1、第一讲数与式1、 绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即a,a0,| a | 0,a0,a, a0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离（3）两个数的差的绝对值的几何意义：ab 表示在数轴上，数a 和数 b 之间的距离2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式 f (x)a(a0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是af ( x)a 。 f (x)a(a0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f (x)a或 f ( x)a 。 f (x)g ( x)f 2 ( x)g 2 (x) 。（
2、2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：找到使多个绝对值等于零的点分区间讨论，去掉绝对值而解不等式一般地n 个零点把数轴分为n 1 段进行讨论将分段求得解集，再求它们的并集例 1.求不等式3x54 的解集例 2. 求不等式2x15的解集例 3. 求不等式x3x2 的解集例 4. 求不等式 | x 2| | x 1| 3 的解集1例 5. 解不等式 | x 1| |2 x| 3 x例 6. 已知关于x 的不等式 | x 5| | x3| a 有解 ，求 a 的取值范围练习解下列含有绝对值的不等式：（1） x1x3 4+x（ 2） | x+1| x2|（ 3） | x 1|+|2 x+1|4（ 4）
3、 3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（ 1）平方差公式( ab)( ab)a2b2（ 2）完全平方公式( ab) 2a22abb2（ 3）立方和公式( ab)(a2abb2 )a3b3（ 4）立方差公式( ab)(a2abb2 )a3b3（ 5）三数和平方公式( ab c)2a2b2c22(ab bc ac)（ 6）两数和立方公式( ab) 3a33a2b3ab2b32（ 7）两数差立方公式(ab)3 a3 3a2b 3ab2 b3因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1分解因式：（ 1） x23x
4、2；（ 2） 6x27 x2（ 3） x2(ab) xyaby2 ；（ 4） xy1xy 2提取公因式法例 2. 分解因式：（ 1） a2 b 5 a 5 b（ 2） x39 3x23x3公式法例 3. 分解因式：（1） a416（ 2） 3x 2 y 2x y 24分组分解法例 4. （ 1） x2xy3y3x（ 2） 2x2xyy24x5y65关于 x 的二次三项式ax2+bx+c( a 0) 的因式分解若关于 x 的方程 ax2bx c0(a 0) 的两个实数根是x1 、 x2 ，则二次三项式 ax2bx c(a0) 就可分解为 a( x x1 )( x x2 ) .例 5. 把下列关于
5、x 的二次多项式分解因式：（1） x22x1；（ 2） x24xy4 y2 3练习（1） x25x 6（ 2） x2a1 xa（ 3） x211x18（4） 4m212m9（5） 57x6x2（6） 12x2xy6 y2（ 7 ） 6 2 pq 211 q 2 p 38） a35a2 b 6ab 29 ） 4 x 22（4x 2（10） x42 x21（ 11） x2y 2a 2b22ax2by（12）a24ab4 26 12b9(13)x22x 1ba（14） a31；（ 15） 4x413x29 ；（16） b2c22ab2ac2bc ；（ 17） 3x25xy2 y2x9 y4第二讲一元
6、二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程(1) 根的判别式对于一元二次方程ax2 bx c0（ a 0），有 :（ 1）当0 时，方程有两个不相等的实数根xb b24ac；1， 22a（ 2）当 0 时，方程有两个相等的实数根12b；x x2a（ 3）当 0 时，方程没有实数根(2) 根与系数的关系（韦达定理）如果 ax2 bx c 0（ a 0）的两根分别是x1， x2，那么 x1 x2b ，x1x2 c 这一关系也被称为韦达aa定理2、二次函数yax2bxc 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb ，顶点坐标为b ，4ac b 2。2a2a4a2当 xb时，y 随 x 的增大
