1、 - 1 - 2020 年普通高等学校招生全国统一模拟考试年普通高等学校招生全国统一模拟考试 文科数学文科数学 20205 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，写出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标回答选择题时，写出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标 号涂黑如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，号涂黑如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时， 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和
2、答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的 1.集合 10Axx，集合 21, x By yxR，则AB （ ） A. 1, B. 1, C. 0, D. 【答案】A 【分析】 分别求出集合,A B，再根据交集的运算即可求出 【详解】因为101,Axx，21,11, x By yxRy y， 所以1,AB 故选：A 【点睛】本题主要考查指数函数的值域的应用以及集合的交集运算，属于容易题
3、2.复数 2 3 1 i i i 的共轭复数是（ ） A. 1 2i B. 1 2i C. 21i D. 21i 【答案】B 【分析】 先根据复数的代数形式的运算法则化简，再根据共轭复数的定义即可求出 【详解】 因为 2 12 333112 11 1 iii iiiii iii ， 所以其共轭复数为1 2i 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则和共轭复数的定义的应用，属于容易题 - 2 - 3.下图是 2020 年 2月 15 日至 3月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图则下列说 法不正确的是（ ） A. 2020年 2 月 19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下
4、降至三位数 B. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C. 2020年 2 月 19日至 3月 2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人的有 8天 D. 2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549 人 【答案】D 【分析】 根据图表中提供的信息，对应各选项即可判断其真假 【详解】 对于A， 由图可知， 2020年2月19日， 武汉市新增新冠肺炎确诊病例从2月18日1660 人大幅下降至 615人，所以 A 正确； 对于 B，从 2020年 2 月 19 日起至 2月 29 日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在 300
5、-615 之间，3月起继续减少，没有出现大幅增加，所以 B正确； 对于 C，由图可知，2020年 2月 19 日至 3 月 2日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400人 的有，2月 20 日，21 日，23 日，25 日，26 日，27 日，3月 1 日，2日，共 8 天，所以 C 正确； 对于 D，2020 年 2月 15 日到 3月 2 日中，武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是 2 月 16日 1690例，最少的是 3月 2日 111例，1690-111=1579，所以 D 不正确 故选：D 【点睛】本题主要考查学生的识图和数据分析能力，属于容易题 4.等差数列 n a的前 n项和为 n
6、 S，满足 107 27SS，则 9 a （ ） A. 3 3 B. 3 3 C. 3 D. 3 - 3 - 【答案】D 【分析】 根据等差数列的前n项和的定义以及等差数列的下标和性质，即可求出 【详解】因 10789109 327SSaaaa，解得 9 9a ，所以 9 3a 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的定义以及等差数列的性质的应用，属于容易题 5.角谷猜想，也叫31n猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如 果它是奇数， 则对它乘 3再加 1； 如果它是偶数， 则对它除以 2， 如此循环最终都能够得到 1 如： 取6n，根据上述过程，得出 6，3，
7、10，5，16，8，4，2，1，共 9个数若5n ，根据上 述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为（ ） A. 3 7 B. 7 15 C. 2 5 D. 3 5 【答案】C 【分析】 根据角谷猜想的定义，可知当5n 时，得出的数为 5，16，8，4，2，1，再根据古典概型的 概率计算公式即可求出 【详解】根据角谷猜想的定义，可知当5n 时，得出的数为 5，16，8，4，2，1从中随机 任取两个不同的数有： 5,16 , 5,8 , 5,4 , 5,2 , 5,1 , 16,8 , 16,4 , 16,2 , 16,1 , 8,4 , 8,2 , 8,1 , 4,
8、2 , 4,1 , 2,1，共 15个结果， 而取出这两个数都是偶数的有： 16,8 , 16,4 , 16,2， 8,4 , 8,2 ,4,2 ,共 6个结果， 所以随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为 62 155 P 故选：C 【点睛】本题主要考查新定义的应用以及古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题 6.已知函数 f x是偶函数，1f x为奇函数，并且当 1,2x时， 12f xx ，则 下列选项正确的是（ ） A. f x在3, 2上为减函数，且 0f x B. f x在3, 2上为减函数，且 0f x - 4 - C. f x在3, 2上为增函数，且 0f x D.
