab，C=70，那么2=_7（2004，贵阳）如图7，直线ab，则ACB=_度8（2004，镇江）已知=36，若是的余角，则=_，sin=_（结果保留四个有效数字）9（2004岳阳）已知一个角的余角为60，则这个角的补角为_二
15、、选择题1（2003，北京海淀区）若=30，则的补角是（ ） A30 B60 C120 D1502（2003，北京海淀区）如图8，直线c与a、b相交，且ab，则下列结论：1=21=3 3=62中正确的个数为（ ）A0 B1 C2 D33（2003，南通）已知：如图9，下列条件中，不能判断直线L1L2的是（ ） A1=3 B2=3 C4=5 D2+4=180 （9） （10） （11） （12）4（2003，湘潭）如图10，从A地到B地有多条道路，一般地，人 们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（ ） A两点之间线段最短 B两直线相交只有一个交点 C两点确定一条直线 D垂线段最短5
16、（2004，台州）天安门广场上五星红旗的旗杆与地面的位置关系属于（ ）A直线与直线平行 B直线与直线垂直 C直线与平面平行 D直线与平面垂直6（2004，河南）如图11，从A地到C地，可供选择的方案是走水路，走陆路，走空中从A地到B地有2条水路，2条陆路，从B地到C地有3条陆路可代选择，走空中从A地直接到C地，则从A地到C地可供选择的方案有（ ）A20种 B8种 C5种 D13种7（2004，南京）如果=20，那么，的补有等于（ ） A20 B70 C110 D1608（2004，日照）如图12，已知直线ABCD当点E在直线AB与CD之间时，有BED=ABE+CDE成立；而当点E在直线AB与C
17、D之外时，下列关系式成立的是（ ） ABED=ABE+CDE或BED=ABE-CDE BBED=ABE-CDE CBED=CDE-ABE或BED=ABE-CDEDBED=CDE-ABE三、解答题1（2003，山东）某市召集20名特级老师参加教研教改研讨会，与会的特级老师每两人之间都握手一次，那么他们之间一共握手_次2（2003，天津）如图，在ABC中，CEAB于E，DFAB于F，ACED，CE是ACB的平分线，求证：EDF=BDF3（2003，青海）如图，OM是AOB的平分线，射线OC在BOM内部，ON是BOC的平分线，已知AOC=80，求MON的度数4（2004，武汉）如图，已知ABCD，E
18、AF=EAB，ECF=ECD。求证：AFC=AEC。5（2004，四川）如图，已知点C是AOB平分线上一点，点P、P分别在边OA、OB上，如果要得到OP=OP需要添加以下条件中的某一个即可请你写出所有可能结果的序号为_ OCP=OCP OPC=OPC； PC=PC PPOC6（2004，乌鲁木齐）某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育中心，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图中作出体育中心的位置，（不要写作法，只保留作图痕迹）答案一、填空题：160 2110 3133 4120 530 6110 778 854，08090 9150二、选择题： 1D 2D 3B 4A 5D 6D 7D 8C三、解答题：11902证明：CEDF EDF=DEC 又ACDE DEC=ACE ACE=EDF 又DFCE FDB=ECB 又ACE=ECB EDF=BDF3解：MON=AOB-BOC =（AOB-BOC） =AOC =80=404提示：AEC=EAB+ECD AFC=FAB+FCD AEC=FAB+FCD+EAF+ECF5或或6体育中心应选在三条公路相交所构成的三角形角平分线的交点处