7、而减小； 当 xb时，y 随 x 的增大而增大； 当 xb时，y 有最小值 4ac b 。2a2a2 a4a42. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb ，顶点坐标为b ，4ac b2。当 xb 时， y 随2a2a4 a2ax 的增大而增大；当xb 时， y 随 x 的增大而减小；当xb 时， y 有最大值 4acb22a2a4a.3、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况） ：一元二次方程 ax2bx c0 是二次函数 yax2bx c 当函数值 y0时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数： 当b24 ac0时，图象与 x 轴交于两点 Ax1
8、 ，0，Bx2 ，0(x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程ax2bxc0 a0的两根。这两点间的距离ABx2x1b24ac .a 当0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 。例 1. 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程2x2 5x3 0 的两根（ 1）求 | x 1 x2| 的值；（2）求11331x2 x12x22的值；（ 3） x例2.函数y mx2x 2m（ m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（
9、）0个 1个2 个1个或 2个例 3.关于x 的方程 mx2mx 5m 有两个相等的实数根，则相应二次函数ymx2mx5 m 与 x 轴必然相交于点，此时 m例 4 . 抛物线 yx2(2m1)x6m 与x 轴交于两点 ( x1，0) 和 (x2，0) ，若 x1x2x1 x249 ，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位例 5. 关于 x 的二次函数 y2mx2(8m1)x 8m 的图像与 x 轴有交点，则m 的范围是（） m1 m1 且 m 0 m1 m1 且 m 0161616165练习1. 一元二次方程 ax2bx c 0（a 0）的两根为 x1 和 x2求：（1） | x x| 和
10、x1x23 x3；（ 2） x122122. 如图所示，函数y(k2) x27 x ( k 5)的图像与 x 轴只有一个交点，则交点的横坐标x03. 已知抛物线 yax2bx c 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A( x1，0) ， B(x2，0)( x1 x2 ) 两点，顶点 M 的纵坐标为4 ，若 x1 ， x2 是方程 x22(m 1)xm27 0的两根，且 x12x2210 （ 1）求 A ， B 两点坐标；（ 2）求抛物线表达式及点 C 坐标；4. 若二次函数 yax2c ，当 x 取 x、 x（ xx ）时，函数值相等，则当x 取 xx 时，函数值为121212（） ac
11、acc c5、已知二次函数 y1 x2bx c ，关于x 的一元二次方程1 x2bx c0 的两个实根是1和 5，22则这个二次函数的解析式为第三讲一元二次不等式的解法1、定义：形如ax2+ + 0（ 0）（或ax2+ + 0（ 0）的不等式bx cabx ca做关于 x 的一元二次不等式。2 、一元二次不等式的一般形式：ax2+bx+c0（ a 0）或 ax2+bx+c 0（ a 0）3 、一元二次不等式的解集：=b2 -4 ac 0=0 0yyy=2+ + 0y axbx c（ a 0）的图象x1 Oxx2O x1 (x2)xOx6ax2+bx+c=0（ a 0）的根ax2+bx+c 0（
12、 a 0）的解集ax2+bx+c 0（ a 0）的解集bb24acx =12ax2= bb24ac2ax x1 或 x x2（ x1 x2）x1 x x2（ x1 x2）x1= x 2=- b没有实数根2ax - b全体实数2a无解无解4、解一元二次不等式的一般步骤：（ 1）将原不等式化成一般形式ax2+ + 0（ 0）（或ax2+ + 0（ 0）；bx cabx ca（2）计算=b2-4 ac；（3）如果 0，求方程 ax2+bx+c=0（ a 0）的根；若0，方程 ax2+bx+c=0（ a 0）没有实数根；（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。例 1.