9、f x在3, 2上为增函数，且 0f x 【答案】C 【分析】 根据题意1f x为奇函数，可知函数 f x关于点1,0对称，再结合函数 f x是偶函数 可得出函数 f x周期为 4，而1,2x， 121f xxx ，利用周期从而可求得 3, 2x 时的解析式，即解出 【 详 解 】 因 为 函 数1f x为 奇 函 数 ， 所 以 函 数 f x关 于 点1, 0对 称 ， 即 20fxfx， 函数 f x是偶函数，所以 f xfx，于是， 20f xfx，用2x替换x， 可得240f xfx，所以 4f xf x 当1,2x， 121f xxx ， 当3, 2x 时， 44130f xf x
10、xx ，所以 f x在3, 2上为增 函数，且 0f x 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的性质的应用，涉及函数的周期性，对称性，奇偶性的应用，以 及利用函数解析式判断其单调性，意在考查学生的转化能力，属于中档题 7.如图，在边长为 1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积为 （ ） A. 16 B. 16 3 C. 32 D. 8 【答案】A - 5 - 【分析】 根据三视图还原几何体可知，该几何体为三棱柱，故根据其体积公式即可算出 【详解】如图所示，该几何体为图中三棱柱 111 ABCABC， 所以该几何体的体积为 1 2 4 416 2 V 故选：A 【点睛】本题
11、主要考查由三视图还原几何体，并求其体积，意在考查学生的直观想象能力和 数学运算能力，属于中档题 8.双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的渐近线与圆 222 xya在第一、二象限分别交于 M，N 两点，且MNa，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 2 B. 2 3 3 C. 3 D. 2 【答案】D 【分析】 根据题意作出图象，可知MON为等边三角形，由双曲线的渐近线关于 y轴对称，可知 tan603 b k a ，再结合 222 cab，即可求出离心率 【详解】依题意作出图象，如图所示： - 6 - 因为OMONMNa，所以MON为等边三角形，而双曲线的渐近线方程为 b yx a
12、 ，它们关于 y轴对称，所以 60MOx ，即tan603 b k a ， 又 222 cab，所以 22 4ca ，即离心率2 c e a 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及圆的方程的应用，属于基础题 9.已知1,0AB ， 2,2BC 若 ABACBC且10AC，则的值 为（ ） A. 4 2 B. 4 2 C. 6 2 D. 6 2 【答案】B 【分析】 先根据向量的加法运算求出AC，再根据向量垂直数量积为零，以及数量积的坐标运算，向 量的模的坐标计算公式，列出方程组，即可求出 【详解】因为1,2ACABBC ，所以105102AC， 00ABACBCABACBCA
13、B BCAC BC， 即2603，因而，44 2 故选：B 【点睛】本题主要考查向量的加法运算，数量积运算，以及向量的模的坐标计算公式的应用， 意在考查学生的数学运算能力，属于基础题 10.如图是函数 sin0,0,| 2 f xAxA 的部分图象， 设 0 x是函数 f x - 7 - 在, 4 4 上的极小值点，则 00 f xfx的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 3 D. 23 【答案】B 【分析】 先根据图象确定函数 f x的解析式，即可根据函数 f x在, 4 4 上的极小值也是最小 值，得到 0 x，即可解出 【 详 解 】 根 据 图 像 可 知 ， 5 2,2 412
14、64 T AT ， 所 以 2 s i n2fxx， 又因为2sin0 63 f ，而且| 2 ，所以 3 ，故 2sin 2 3 fxx 由 0 2f x ， 0 , 4 4 x ，解得 0 12 x ，所以 00 222sin3 126 ff xfx 故选：B 【点睛】本题主要考查根据函数图象求正弦型三角函数的解析式，并根据解析式求值，涉及 到极值点的概念理解和运用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题 11.函数 tan x f xxxe在, 2 2 上的零点个数为（ ） - 8 - A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据函数的零点与方程的根， 两
15、函数图象交点的关系， 即可由 tan0 x f xxxe0x 得到tan x e x x ，再分别求出两函数的图象即可求出零点个数 【详解】令 tan0 x f xxxe，显然 0x 不是函数的零点，可得tan x e x x 设 x e g x x ， , 2 2 x ，因为 2 1 x ex gx x ， 所以当 ,0 2 x ， 0,0gxg x ， 当0,1x， 0,0gxg x ，当 1, 2 x ， 0,0gxg x ， g x的极小值为 1ge，而tan1tan3 3 e ，故作出函数tanyx和 ex y x 在 , 2 2 上的图象，如图所示： 所以，两函数图象有两个交点，即
