1、函数模型的应用实例【知识梳理】1常见的函数模型(1)正比例函数模型：(为常数，)；(2)反比例函数模型：(为常数，)；(3)一次函数模型：(，为常数，)；(4)二次函数模型：(，为常数，)；(5)指数函数模型：(，为常数，)；(6)对数函数模型：(，为常数，)；(7)幂函数模型：(，为常数，)2建立函数模型解决问题的框图表示【常考题型】题型一、二次函数模型【例1】据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本(万元)可以看成月产量(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点写出月总成本(万元
2、)关于月产量(吨)的函数关系已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解(1)，将，代入上式，得.解得.所以()(2)设最大利润为，则()因为，所以月产量为吨时，可获最大利润万元【类题通法】利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题【对点训练】渔场中鱼群的最大养殖量为()，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量小于，以便留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量
3、的比值)的乘积成正比，比例系数为()(1)写出关于的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值解：(1)根据题意知，空闲率是，故关于的函数关系式是，.(2)由(1)知，.则当时，.所以，鱼群年增长量的最大值为.题型二、分段函数模型【例2】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数(1)当时，求函数的表达式；(2)当车流密
4、度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解(1)由题意，当时，；当时，设，再由已知得，解得故函数的表达式为(2)依题意并结合(1)可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，当且仅当时，等号成立所以，当时，在区间上取得最大值.综上，当时，在区间上取得最大值.即当车流密度为辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为辆/小时【类题通法】构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式【对点训练】某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规
5、定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后与之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午，问一天中怎样安排服药时间(共次)效果最佳？解：(1)依题意得(2)设第二次服药时在第一次服药后小时，则，解得，因而第二次服药应在.设第三次服药在第一次服药后小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有，解得小时，故第三次服药应在.设第四次服药在第一次服药后小时()，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和，解得小时，故第四次服药应在.题型三、指数、对数型函数
6、模型【例3】目前某县有100万人，经过年后为万人如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出关于的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)解(1)当时，；当时，；当时，；故关于的函数解析式为()(2)当时，.故年后该县约有万人(3)设年后该县的人口总数为万，即，解得.故大约年后该县的人口总数将达到万【类题通法】 指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示通常可以表示为(其中为基础数，为增长率，为时间)的形式【对点训练】20世纪70年代，里
7、克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为：.其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解：(1).即这次地震的震级为级(2)，即我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍【练习反馈】1某厂日产手套总成本(元)与手套日
8、产量(副)的函数解析式为，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A200副B400副C600副 D800副解析：选D由，解得，即日产手套至少800副时才不亏本2已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离关于时间(小时)的函数解析式是()ABCD解析：选D显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数3由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为_元解析：，所以当
9、时，(元)答案：4如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费(元)与通话时间(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为_元；(2)通话5分钟，需付的电话费为_元；(3)如果，则电话费(元)与通话时间(分钟)之间的函数关系式为_解析：(1)由图象可知，当时，电话费都是3.6元(2)由图象可知，当时，即需付电话费6元(3)当时，关于的图象是一条直线，且经过和两点，故设函数关系式为，则解得，故关于的函数关系式为()答案：(1)(2)(3)()5某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月卖出500件通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品定价多少元？解：设应将每件商品定价为元，其月利润为元，由题意得：.当(元)时，元答：商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品应定价元