13、解下列不等式：（1） 4x2-4 x 15；（ 2） - x2-2 x+3 0；（ 3） 4x2-4 x+1 0例 2. 自变量 x 在什么范围取值时，函数y=-3 x2+12x-12 的值等于 0？大于 0？小于 0？7例 3. 若关于 x 的方程 x2- （ m+1）x- m=0 有两个不相等的实数根，求m的取值范围。练习1. 解下列不等式：（1） 4x2-4 x 15；（ 2） - x2-2 x+3 0；（ 3） 4x2-4 x+1 0（3） 4x22 0；（ 5） x（ 1- x） x（2x-3 ） +10-20 x 25；（ 4） -3 x +5x-482. 是什么实数时，关于x的方
14、程2- （1-） + =0 没有实数根？mmxm x m3. 已知函数y=12 3 3，求使函数值大于0 的x的取值范围。xx42含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.1. 二次项系数含参数 a（按 a 的符号分类）例 1. 解关于 x 的不等式：ax2(a2)x10.9例 2. 解关于 x 的不等式：ax25ax6a0(a0)2. 按判别式的符号分类例 3. 解关于 x 的不等式： x2ax 4 0.例 4. 解关于 x 的不等式：( m21)x24x10.(m为任意实数
15、 )103. 按方程 ax2bxc0 的根 x1 , x2 的大小分类。例 5. 解关于 x 的不等式： x2(a1) x 1 0(a 0)a例 6. 解关于 x 的不等式：x25ax6a20(a0)练习1. 解关于 x 的不等式：x 2(a2) xa0.2.解关于 x 的不等式： ax2( a1) x1 0.3.解关于 x 的不等式： ax 2ax10.4.解关于 x 的不等式：(21)233 0axax第四讲一元高次不等式及分式不等式的解法1. 一元高次不等式的解法1. 可解的一元高次不等式的标准形式11(xx1)( xx2 )(xxn )0(0)（ 1）左边是关于 x 的一次因式的积；（
16、 2）右边是 0；（ 3）各因式最高次项系数为正。2. 一元高次不等式的解法穿根法：（ 1）将高次不等式变形为标准形式；（ 2）求根 x1 , x2, xn ，画数轴，标出根；（ 3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。(4) 写出所求的解集。例 1. ( x1)( x2)( x3)0例 2. x(x1)2 ( x2)( x1)0例 3. ( x1)( x2)(3x)012例 4. ( x2)(x3)(x22x1)0例 5. ( x1)(x2)(x24x5)0例 6. 2x3x22x10练习1.(x1)(x3)( x26x8)02.(3x22x8)(1x
17、 2x2 ) 03.(x22x3)(x26x7)04.(x24x5)(x2x1)05.(x2)( x3)2 ( x6)3 (x 8) 0136. x42x3x207. x33x2x302. 分式不等式的解法x3与x3x20 解集是否相同，为什么？例 1. （1）20x（2） x3与x3x20解集是否相同，为什么？x20通过例 1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1） f x0f x g x0g xfxfxg x0（2）x0x0gg解题方法：穿根法。解题步骤：（ 1）首项系数化为“正” （ 2）移项通分，不等号右侧化为“ 0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（
18、4）数轴标根。例 2. 解不等式：x23x2x27 x01214例 3. 解不等式： x29x117x22x1例 4. 解不等式： x25x60( 0)x23x2例 5. 解不等式： 2x12x1x33x223x例 6. 解不等式：x2 x 1 3练习解不等式：x31.02x2.2 x1 1x315x23x23.x2 2x 3 04. x22 x 10x2x1 3 x2x65.20x 3x x 36.9x207.0x11x3. 无理不等式的解法1、无理不等式的类型：f ( x)0f (x)g ( x)型g( x) 0f ( x)g( x)g(x)0g (x)0f (x)g( x)型f (x)0