16、函数 tan x f xxxe在, 2 2 上的零点个数为 2 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系的应用，以及利用导 数作出函数的图象，意在考查学生的转化能力，属于中档题 - 9 - 12.把圆心角为120的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比 为（ ） A. 3 8 B. 8 3 C. 8 27 D. 27 8 【答案】C 【分析】 根据扇形的形状，可得出圆锥底面半径与母线的长的关系，进而求得其侧面积，再根据圆锥 的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，即可求得它的外接球的表面积， 【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l，根
17、据题意以及弧长公式可知， 2 2 3 rl，解得 3lr， 所以该圆锥的侧面积为 2 1 3Srlr 如图所示， 由图可知，圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形PAB的外接圆半径， 设圆锥的外接球的半径为R， 因为 22 2 2OPlrr ，所以 2 22 2 2rRrR，解得 9 2 8 r R ， 因此，该圆锥的外接球的表面积为 2 2 2 81 4 8 r SR 故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为 1 2 8 27 S S 故选：C 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式，弧长公式的应用，以及圆锥外接球的表面积求法， 意在考查学生的数学运算能力，属于基础题 二、填空题：本题共二、填空
18、题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 - 10 - 13.抛物线 2 20ypx p的焦点为 F，过 F 作与 x 轴垂直的直线交抛物线于 A，B 两点，若 3AB ，则p _ 【答案】 3 2 【分析】 根据抛物线过焦点弦的性质可知，AB为通径，所以有23p ，即可解出 【详解】因为过焦点 F 作与 x轴垂直的直线交抛物线于 A，B两点，所以AB为通径， 即23p ，解得 3 2 p 故答案为： 3 2 【点睛】本题主要考查抛物线过焦点弦的性质的应用，属于容易题 14.已知变量 x，y 满足 1 10 2 xy y yx ，则2xy的最小值为_ 【答案】1
19、【分析】 作出不等式组表示的平面区域，根据简单线性规划问题的解法，平移即可解出 【 详 解 】 作 出 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 所 示 的 阴 影 区 域 ： 设2zxy，当直线平移至经过点A时，z取得最小值 由 2 1 yx xy 解得， 2 3 1 3 x y ，所以点A的坐标为 21 , 33 - 11 - 因此，2zxy的最小值为 21 21 33 min z 故答案为：1 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的的解法应用，属于基础题 15.若函数 2 1 log1,1 2 1 ,1 xx f x a x x 有最小值，则实数 a取值范围为_ 【答案】1,
20、 【分析】 根据分段函数的单调性即可知，函数在1x 处取得最小值，即可求出实数 a 的取值范围 【详解】当1x 时，函数 1 ya x 单调递减，无最小值，无最大值，其值域为,1a a； 当1x 时，函数 2 1 log1 2 yx 单调递减，其最小值为 min2 1 log11 2 y ， 所以若该函数 f x有最小值，最小值只能在1x 处取得，故1a 故答案为：1, 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，以及分段函数的最值求法，属于基础题 16.已知等比数列 n a的公比为0q q ，前 n 项和为 n S，且满足 1 aq， 514 aaS若 对一切正整数 n， 不等式1522 n
21、n nmmamS恒成立， 则实数 m的取值范围为_ 【答案】 3 , 512 【分析】 先根据题意， 求出首项 1 a和公比q， 即可得到, nn Sa， 再根据分离参数法， 可得 152 2n n m ， 再利用数列的单调性即可求出 152 2n n g n 的最小值，即可得出实数 m的取值范围 【详解】由题意可得， 1 aq， 423423 111151141 2aa qaaa qa qa qqqqqaS ，变形为 - 12 - 2 1210qqq，解得1q 或2q =，又0q ，所以2q = 故2n n a ， 1 22 n n S ， * nN 1 152215222222 nnn n
