1、江苏省江苏省 20202020 届届三轮复习填空压轴题突破三轮复习填空压轴题突破 -三点共线的充要条件的应用三点共线的充要条件的应用 【方法点拨】【方法点拨】 1.在平面内, ,OP OA OB是不共线向量,设 ( ,)OPxOAyOB x yR，P、A、B 三点共线1xy 上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数和为 1”,利用此结 论,可求交点位置向量或者两条线段长度的比值. 2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的， 当系数和不是“1”时，应化“1” （如例 1、例 2）. 【典型题示例】【典型题示例】 例 1 （2020 届南通 12 月考）已知AB
2、C中，3,1ABAC ,且 3 1ABACR的最小值为 3 3 2 ， 若P为边AB上任意一点,则PB PC 的最小值是 . 分析:由条件 3 1=13ABACABAC， 设3=AC AD，则3 1=1ABACABAD，其系数和为 1 设3 1ABACAE，则=1AEABAD，故BDE、 、三点共线 由的最小值为，即点A到BD的距离是 故 3 A ABC中，由余弦定理得7BC ,设BC的中点为O， 由极化恒等式得 2 7 4 PB PCPO，而 min 3 4 PO. 的最小值是 25 16 . 点评：当已知中出现“三向量共起点、系数和为 1（或适当 变形） ” ，应考虑“终点共线”. 3 1
3、ABACR 3 3 2 3 3 2 PB PC C O E D B A P 例 2 （2020扬州上学期期末14）在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆 2 2 :11Cxy上两点，且2AB ，点 P 的坐标为（2,1） ，则2PAPB的取 值范围为 . 分析：设2=PAPB PD， 则 11 =+ 22 PAPBPD 如图，延长BA至D，使ADAB 为求2=PAPBPD的取值范围， 只 需求点D的轨迹. 遇到圆的弦想中点、垂径定理，取AB 中点为E，设( , )D x y Rt CDE中， 2 2 CE ， 3 2 2 DE ， 故5CD ， 即D的轨迹是以C为圆心，5 为半径的圆 52, 5
4、2PD ，即2PAPB的取值范围为52, 52 . 点评：（1）本题的关键是:逆用三点共线的充要条件,构造出向量PD，其起点为定点，转 化为探究终点轨迹问题； （2）遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理” ； （3） 已知条件不变， 若所求变为求3PAPB的取值范围， 此时应设3=2PAPBPD， 则 12 =+ 33 PAPBPD，想一想，为什么？ 例 3 若O是锐角ABCV的外心，6AB=，10AC=，AOxAByAC=+ uuu ruu u ruuu r ， 2105xy+=，则cos_BAC?. 分 析 : 由2105xy+=得 2 21 5 xy+=， 将A Ox A By A C=
5、+ uuu ruu u ruuu r 变 形 为 251 2 522 A OxA ByA C（）（）=? u u u ru u u ru u u r .如图， 作 5 2 ADAB= uuu ruuu r ， 1 2 AEAC= uuu ruuu r ， 则DOE、 、 三点共线，且OEAC. 3 2 1 1 2 3 642246 E O B P C A D 在Rt ADEV，15AD=，5AE=， 故 1 c o s 3 BAC?. 答案： 1 3 . 【巩固训练】【巩固训练】 1.（2020启东期初）正方形 ABCD 的边长为 1，O 为正方形 ABCD 的中心，过中心 O 的 直 线 与
6、 边 AB 交 于 点 M ， 与 边 CD 交 于 点 N ， P 为 平 面 上 一 点 ， 满 足 ，则的最小值为 . 答案： 解析：根据题意，的终点在线段 BC上， ， ； 又 O 是 MN 的中点， 2(1)OPOBOCPM PN 7 16 2(1)OPOBOC2OP 1 2 2 OP 1 4 OP 21 16 OP 0OMON O A C B D E ， ， 的最小值是 2. （2020 镇江五月） 在平面直角坐标系 xOy中， A,B是圆 C:x 2 -4x+ y2=0上两动点， 且 AB= 2，点 P坐标为 (4, 3)，则的取值范围为 答案：7,3 7 简析：设32PBPAPD，则 21 33 PBPAPD， 如图，2BDAB，设( , )D x y 则Rt CDE，由勾股定理得2 7CD ，故7,3 7PD 3. （2020 昆山 12 月考） 已知点P是ABCV的外心， 且C P m C A n C B=+ uuruuruur ， 3 21 2 mn+= ( ,)m nR，若2CACB=，则cosC的值为 . 答案： 3 8 221 cos 222 OM ON PM PNOMOPONOP 2117 0 21616 OM ONOPOMONOP PM PN 7 16 8 6 4 2 2 4 6 8 1510551015 B E P C A D