19、或f (x) g( x) 2f ( x)016f ( x)0 f (x) g( x)型g (x)0f ( x) g( x) 2例 1. 解不等式3x4x30例 2. 解不等式x23x 2 4 3x例 3. 解不等式 2x26x4x217第五讲集合的含义与表示1. 集合的含义2. 集合元素的三个特性3. 元素与集合的关系4. 常用的数集及其记法5. 集合的表示方法6. 集合的分类、空集例 1. 判断下列对象能否构成一个集合（1）身材高大的人（2）所有的一元二次方程（3）直角坐标平面上纵坐标相等的点（4）细长的矩形的全体（ 5） 2 的近似值的全体（ 6）所有的数学难题例 2.已知集合 A a,
20、a b, a 2b , Ba, ac,ac 2 ,若 AB,求实数 c的值。例 3.已知集合 S 中三个元素 a, b, c是 ABC的三边长，那么ABC一定不是三角形。例 4. 用适当的方法表示下列集合。（ 1） x2 9 0 的解集；（ 2）不等式 2x 1 3 的解集：18xy2（3）方程组的解集；xy4（4）正偶数集；例 5.已知集合 Ax x22xa0, aR, xR若 A中至多有一个元素，求a 的取值范围。例 6.下列关系中，正确的有(1) 1R;(2) 2Q;(3) 3N;(4)3Q.2练习1.已知集合 A1,2,3, 4,5,B(x , y ) xA , yA ,xy A ,
21、则 B 中所含元素的个数为（）A.3B.6C.8D.102.已知集合 A0,1,2,则集合 Bx-y xA, y A 中元素的个数是（）A.1B.3C.5D.93.已知 A1,2,3, B2,4, 定义 A、B间的运算 ABx xA且 x B, 则集合AB 等于（）A.1,2,3B.2,4C.1,3D.24.若集合 AxR ax 2ax 10中只有一个元素，则a=( )A.4B.2C.0D.0或 45.设集合A1,2,3 , B1,3,9, xA且xB, 则x（）A.1B.2C.3D.96.定义集合运算：ABz zxy( xy, xA, yB) .设A0,1 ,B2,3 ,则集合 AB 的所有
22、元素之和为（）A.0B.6C.12D.187.下列各组对象中不能构成集合的是（）A.某中学高一（2）班的全体男生B.某中学全校学生家长的全体B.李明的所有家人D.王明的所有好朋友8.已知 a,b 是非零实数，代数式abab的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（）ababA.0MB. 1MC.3 MD .1M199.已知 A1,2,0,1, Bx xy , yA，则B=10.集合 Aa2, 2a25a,12 , 且3A, 则 a =11.设集合 Ax x2k1,kZ ,a5 ，则有（）A.aAB.aAC. aAD. aA12.下列集合中，不同于另外三个集合的是（）A. x x 1B. x x2
23、1C. 1D . y ( y 1)2013.已知集合Ax ax23x2 0，若 A中至多有一个元素，则a 的取值范围是14.集合 1,ab, a0, b ,b,则 ab =a15.已知集合 Ax x2ax 10, aR .（ 1）若 A 中只有一个元素，求 a 的值；（ 2）若 A 中有两个元素，求 a 的取值范围 .第六讲集合间的基本关系1. 子集的概念2. 集合相等的定义3. 真子集的定义4. 子集的性质5. 确定集合子集与真子集个数例 1. 判断集合A 是否为集合B 的子集。（ 1）（ 2）A 1,3,5 , B 1,2,3,4,5,6 A 1,3,5 , B 1,3,6,9（3）A0,
24、Bx x22 0（4） A a,b, c, d, Bd,b,c, a例 2. 写出集合 a, b , a, b,c 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。例 3. 判断下列写法是否正确。20（1）A(2)A(3)AA(4)AA例 4.已知 Ax x22x30 , Bx ax10 ,若BA, 求 a 的值。例 5.已知集合 Mx x23x 20 , N0,1,2,则 M与 N 的关系正确的是（）A.MNB.MNC.MND .NM例 6.已知集合Ax 2x5 , Bx m1x2m1 。（ 1）若 B A , 求实数 m的取值范围；（ 2）若 x Z, 求 A 的非空真子集的个数。练习1.已知集合 Ax23x20, x R , Bx 0x5, xN , 则满足条件AC B 的集合 C 的个数（）A.1B.2C.3D.42.集合1,0,1共有个子集。3.已知集合 A1,3, m , B1,m