22、n nmmamSnmm ，即 152 2n n m 设 152 2n n g n ， * nN， 当7n时， 0g n ； 当8n时， 0g n ，令 1132 1 2 152 g nn g nn 解得 17 2 n ，因此，当 17 2 n ，即8n 时， 1g ng n， 当 17 2 n ，即9n时， 1g ng n， 所以，当9n 时， g n的值最小，最小为 3 9 512 g ， 3 512 m 故答案为： 3 , 512 【点睛】 本题主要考查了等比数列通项公式和前n项和公式中基本量的计算， 数列不等式恒成 立问题的解法应用，以及数列单调性的判断，综合性强，思维难度较大，较好的全
23、面考查了 学生综合运用数列知识的能力，属于较难题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题题 为必考题，每个试题考生都必须作答第为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （）必考题：共）必考题：共 60 分分 17.在ABC中，有3sincos2BB （1）求 B； （2）若45A，角 B 的角平分线 BD交 AC 于 D，33DC ，求边 AD的长 【答案】 （1）60B ； （2）3AD 分析】 - 13 - （1）将式子3sinco
24、s2BB两边除以 2，再逆用两角和的正弦公式即可化简得到 sin301B ，结合角B的范围，即可求出； （2）根据三角形内角和定理可得，75BDCC，可知BDC为顶角为30等腰三角 形，再根据余弦定理，可求出,BD AC的长，在BAD中根据正弦定理即可求出边 AD的长 【详解】 （1）由3sincos2BB，知 31 1 22 sincosBB， 得sin301B 0180B，3030210B， 3090B，即60B （2）45A ，60B ，75C BDQ为角平分线，30ABD， 从而75BDCC，BDBC 设BDBCx，在BDC中，根据余弦定理得 2 22 332cos30xxx x ，求
25、 得6x 在BAD中，根据正弦定理得 6 sin30sin45 AD ，求得3AD 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，以及正余弦定理在解三角形中的应用，意 在考查学生的数学运算能力，属于基础题 18.如图，在三棱锥PABC中，PB 平面 ABC，平面PAC 平面 PBC，2PBBC， 1AC （1）证明：AC 平面 PBC； （2）求点 C到平面 PBA的距离 - 14 - 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 5 5 【分析】 （1）由PB 平面 ABC，可得ACPB，通过取PC中点D，由平面PAC 平面 PBC， 可得BD 平面 PAC，从而ACBD，然后根据线面垂直的判定定
26、理即可证得AC 平面 PBC； （2）根据PB 平面 ABC可得平面PBA 平面 ABC，过点过点 C作CMAB，交 AB于 M，则CM即为所求，在ABC内根据等面积法即可求出 【详解】 （1）证明：PB 平面 ABC，AC 平面 ABC，PBAC 取 PC的中点 D，连接 BD，PBBC，BDPC 又平面PAC 平面 PBC，平面PAC平面PBCPC，BD 平面 PBC， BD平面 PAC又AC 平面 PAC，BDAC PBBDB，AC平面 PBC （2）易知平面PBA 平面 ABC，AB 为交线，在Rt ABC中，过点 C作CMAB，交 AB 于 M，则CM 平面 PBA 又AC BCAB
27、 CM， 22 5 55 CM， 点 C 到平面 PBA的距离为 2 5 5 【点睛】本题主要考查线面垂直的的判定定理，线面垂直的定义，面面垂直的性质定理，判 定定理的应用，以及点到平面的距离的求法，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力， 属于基础题 19.已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的焦距为 4且过点 14 1, 2 （1）求椭圆 E 的方程； - 15 - （2）设0,Ab，0,Bb，,C a b，过 B 点且斜率为0k k 的直线 l交椭圆 E于另一 点 M，交 x轴于点 Q，直线 AM 与直线x a 相交于点 P证明： / /PQOC（O 为坐标原点） 【答案
28、】 （1） 22 1 84 xy ； （2）证明见解析 【分析】 （1）根据题意可求出焦点坐标，再根据椭圆的定义即可求出a，然后根据 222, abc求出 2 b，即可得到椭圆 E 的方程（或直接根据点在椭圆上，以及 22 4ab，即可解出） ； （2）由直线 l的方程2ykx可得点 2 ,0Q k ，联立直线 l与椭圆E的方程可计算出点M 的坐标，再根据联立直线AM与直线x a 的方程可得点P的坐标，然后根据斜率公式分别计 算出直线,PQ OC的斜率，根据斜率相等，即可证得 / /PQOC 【详解】 （1）由题可知，24c ，2c ， 椭圆的左，右焦点分别为2,0，2,0 由椭圆的定义知 2
