1、江苏省江苏省 20202020 届届三轮复习填空压轴题突破三轮复习填空压轴题突破 -同构函数同构函数 【方法点拨】【方法点拨】 1. 一个式子中出现两个变量,适当变形后,两边结构相同(如例 1); 2.两个式子也可适当变形,使其结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性解题， 或运 用同一方程代入. 【典型题示例】【典型题示例】 例 1 （2020南通如皋创新班四月模拟2）已知实数 a，b(0，2)，且满足 22 4 424 2 a b abb，则 ab 的值为_ 答案:2 分析:将 22 4 424 2 a b abb化为： 222 2(2)2 ab ab ，设 2 2xf xx，则 f x在
2、0,2上递增，由 2f afb，得 ab 的值. 解 析 : 由 22 4 424 2 a b abb， 化 简 为 ： 222 22(2) ab ab ， 即 222 2( 2)2 ab ab ， 设 2 2xf xx，则 f x在0,2上递增，因为 a，b(0，2)，所以 2-b(0，2)， 且 2f afb，所以2ab，即2ab. 点评:本题需构造函数，其基本策略是： “左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造 函数妥当” ，我们称之为“同构函数” ，然后再利用函数的单调性求值. 例 2 （2020淮阴中学、姜堰中学 12 月考14）)已知实数 1 x， 2 x满足 1 3 1 x
3、x ee， 5 22 ln2xxe，则 12 x x _. :分析：由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令 2 22 ln2, t xt xe ，得到 3t tee，研究函数( ) x f xxe的单调性，求出 1, x t关系，即可求解. 解法一：实数 1 x， 2 x满足 1 3 1 x x ee， 5 22 ln2xxe， 2 12 0,xxe， 2 22 ln20, t xtxe ，则 3t tee， ( )(0),( )(1)0(0) xx f xxexfxxex， 所以 ( )f x在(0,)单调递增，而 3 1 ()( )f xf te， 5 121222 ln2,(ln
4、2)xtxx xxxe . 解析二：对 1 3 1 x x ee两边取自然对数得： 11 ln3xx， 对 5 22 ln2xxe两边取自然对数得： 22 lnln ln25xx （） 为使两式结构相同，将（）进一步变形为： 22 ln2ln ln23xx 设( )lnf xxx，则 1 ( )10fx x 所以 ( )f x在(0,)单调递增，( )3f x 的解只有一个. 12 ln2xx， 5 1 222 ln2x xxxe 点评：两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同” ，然后构造函 数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解. 【巩固训练】【巩固训练】 1.设方程
5、24 x x的根为m，设方程 2 log4 x x的根为n，则mn= . 答案：4 2.已知函数 4 log3,0 ( ) 1 3,0 4 x x xx f x xx ，则( )f x的两个零点之差的绝对值为 . 答案：3 3.已知 a33a25a1，b33b25b5，那么 ab 的值是 . 解析：由题意知 a33a25a32，b33b25b32， 设 f (x)x33x25x3，则 f (a)2，f (b)2. 因为 f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以 ab2. 点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数 f (x)yax3bx2cxd 其对称中 心为(x0，f (x0)，其中 f (x0)0. 4.( 宿 迁 2018 期 中 ) 不 等 式xxxxxx ()()的 解 集 是 . 分析：直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有xx () 、两个因式，将不 等式转化为 “一边一个变量” 的形式为：x xxxxx ()()()， 构造函数f xxxx ( )，题目转化为求解f xf x ()()的问题. 因为 fxxx ( )，易知fxxx ( )恒成立，故f x( )为R上的单 调增函数，所以由f xf x ()()立得：xx ，解之得x .