29、2 221414 2121 24 2 22 a ， 2 2a ， 222 4bac， 椭圆 E的方程为 22 1 84 xy （另解：由题可知 22 22 17 1 2 4 ab ab ，解得 2 2 4 8 b a ） （2）易得0,2A，0, 2B，2 2,2C， 直线:2l ykx与椭圆 22 28xy联立，得 22 2180kxkx， 2 8 21 M k x k ，从而 2 22 842 , 21 21 kk M kk ， 2 ,0Q k - 16 - 直线 AM的斜率为 2 2 2 42 2 1 21 8 2 21 k k k k k ，直线 AM的方程为 1 2 2 yx k 令
30、 2 2x ，得 2 2 2,2P k ， 直线 PQ 的斜率 2 2 221 222 2 22 22 221 2 2 PQ k k k k kk k 直线 OC 的斜率 22 22 2 OC k， PQOC kk ，从而 / /PQOC 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，以及利用斜率 相等证明直线平行，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题 20.2020年 1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最 有效的方式在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒某小区为 了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了
31、100 位成年人，记录了他们某天的锻炼时 间，其频率分布直方图如下： （1）求 a 的值，并估计这 100 位居民锻炼时间的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中 点值代表） ； （2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家 7天的锻炼时长： 序号 n 1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长 m（单位：分钟） 10 15 12 20 30 25 35 - 17 - （）根据数据求 m关于 n 的线性回归方程； （）若 4mx （x是（1）中的平均值） ，则当天被称为“有效运动日”估计小张“宅”家 第 8天是否是“有效运动日”？ 附；在线性回归方程y bxa $中， 1 2 1 n ii i
32、 n i i xxyy b xx ，a ybx $ 【答案】（1）0.03a ，30.2；（2）（） 11334 287 mn，（） 估计小张“宅”家第 8 天是“有 效运动日” 【分析】 （1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为 1，即可求出 a 的值，再根据平均值 等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出； （2） （）根据最小二乘法，分别计算出b和 a ，即可求出 m关于 n的线性回归方程； （）根据线性回归方程，令8n ，求出预测值m，再验证是否满足 4mx ，即可判断 【详解】 （1）0.0050.0120.0350.0150.003101a， 0.03a 5
33、 0.005 10 15 0.012 1025 0.03 1035 0.035 1045 0.015 1055x 0.003 1030.2（分钟） （2） （） 1234567 4 7 n ， 10 15 1220302535 21 7 m ， 7 1 14102124152134122144 ii i nnmm 2021543021642521743521113， 113 28 b ， 11334 214 287 a ， m 关于 n 的线性回归方程为 11334 287 mn - 18 - （）当8n 时， 11334260 8 2877 m 260 30.24 7 ， 估计小张“宅”家第
34、 8 天是“有效运动日” 【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回 归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力， 属于基础题 21.已知函数 2 lnf xxax （1）判断函数 f x在点1x 处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说 明理由 （2）若 f x有最大值 g a，证明： g aa 【答案】 （1）在1x 处的切线过定点，坐标为 11 , 22 ； （2）证明见解析 【分析】 （1）利用导数的几何意义，求出函数 f x在点1x 处的切线方程，根据过定点的直线系方 程的判断方法，即可判断该切线
35、是否过定点； （2）先求出函数 f x的导数，判断其单调性，求出其最大值为 11 ln2 22 g aa ，将需 证明的不等式 g aa 等价变形为 11 ln20 22 aa，令20at ，构造函数 ln10p tttt ，利用导数求出其最小值， min 10p tp，即得证 【详解】 （1） 1 2fxax x ， 11 2fa ，切点坐标为1, a， f x在1x 处的切线方程为1 21yaax， 即11 2yxax，令1 20x，得 1 2 x ， 1 2 y = - f x在1x 处的切线过定点其坐标为 11 , 22 （2）由题知， f x的定义域为0, - 19 - 2 11 2
36、 2 ax fxax xx 若0a ，则 0fx 恒成立， f x在0,上单调递增， f x无最大值 若0a ，令 0fx ，得 1 2 x a （舍）或 1 2 x a 当 1 0, 2 x a ， 0fx ；当 1 , 2 x a 时， 0fx ， 故 f x在 1 0, 2a 上单调递增，在 1 , 2a 上单调递减， 故 2 max 11111 lnln2 22222 f xfaa aaa ， 即 11 ln2 22 g aa 若证 g aa ，可证 11 ln20 22 aa，令2at， 2 t a ， 则有ln 11 0 222 t t ，即证ln10tt 设 ln10p tttt
37、 ，则 1 1p t t 当0,1t时， 0p t ， p t单调递减；当1,t时， 0p t ， p t单调递增， 故 min 10p tp 0p t，即 g aa 【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程，直线系过定点的 求法，以及利用导数求函数的最值和函数不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的数 学转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则题中任选一题作答如果多做，则 按所做的第一题计分按所做的第一题计分 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系
38、与参数方程 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 2 1: 0Cyax a，曲线 2 2cos : 22sin x C y （为参数） ； 在以 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 3 4 R l 与 1 C， 2 C分别交于异于极点的 A，B 两点，且2 OBOA - 20 - （1）写出曲线 2 C的极坐标方程； （2）求实数 a 的值 【答案】 （1）4sin； （2）4a 【分析】 （1）根据 22 sincos1，消去参数，即可求得曲线 2 C的普通方程，再根据直角坐标和 极坐标互化公式即可求得曲线 2 C的极坐标方程； （2）将曲线 1 C化成极坐标方
39、程，然后将 3 4 分别代入，曲线 1 C和 2 C的极坐标方程即可求 得,OA OB，由题意列出方程，即可解出实数 a的值 【详解】 （1）把曲线 2 C化成普通方程为 2 2 24xy，即 22 40xyy， 所以曲线 2 C的极坐标方程为4sin （2）把曲线 1 C化成极坐标方程为 2 sincosa， 把 3 4 分别代入 1 C和 2 C得， 2 3 cos 4 2 3 sin 4 a OAa ， 3 4sin2 2 4 OB ， 2 OBOA， 4 22a ，解得4a 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，普通方程和极坐标方程之间的互化，以及极坐标系 下的几何意义的应用，意在考查学
40、生的数学运算能力，属于基础题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 2 0f xxax a （1）解不等式 2f xa； （2）若函数 f x的图象与直线2ya围成的图形的面积为 6，求实数 a的值 【答案】 （1）/ 3 a x x 或xa； （2）3a 【分析】 - 21 - （1）先根据绝对值的定义，确定分段点0x ，x a ，再分类讨论，去掉绝对值，然后分别 解不等式即可求出； （2）根据题意作出函数函数 f x的图象与直线2ya，由图可知，围成的图形为三角形， 再根据三角形的面积公式列出等式，即可求出实数 a 的值 【详解】 （1） 3,0 2,0 3, xa x f xxaxxaxa xa xa ， 当0x时，由 2f xa，得32xaa，解得 3 a x ； 当0xa时，由 2f xa，得2xaa，无解； 当xa时，由 2f xa，得32xaa，解得xa 所以 2f xa的解集为 3 a x xxa 或 （2）由（1）知，方程 2f xa的解为 3 a x 或xa 作出函数 f x的图象，如图所示： 由图象可知，函数 f x的图象与直线2ya围成的图形为三角形，面积为 2 12 233 aa aa ，故
